不定内積空間

数学において、関数解析の分野において、不定内積空間

${\displaystyle (K,\langle \cdot ,\,\cdot \rangle ,J)}$

は、不定内積と不定内積の両方を備えた無限次元複素ベクトル空間である。 ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \langle \cdot ,\,\cdot \rangle \,}$

および半正定値内積

${\displaystyle (x,\,y)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle x,\,Jy\rangle ,}$

ここで、計量演算子 は、${\displaystyle J}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle J^{3}=J.\,}$

不定内積空間自体は必ずしもヒルベルト空間ではないが、 上に半正定値内積が存在するということは、その上に正定値内積が存在する商空間を形成できることを意味する。この商空間上に十分に強い位相が与えられれば、それはヒルベルト空間の構造を持ち、典型的な応用において興味深い多くの対象がこの商空間に含まれる。 ${\displaystyle K}$

不定内積空間が正定値であり、メジャーント位相を持つ場合、その不定内積空間はクライン空間（または-空間）と呼ばれます。クライン空間はソビエトの数学者マーク・グリゴリエヴィチ・クラインにちなんで名付けられました。 ${\displaystyle J}$${\displaystyle (x,\,y)}$${\displaystyle K}$

不定エルミート形式を備えた複素ベクトル空間 を考えます。クライン空間の理論では、このようなエルミート形式を不定内積と呼ぶのが一般的です。次の部分集合は、不定内積によって誘導される 二乗ノルムによって定義されます。${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\,\cdot \rangle }$

${\displaystyle K_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \{x\in K:\langle x,\,x\rangle =0\}}$（"中性"）

${\displaystyle K_{++}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \{x\in K:\langle x,\,x\rangle >0\}}$（"ポジティブ"）

${\displaystyle K_{--}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \{x\in K:\langle x,\,x\rangle <0\}}$（"ネガティブ"）

${\displaystyle K_{+0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ K_{++}\cup K_{0}}$（「非負」）

${\displaystyle K_{-0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ K_{--}\cup K_{0}}$（「非陽性」）

内にある部分空間は、 中立部分空間と呼ばれます。同様に、 ( )内にある部分空間は、正(負)半定値といい、( )内にある部分空間は、正(負)定値といいます。上記のいずれかのカテゴリの部分空間は、半定値と呼ぶことができ、半定値でない部分空間は、不定値と呼ばれます。 ${\displaystyle L\subset K}$${\displaystyle K_{0}}$${\displaystyle K_{+0}}$${\displaystyle K_{-0}}$${\displaystyle K_{++}\カップ \{0\}}$${\displaystyle K_{--}\カップ \{0\}}$

不定内積空間には、上の複素構造を守る基本分解と呼ばれる一対の部分空間への分解も備わっているものとします。したがって、対応する線型射影演算子は上の恒等式と一致し、 は消滅し、複素構造の による乗算と可換になります。この分解が およびとなるようなものである場合、 は不定内積空間と呼ばれます。 となる場合、 はクライン空間と呼ばれます。ただし、上のマジョラント位相(内積が共連続となる局所凸位相) の存在を条件とします。 ${\displaystyle K=K_{+}\oplus K_{-}}$${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P_{\pm}}$${\displaystyle K_{\pm}}$${\displaystyle K_{\mp}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle K_{+}\subset K_{+0}}$${\displaystyle K_{-}\subset K_{-0}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K_{\pm}\subset K_{\pm\pm}\cup\{0\}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

演算子は （実位相）計量演算子または基本対称性と呼ばれ、ヒルベルト内積を定義するために使用できます。 ${\displaystyle J\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ P_{+}-P_{-}}$ ${\displaystyle (\cdot ,\,\cdot )}$

${\displaystyle (x,\,y)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle x,\,Jy\rangle =\langle x,\,P_{+}y\rangle - \langle x,\,P_{-}y\rangle }$

