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量子力学において、相互作用描像（これを提唱したポール・ディラックにちなんで相互作用表現またはディラック描像とも呼ばれる） ^{[1] [2]は、}シュレーディンガー描像とハイゼンベルク描像の中間の表現である。他の2つの描像では状態ベクトルか演算子のどちらかが時間依存性を持つのに対し、相互作用描像では両方とも観測量の時間依存性の一部を持つ。^[3]相互作用描像は、相互作用による波動関数と観測量の変化を扱う際に有用である。ほとんどの場の理論的計算^[4]では、多体シュレーディンガー方程式の解を自由粒子問題の解にいくつかの未知の相互作用部分を加えたものとして構築するため、相互作用表現が使用される。

異なる時間に作用する演算子を含む方程式は、相互作用図では成立しますが、シュレーディンガー図やハイゼンベルク図では必ずしも成立しません。これは、時間依存ユニタリ変換が、1 つの図の演算子を他の図の類似の演算子に関連付けるためです。

相互作用図は、ハミルトニアンと状態ベクトルに適用された ユニタリー変換の特殊なケースです。

相互作用図の演算子と状態ベクトルは、基底の変更（ユニタリー変換）によって、シュレーディンガー図の同じ演算子と状態ベクトルに関連付けられます。

相互作用図に切り替えるために、シュレーディンガー図のハミルトニアンを2 つの部分に分割します。

どのようなパーツを選択しても、有効な相互作用図が得られます。ただし、相互作用図が問題の分析を簡素化するのに役立つようにするには、通常、H _0,Sが十分に理解され、正確に解けるようにパーツが選択され、一方でH _1,Sにはこのシステムに対する分析がより困難な摂動が含まれるようにパーツが選択されます。

ハミルトニアンが明示的に時間依存性を持つ場合（例えば、量子系が時間とともに変化する印加外部電場と相互作用する場合）、通常は、明示的に時間に依存する項をH _1,Sに含め、H _{0,S を}時間に依存しないままにしておくのが有利です。

これが事実であると仮定して先に進みます。H 0,S が時間依存であることが理にかなっている状況がある場合は、_以下の定義で 対応する時間発展演算子に置き換えて先に進むことができます。${\displaystyle \mathrm {e} ^{\pm \mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }}$

をシュレーディンガー描像における時間依存状態ベクトルとする。相互作用描像における状態ベクトルは、追加の時間依存ユニタリ変換によって定義される。^[5]${\displaystyle |\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{\text{S}}t/\hbar }|\psi (0)\rangle }$${\displaystyle |\psi _{\text{I}}(t)\rangle }$

相互作用図における演算子は次のように定義される。

A _S ( t ) は通常tに依存せず、単にA _Sと書き直すことができることに注意してください。演算子が「明示的な時間依存性」を持つ場合にのみtに依存します。これは 、たとえば、適用される外部の時間変動電場への依存性によるものです。明示的な時間依存性の別の例は、A _S ( t ) が密度行列である場合に発生する可能性があります (以下を参照)。

演算子自体については、相互作用図とシュレーディンガー図は一致する。 ${\displaystyle H_{0}}$

${\displaystyle H_{0,{\text{I}}}(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }H_{0,{\text{S}}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }=H_{0,{\text{S}}}.}$

これは、演算子がそれ自身の微分可能な関数と交換可能であるという事実から簡単にわかります。この特定の演算子は、曖昧さなく呼び出すことができます。 ${\displaystyle H_{0}}$

しかし、摂動ハミルトニアンについては、 ${\displaystyle H_{1,{\text{I}}}}$

${\displaystyle H_{1,{\text{I}}}(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }H_{1,{\text{S}}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar },}$

ここで、相互作用像摂動ハミルトニアンは、[ H _1,S , H _0,S ] = 0 でない限り、時間依存ハミルトニアンになります。

時間依存ハミルトニアンH _0,S ( t )の相互作用図を得ることも可能ですが、指数関数はH _0,S ( t )によって生成される進化のユニタリプロパゲータに置き換える必要があります。または、より明示的には時間順序付けされた指数積分に置き換える必要があります。

密度行列は他の演算子と同様に相互作用描像に変換できる。特に、ρ _Iとρ _{S を}それぞれ相互作用描像とシュレーディンガー描像の密度行列とする。物理状態 | ψ _n ⟩になる確率がp _{n で}あれば、

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{\text{I}}(t)&=\sum _{n}p_{n}(t)\left|\psi _{n,{\text{I}}}(t)\right\rangle \left\langle \psi _{n,{\text{I}}}(t)\right|\\&=\sum _{n}p_{n}(t)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }\left|\psi _{n,{\text{S}}}(t)\right\rangle \left\langle \psi _{n,{\text{S}}}(t)\right|\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }\\&=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }\rho _{\text{S}}(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }.\end{aligned}}}$

