不変微分演算子

数学と理論物理学において、不変微分演算子は、いくつかのオブジェクトから同様のタイプのオブジェクトへの数学的なマップの一種です。これらのオブジェクトは通常、上の関数、多様体上の関数、ベクトル値関数、ベクトル場、またはより一般的にはベクトル束のセクションです。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

不変微分演算子 において、微分演算子という用語は、マップの値がとにおけるの導関数にのみ依存することを示します。不変という語は、演算子に何らかの対称性が含まれることを示します。これは、関数 (または問題となっている他のオブジェクト) に対するグループ作用を持つグループが存在し、この作用が演算子によって保存されることを意味します。 ${\displaystyle D}$${\displaystyle Df}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle D(g\cdot f)=g\cdot (Df).}$

通常、グループのアクションは座標の変更（観測者の変更）を意味し、不変性は演算子がすべての許容座標で同じ表現を持つことを意味します。

M  =  G / Hをリー群Gとリー部分群Hの同次空間とする。すべての表現はベクトル束を生成する。 ${\displaystyle \rho :H\rightarrow \mathrm {Aut} (\mathbb {V} )}$

${\displaystyle V=G\times _{H}\mathbb {V} \;{\text{where}}\;(gh,v)\sim (g,\rho (h)v)\;\forall \;g\in G,\;h\in H\;{\text{and}}\;v\in \mathbb {V} .}$

セクションは次のように識別できます ${\displaystyle \varphi \in \Gamma (V)}$

${\displaystyle \Gamma (V)=\{\varphi :G\rightarrow \mathbb {V} \;:\;\varphi (gh)=\rho (h^{-1})\varphi (g)\; \forall \;g\in G、\;h\in H\}。}$

この形式では、グループGはセクションに対して次のように作用します。

${\displaystyle (\ell _{g}\varphi )(g')=\varphi (g^{-1}g')。}$

ここで、 VとWをM上の2つのベクトル束とする。すると、微分演算子

${\displaystyle d:\ガンマ (V)\rightarrow \ガンマ (W)}$

VのセクションをWのセクションに写像するが不変であると言われるのは、

${\displaystyle d(\ell _{g}\varphi )=\ell _{g}(d\varphi ).}$

Gのすべてのセクションと Gの元gに対して成り立ちます。同次放物型幾何学上のすべての線型不変微分作用素、すなわちGが半単純でH が放物型部分群である場合、は一般化 Verma 加群の準同型によって双対的に与えられます。 ${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \ガンマ (V)}$

2つの接続 と1つの形式が与えられている場合、 ${\displaystyle \nabla}$${\displaystyle {\hat {\nabla }}}$${\displaystyle \omega}$

${\displaystyle \nabla _{a}\omega _{b}={\hat {\nabla }}_{a}\omega _{b}-Q_{ab}{}^{c}\omega _{c }}$

あるテンソル に対して となる。^[1] 同値類の接続が与えられたとき、同値類内の接続を別の接続に変更しても演算子の形が変化しない場合、演算子は不変であるという。たとえば、すべてのねじれのない接続の同値類を考えると、テンソル Q はその下位のインデックスで対称である、つまり となる。したがって、次のように計算できる 。${\displaystyle Q_{ab}{}^{c}}$${\displaystyle [\nabla ]}$${\displaystyle Q_{ab}{}^{c}=Q_{(ab)}{}^{c}}$

${\displaystyle \nabla _{[a}\omega _{b]}={\hat {\nabla }}_{[a}\omega _{b]},}$

ここで括弧は歪対称化を表す。これは、外微分が 1 つの形式に作用するときの不変性を示す。微分幾何学では、接続の同値類が自然に生じる。たとえば、

• 共形幾何学では、接続の同値類は共形類内のすべての計量のレヴィ・チヴィタ接続によって与えられる。
• 射影幾何学では、同じ測地線を持つすべての接続によって接続の同値類が与えられます。
• CR幾何学では、擬エルミート構造の各選択に対して、接続の同値類が田中-ウェブスター接続によって与えられる。

1. ユークリッド空間上の実数値関数に作用する通常の勾配演算子は、すべてのユークリッド変換に対して不変です。${\displaystyle \nabla}$
2. 1 形式の値を持つ多様体上の関数に作用する微分（その表現は任意の局所座標系で表されます）は、多様体のすべての滑らかな変換に関して不変です（微分形式への変換の作用は、単に引き戻しです）。
        ${\displaystyle d=\sum _{j}\partial _{j}\,dx_{j}}$
   
3. より一般的には、任意の滑らかな多様体 M のn形式に作用する外微分は 、すべての滑らかな変換に関して不変です。外微分は、それらのバンドル間の唯一の線形不変微分演算子であることが示されます。
        ${\displaystyle d:\Omega^{n}(M)\rightarrow \Omega^{n+1}(M)}$
   
4. 物理学におけるディラック演算子は、ポアンカレ群に関して不変である（スピノル値関数に対するポアンカレ群の適切な作用を選択した場合。ただし、これは微妙な問題であり、これを数学的に厳密にしたい場合は、ポアンカレ群の二重被覆である群に関して不変であると言う必要があります）。
5. 共形キリング方程式は、 ベクトル場と対称トレースフリーテンソル間の共形不変線形微分演算子です。
        ${\displaystyle X^{a}\mapsto \nabla _{(a}X_{b)}-{\frac {1}{n}}\nabla _{c}X^{c}g_{ab}}$
   

• 
  共形同次多様体としての球体（ここでは赤い円で示されています）。

指標が与えられた場合

${\displaystyle g(x,y)=x_{1}y_{n+2}+x_{n+2}y_{1}+\sum _{i=2}^{n+1}x_{i}y_{i}}$

では、球面を零円錐の生成元の空間として書くことができる。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+2}}$ ${\displaystyle S^{n}}$

${\displaystyle S^{n}=\{[x]\in \mathbb {RP} _{n+1}\;:\;g(x,x)=0\}.}$

このように、共形幾何学の平坦モデルは、 と P が 内の点の安定化因子である球面です。球面上のすべての線形共形不変微分作用素の分類は既知です (Eastwood and Rice, 1987)。^[2]${\displaystyle S^{n}=G/P}$${\displaystyle G=SO_{0}(n+1,1)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+2}}$

• 微分演算子
• ラプラス不変量
• LPDO の不変因数分解

^[1]

• スロバキア、ヤン (1993)。共形多様体上の不変演算子。ウィーン大学研究講義ノート (論文)。
• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993). Natural operators in different geography (PDF) . Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York. 2017-03-30 のオリジナル(PDF)からアーカイブ。2011-01-05に取得。
• Eastwood, MG; Rice, JW (1987). 「ミンコフスキー空間上の共形不変微分作用素とその曲面類似体」. Commun. Math. Phys . 109 (2): 207–228. Bibcode :1987CMaPh.109..207E. doi :10.1007/BF01215221. S2CID  121161256.
• Kroeske, Jens (2008)。「放物線形状上の不変双線形微分ペアリング」。アデレード大学博士論文。arXiv : 0904.3311。Bibcode :2009PhDT ....... 274K。