クライン空間では、ヒルベルト内積は正定値であり、ヒルベルト空間の構造を与えます（適切な位相の下で）。より弱い制約 の下では、中立部分空間の一部の要素はヒルベルト内積において依然として中立である可能性がありますが、多くはそうではありません。たとえば、要素 がに従うため、部分空間はヒルベルト内積の中立部分空間の一部です。しかし、のためににある要素（ ）は、ヒルベルト内積の下で正の二乗ノルムを持ちます。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle K_{\pm }\subset K_{\pm 0}}$${\displaystyle K_{0}}$${\displaystyle K_{0}\cap K_{\pm }}$${\displaystyle k\in K_{0}\cap K_{\pm}}$${\displaystyle (k,\,k)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle k,\,Jk\rangle =\pm \langle k,\,k\rangle =0}$${\displaystyle k=k_{+}+k_{-}}$${\displaystyle k_{\pm }\in K_{\pm }}$${\displaystyle K_{0}}$${\displaystyle \langle k_{-},\,k_{-}\rangle =-\langle k_{+},\,k_{+}\rangle }$

不定内積をエルミート形式で定義すると次のようになることに注意してください。

${\displaystyle \langle x,\,y\rangle ={\frac {1}{4}}(\langle x+y,\,x+y\rangle -\langle x-y,\,x-y\rangle )}$

(注: これは複素数値のエルミート形式には当てはまりません。実部のみが返されます。) したがって、だけ異なる任意の2 つの要素の不定内積は、それらの平均 の二乗ノルムに等しくなります。したがって、と他の要素との非ゼロ要素の内積はゼロでなければなりません。そうしないと、との内積がの二乗ノルムになるには誤った符号を持つ要素を構築できてしまいます。 ${\displaystyle x,\,y\in K}$${\displaystyle x-y\in K_{0}}$${\displaystyle {\frac {x+y}{2}}}$${\displaystyle k_{0}\in (K_{0}\cap K_{\pm })}$${\displaystyle k_{\pm }\in K_{\pm }}$${\displaystyle k_{\pm }+2\lambda k_{0}}$${\displaystyle k_{\pm }}$${\displaystyle k_{\pm }+\lambda k_{0}\in K_{\pm }}$

ヒルベルト内積（エルミート形式であることが証明できるため、「内積」という名前が正当化される）についての同様の議論から、その中立空間は正確に であり、この中立空間の要素は の任意の要素とのヒルベルト内積がゼロであり、ヒルベルト内積は半正定値であるという結論が導かれます。したがって、それは商空間 上に正定値内積（ とも表記）を誘導し、これは の直和です。したがって、はヒルベルト空間です（適切な位相が与えられている場合）。 ${\displaystyle K_{00}=(K_{0}\cap K_{+})\oplus (K_{0}\cap K_{-})}$${\displaystyle K}$${\displaystyle (\cdot ,\,\cdot )}$${\displaystyle {\tilde {K}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ K/K_{00}}$${\displaystyle {\tilde {K}}_{\pm }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ K_{\pm }/(K_{0}\cap K_{\pm })}$${\displaystyle ({\tilde {K}},\,(\cdot ,\,\cdot ))}$

クライン空間は、不定内積がヒルベルト内積にはない解析的に有用な特性（ローレンツ不変性など）を持つ状況で自然に生じます。また、2 つの内積のうちの 1 つ（通常は不定内積）が多様体上でグローバルに定義され、もう 1 つが座標依存で、したがって局所断面上でのみ定義されることも一般的です。