シュレーディンガー方程式を相互作用図式に 変換すると、

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}|\psi _{\text{I}}(t)\rangle =H_{1,{\text{I}}}(t)|\psi _{\text{I}}(t)\rangle ,}$

これは、相互作用図において、量子状態は相互作用図で表現されるハミルトニアンの相互作用部分によって発展することを述べている。^[6]証明はFetterとWaletkaによって与えられている。^[7]

演算子A _{Sが時間に依存しない場合（つまり、「明示的な時間依存性」を持たない場合、上記を参照）、対応する}A _I ( t )の時間発展は次のように表される。

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}A_{\text{I}}(t)=[A_{\text{I}}(t),H_{0,{\text{S}}}].}$

相互作用図では、演算子は、ハミルトニアンH ' = H ₀を持つハイゼンベルク図の演算子と同様に時間とともに変化します。

相互作用図における 密度行列の発展は

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\rho _{\text{I}}(t)=[H_{1,{\text{I}}}(t),\rho _{\text{I}}(t)],}$

相互作用図におけるシュレーディンガー方程式と一致します。

一般的な演算子の場合、相互作用図における期待値は次のように表される。 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \langle A_{\text{I}}(t)\rangle =\langle \psi _{\text{I}}(t)|A_{\text{I}}(t)|\psi _{\text{I}}(t)\rangle =\langle \psi _{\text{S}}(t)|e^{-iH_{0,{\text{S}}}t}e^{iH_{0,{\text{S}}}t}\,A_{\text{S}}\,e^{-iH_{0,{\text{S}}}t}e^{iH_{0,{\text{S}}}t}|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\langle A_{\text{S}}(t)\rangle .}$

期待値の密度行列式を用いると、

${\displaystyle \langle A_{\text{I}}(t)\rangle =\operatorname {Tr} {\big (}\rho _{\text{I}}(t)\,A_{\text{I}}(t){\big )}.}$

相互作用表現という用語はシュウィンガーによって発明された。^{[8] [9]} この新しい混合表現では、状態ベクトルは一般には一定ではなくなるが、場の間に結合がない場合は一定となる。表現の変更は直接朝永-シュウィンガー方程式につながる: ^{[10] [9]}

${\displaystyle ihc{\frac {\partial \Psi [\sigma ]}{\partial \sigma (x)}}={\hat {H}}(x)\Psi (\sigma )}$

${\displaystyle {\hat {H}}(x)=-{\frac {1}{c}}j_{\mu }(x)A^{\mu }(x)}$

この場合のハミルトニアンはQED相互作用ハミルトニアンですが、一般的な相互作用でもあり、点を通過する空間的な表面です。導関数は、固定された表面上の変化を正式に表します。この方程式の正確な数学的形式的解釈を与えることは困難です。^[11]${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

このアプローチは、シュウィンガーによって「微分」および「場」アプローチと呼ばれ、ファインマン図の「積分」および「粒子」アプローチとは対照的です。^{[12] [13]}

核となる考え方は、相互作用の結合定数が小さい場合（つまり、微細構造定数のオーダーの電磁気学の場合）、連続する摂動項は結合定数の累乗となり、したがって小さくなるというものである。^[14]

相互作用図の目的は、H ₀によるすべての時間依存性を演算子に転送し、演算子が自由に進化できるようにして、状態ベクトルの時間発展を制御するために H _{1,Iのみを残すことです。}

相互作用描像は、解かれたシステムのハミルトニアンH _0,Sに追加される小さな相互作用項H _1,Sの効果を考えるときに便利です。相互作用描像を利用すると、時間依存摂動論を使用してH _1,Iの効果を見つけることができます、^{[15] : 355ff}たとえば、フェルミの黄金律の導出、^{[15] : 359–363}またはダイソン級数^{[15] : 355–357}量子場の理論では、1947 年に朝永振一郎とジュリアン シュウィンガーは、場の演算子は相互作用の存在下でも自由場として時間とともに発展できるため、共変摂動論を相互作用描像で簡潔に定式化できることに気付きました。これは現在では、このようなダイソン級数で摂動論的に扱われています。

時間に依存しないハミルトニアンH _{S （} H _0,Sは自由ハミルトニアン） の場合、

• LD Landau ; EM Lifshitz (1977)。量子力学: 非相対論的理論。第3巻 (第3版)。Pergamon Press。ISBN 978-0-08-020940-1。
• タウンゼント、ジョン S. (2000)。量子力学への現代的アプローチ(第 2 版)。カリフォルニア州サウサリート: University Science Books。ISBN 1-891389-13-0。

• ブラケット記法
• シュレーディンガー方程式
• ハーグの定理