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ベクトル場は局所的に積分可能であるため、ベクトル場が最初の座標に対する偏微分、つまり に対応するような局所座標系を常に見つけることができます。 ${\displaystyle (\xi^{1},\dots,\xi^{n})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X=\partial_{1}}$

内積、外微分、リー微分の線形性により、単項式形式に対するカルタンの魔法の公式を証明すれば十分です。次の 2 つのケースしかありません。 ${\displaystyle k}$

ケース1: 直接計算すると次のようになります。${\displaystyle \alpha =a\,d\xi ^{1}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\iota _{X}\alpha &=a\,d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k},\\d(\iota _{X}\alpha )&=(\partial _{1}a)\,d\xi ^{1}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k}+\sum _{i=k+1}^{n}(\partial _{i}a)\,d\xi ^{i}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k},\\d\alpha &=\sum _{i=k+1}^{n}(\partial _{i}a)\,d\xi ^{i}\wedge d\xi ^{1}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k},\\\iota _{X}(d\alpha )&=-\sum _{i=k+1}^{n}(\partial _{i}a)\,d\xi ^{i}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k},\\L_{X}\alpha &=(\partial _{1}a)\,d\xi ^{1}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k}.\end{aligned}}}$$

ケース2: 直接計算すると次のようになります。${\displaystyle \alpha =a\,d\xi ^{2}\wedge d\xi ^{3}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k+1}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\iota _{X}\alpha &=0,\\d\alpha &=(\partial _{1}a)\,d\xi ^{1}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k+1}+\sum _{i=k+2}^{n}(\partial _{i}a)\,d\xi ^{i}\wedge d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k+1},\\\iota _{X}(d\alpha )&=(\partial _{1}a)\,d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k+1},\\L_{X}\alpha &=(\partial _{1}a)\,d\xi ^{2}\wedge \dots \wedge d\xi ^{k+1}.\end{aligned}}}$$

外微分は外積代数上の反微分です。同様に、ベクトル場との内積も反微分です。一方、リー微分は微分です。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle \iota _{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle L_{X}}$

2 つの反導出の反交換子は導出です。

外積代数上の 2 つの微分が等しいことを示すには、それらが生成元の集合上で一致することを示すだけで十分です。局所的には、外積代数は 0 形式 (滑らかな関数) とその微分、正確な 1 形式 ( ) によって生成されます。これら 2 つのケースでカルタンの魔法の公式を検証します。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle df}$