多くの応用において、半正定値内積は 、一般に一意ではない選択された基本分解に依存します。しかし、上の同じ不定内積と両立する任意の 2 つの計量演算子およびは、分解およびの次元が等しいヒルベルト空間およびになることは実証できます (たとえば、以下の H. Langer の論文の命題 1.1 および 1.2 を参照) 。これらの商空間上のヒルベルト内積は一般に一致しませんが、が等しい場合に が与えられる同値類およびの二乗ノルムが等しいという意味で、同一の二乗ノルムを誘導します。連続性、集合の閉性、および上の演算子のスペクトルなど、クライン空間のすべての位相概念は、このヒルベルト空間位相に関して理解されます。 ${\displaystyle (\cdot ,\,\cdot )}$${\displaystyle J}$${\displaystyle J^{\prime }}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\tilde {K}}}$${\displaystyle {\tilde {K}}^{\prime }}$${\displaystyle {\tilde {K}}_{\pm }}$${\displaystyle {\tilde {K}}_{\pm }^{\prime }}$${\displaystyle {\tilde {k}}\in {\tilde {K}}}$${\displaystyle {\tilde {k}}^{\prime }\in {\tilde {K}}^{\prime }}$${\displaystyle k\in K}$${\displaystyle {\tilde {K}}}$

、、をの部分空間とします。すべての に対する部分空間は の直交伴空間と呼ばれ、は の等方性部分です。、は非退化であると呼ばれ、それ以外の場合は退化しています。すべての に対して である場合、2 つの部分空間は直交していると言われ、 と書きます。の場合、 と書きます。さらに、これが の直和である場合、 と書きます。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle L_{2}}$${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L^{[\perp ]}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \{x\in K:\langle x,\,y\rangle =0}$${\displaystyle y\in L\}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L^{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ L\cap L^{[\perp ]}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L^{0}=\{0\}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \langle x,\,y\rangle =0}$${\displaystyle x\in L_{1},\,\,y\in L_{2}}$${\displaystyle L_{1}[\perp ]L_{2}}$${\displaystyle L=L_{1}+L_{2}}$${\displaystyle L_{1}[\perp ]L_{2}}$${\displaystyle L=L_{1}[+]L_{2}}$${\displaystyle L=L_{1}[{\dot {+}}]L_{2}}$

のとき、クライン空間は ポントリャーギン空間または-空間と呼ばれます 。(慣例的に、不定内積には を有限にする符号が与えられます。) この場合、は の正の平方の数として知られています。ポントリャーギン空間は、レフ・セメノビッチ・ポントリャーギンにちなんで名付けられています。 ${\displaystyle \kappa :=\min\{\dim K_{+},\dim K_{-}\}<\infty }$${\displaystyle (K,\langle \cdot ,\,\cdot \rangle ,J)}$${\displaystyle \Pi _{\kappa }}$${\displaystyle \dim K_{+}}$${\displaystyle \dim K_{+}}$${\displaystyle \langle \cdot ,\,\cdot \rangle }$

定義域Kを持つ不定内積空間K上の対称演算子Aは、( x , x ) = 0 = ( x , Ax ) がx = 0 を意味する場合、ペソネン演算子と呼ばれます。

• Azizov, T.Ya.; Iokhvidov, IS:不定距離を持つ空間における線形演算子、John Wiley & Sons、Chichester、1989年、ISBN  0-471-92129-7。
• Bognár, J. :不定内積空間、Springer-Verlag、ベルリン-ハイデルベルク-ニューヨーク、1974 年、ISBN 3-540-06202-5。 
• ランガー、H. (2001) [1994]、「クライン空間」、数学百科事典、EMS プレス
• Langer, H. :クライン空間における定義可能演算子のスペクトル関数、関数解析、1981年11月2日～14日にユーゴスラビアのドゥブロヴニクで開催された会議の議事録、数学の講義ノート、948、Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York、1982年、1-46、ISSN  0075-8434。
• Nikol'skii, NK; Pavlov, BS (2001) [1994]、「不定計量を持つヒルベルト空間」、数学百科事典、EMS プレス
• Nikol'skii, NK; Pavlov, BS (2001) [1994]、「ポンチャギン空間」、数学百科事典、EMS Press
• Hassibi B、Sayed AH、Kailath T.不定二次推定と制御：H 2 および H∞ 理論への統一アプローチ。産業応用数学協会、1999 年、ISBN 978-0898714111。