理想（集合論）

数学の集合論の分野において、イデアルとは「小さい」または「無視できる」と考えられる集合の部分的に順序付けられた集合の集まりである。イデアルの要素のすべての部分集合もイデアルに含まれていなければならない (これはイデアルが小ささの概念であるという考えを成文化したものである)。また、イデアルの任意の 2 つの要素の和集合もイデアルに含まれていなければならない。

より正式には、集合が与えられた場合、上のイデアルは、次の条件を満たすの冪集合の空でない部分集合です。 ${\displaystyle X,}$${\displaystyle I}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X,}$

1. もしそしてそしてそして${\displaystyle A\in I}$${\displaystyle B\subseteq A,}$${\displaystyle B\in I,}$
2. もしそうなら${\displaystyle A,B\in I}$${\displaystyle A\cup B\in I.}$

著者によっては、それ自体は に含まれない4 番目の条件を追加します。この追加のプロパティを持つイデアルは、適切なイデアルと呼ばれます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle I}$

集合論的な意味でのイデアルは、集合の包含順序が関係する順序である、まさに順序論的な意味でのイデアルです。また、それらは、基になる集合の冪集合によって形成されるブール環上の環論的な意味でのイデアルでもあります。イデアルの双対概念はフィルターです。

イデアルの元は-nullまたは-negligibleであると言われ、文脈からイデアルが理解される場合は単にnullまたはnegligible と呼ばれる。 が上のイデアルである場合、 の部分集合は の元でない場合は-positive (または単にpositive )であると言われる。のすべての -positive 部分集合の集合はと表記される。${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I.}$${\displaystyle I}$${\displaystyle X}$${\displaystyle I^{+}.}$

が 上の真イデアルであり、 または のいずれかに対して である場合、は素イデアルです。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle A\in I}$${\displaystyle X\setminus A\in I,}$${\displaystyle I}$

• 任意の集合および任意に選択された部分集合に対して、の部分集合は上のイデアルを形成します。有限に対して、すべてのイデアルはこの形式になります。${\displaystyle X}$${\displaystyle B\subseteq X,}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X,}$
• 任意の集合の有限部分集合はイデアルを形成する${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
• 任意の測度空間について、測度がゼロの集合の部分集合。
• 任意の測度空間に対して、有限測度の集合。これには、有限部分集合 (計数測度を使用) とそれ以下の小集合が含まれます。
• セット上のボルノロジーは、${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• の空でない部分集合族が 上の真イデアルとなるのは、で表され定義される におけるその双対が上の真フィルタとなる場合のみです（フィルタはと等しくない場合に真です）。冪集合の双対はそれ自身です。つまり、 です。したがって、空でない族が上のイデアルとなるのは、その双対が上の双対イデアルとなる場合のみです（定義により は冪集合か 上の真フィルタのいずれかです）。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}:=\{X\setminus B:B\in {\mathcal {B}}\},}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle \wp (X)}$${\displaystyle X\setminus \wp (X)=\wp (X).}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \wp (X)}$${\displaystyle X}$

• すべての自然数の有限集合のイデアルはFin で表されます。
• 自然数上の可和イデアルは、和が有限となる自然数のすべての集合の集まりとして表されます。小集合を参照してください。${\displaystyle {\mathcal {I}}_{1/n},}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \sum _{n\in A}{\frac {1}{n+1}}}$
• 自然数上の漸近的にゼロ密度の集合のイデアルは、が無限大に近づくにつれて、より小さい自然数の割合がゼロに近づくような自然数のすべての集合の集合として表されます。(つまり、の漸近密度はゼロです。)${\displaystyle {\mathcal {Z}}_{0},}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$

• 測度イデアルは、ルベーグ測度がゼロになるような実数のすべての集合の集合です。${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$
• 貧弱なイデアルは、実数のすべての貧弱な集合の集合です。

• が非可算共終性を持つ順序数である場合、上の非定常イデアルは、定常集合ではないのすべての部分集合の集合です。このイデアルは、W. ヒュー・ウッディンによって広範に研究されています。${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda}$

それぞれ基底集合XとY上のイデアルIとJが与えられている場合、直積上の積は次のように形成されます。任意の部分集合に対して 、つまり、x座標の無視できる集合のみがy方向のAの無視できないスライスに対応する場合、集合は積イデアルにおいて無視できることになります。(おそらくより明確に言えば、正の数のx座標が正のスライスに対応する 場合、集合は積イデアルにおいて正になります。)${\displaystyle I\times J}$ ${\displaystyle X\times Y,}$${\displaystyle A\subseteq X\times Y,}$ $${\displaystyle A\in I\times J\quad {\text{ }}\quad \{x\in X\;:\;\{y:\langle x,y\rangle \in A\}\not \in J\}\in I} の場合のみ$$

集合X上のイデアルI は、 Xのべき集合上に同値関係を誘導します。この場合、 AとB は( Xの部分集合に対して) 同値であるとみなされますが、その場合、AとBの対称差はIの要素になります。この同値関係によるの商はブール代数で、(「P of X mod I」と読みます) と表されます。 ${\displaystyle \wp (X),}$${\displaystyle A,B}$${\displaystyle \wp (X)}$${\displaystyle \wp (X)/I}$

すべてのイデアルには、対応するフィルタがあり、これをデュアルフィルタと呼びます。I がX上のイデアルである場合、 Iのデュアルフィルタは、AがIの要素であるすべての集合のコレクションです。 (ここで、 はXにおけるAの相対的な補集合、つまり、 Aに含まれないXのすべての要素のコレクションを表します)。 ${\displaystyle X\setminus A,}$${\displaystyle X\setminus A}$

と がそれぞれと上のイデアルである場合、と がルーディン・キースラー同型であるとは、それらが基礎となる集合の元の名前を変更した点を除いて同じイデアルである場合（無視できる集合は無視する）、である。より形式的には、 と の集合と元がそれぞれ存在し、任意の部分集合に対してとなる一対一の関係があることが条件となる。${\displaystyle I}$${\displaystyle J}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle I}$${\displaystyle J}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle I}$${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \varphi :X\setminus A\to Y\setminus B,}$${\displaystyle C\subseteq X,}$ ${\displaystyle C\in I}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \varphi \in J.}$

と がRudin–Keisler 同型である場合、と はブール代数として同型です。イデアルの Rudin–Keisler 同型によって誘導される商ブール代数の同型は、自明同型と呼ばれます。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle J}$${\displaystyle \wp (X)/I}$${\displaystyle \wp (Y)/J}$

• ボルノロジー – 有界性の数学的一般化
• フィルタ（数学）  – 数学では、部分的に順序付けられた集合の特別な部分集合
• フィルタ（集合論）  - 「大きな」集合を表す集合の族
• イデアル（順序理論）  – 空でない、上限のある、下向きに閉じた部分集合
• イデアル（環論）  - 乗算を吸収する数学的環の加法部分群
• π系 – 交差に関して閉じた集合の族
• σ-イデアル – 部分集合と可算和集合に関して閉じた族リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ

• Farah, Ilijas (2000 年 11 月)。解析商: 整数上の解析イデアル上の商のリフティング理論。AMS の回顧録。アメリカ数学会。ISBN 9780821821176。