超可換代数

数学において、超可換代数（結合代数）とは、任意の2つの同次元x、yに対して^[1]が成り立つような超代数（すなわちZ ₂次代数）である。

${\displaystyle yx=(-1)^{|x||y|}xy,}$

ここで、| x | は要素のグレードを表し、グレードが偶数か奇数かに応じてそれぞれ 0 または 1 ( Z _{2内) になります。}

同様に、これは超交換子が

${\displaystyle [x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx}$

は常に消えます。上記の意味で超交換する代数構造は、反交換を強調するために歪可換結合代数と呼ばれることもあります。または、次数を強調するために次数可換、または、超交換性が理解されている場合は、単に可換と呼ばれます。

任意の可換代数は、自明な段階（つまり、すべての要素が偶数）が与えられれば、超可換代数です。グラスマン代数（外代数とも呼ばれる）は、非自明な超可換代数の最も一般的な例です。任意の超代数の超中心は、すべての要素と超交換する要素の集合であり、超可換代数です。

超可換代数の偶数部分代数は常に可換代数である。つまり、偶数元は常に可換である。一方、奇数元は常に反可換である。つまり、

${\displaystyle xy+yx=0\,}$

xとyが奇数の場合。特に、 2 が逆数である場合、任意の奇数元xの平方はゼロになります。

${\displaystyle x^{2}=0.}$

したがって、可換超代数 (2 つの可逆要素と 0 以外の次数の 1 つの要素を持つ) には常に冪零元が含まれます。

奇数次のすべての元xに対してx2 = 0 （2が逆であるかどうかに関係なく）という性質を持つZ次数反可換代数は^交代代数と呼ばれる。^[2]

• 次数可換環
• リー超代数