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線型代数（および量子力学への応用）において、上昇演算子または下降演算子（総称してラダー演算子）は、別の演算子の固有値を増加または減少させる演算子です。量子力学では、上昇演算子は生成演算子、下降演算子は消滅演算子と呼ばれることがあります。量子力学におけるラダー演算子のよく知られた応用は、量子調和振動子と角運動量の形式化です。

量子場理論で一般的に使用される上昇ラダー演算子と下降ラダー演算子、および生成演算子と消滅演算子の間には、表現論にある関係があります。生成演算子a _i ^†は状態iの粒子の数を増やし、対応する消滅演算子a _{i は}状態iの粒子の数を減らします。これは明らかに、ラダー演算子の上記の定義、つまり別の演算子 (この場合は粒子数演算子)の固有値を増加または減少するという要件を満たしています。

ラダー演算子という用語は通常、システムの状態を表す量子数を増減する演算子を表すために使用されるため、混乱が生じます。QFT の生成/消滅演算子を使用して粒子の状態を変更するには、消滅演算子と生成演算子の両方を使用する必要があります。消滅演算子は粒子を初期状態から削除するために使用され、生成演算子は粒子を最終状態に追加するために使用されます。

「ラダー演算子」または「上昇演算子と下降演算子」という用語は、リー代数、特にアフィンリー代数の理論の文脈で数学で使用されることもあります。たとえば、su(2)部分代数を記述するために、ルートシステムと最高重みモジュールはラダー演算子を使用して構築できます。^[1]特に、最高重みは上昇演算子によって消滅します。残りの正のルート空間は、下降演算子を繰り返し適用することによって得られます (部分代数ごとにラダー演算子のセットが 1 つ)。

表現論の観点からは、連続実パラメータにおける半単純リー群の線型表現は、リー代数に対する生成子の集合を誘導する。それらの複雑な線型結合がラダー演算子である。^{[説明が必要]} 各パラメータに対して、ラダー演算子の集合が存在する。これらは、ルートシステムとルート格子の1つの次元をナビゲートするための標準化された方法である。^[2]量子調和振動子のラダー演算子、または第二量子化の「数表現」は、この事実の特別なケースにすぎない。ラダー演算子は、角運動量演算子からコヒーレント状態、離散磁気変換演算子 まで、量子力学のいたるところで見られるようになる。

2 つの演算子XとN が、 あるスカラーcに対して交換関係 にあるとします。 が固有値方程式を持つ Nの固有状態である場合 、演算子X は、固有値をcだけシフトするように作用します。 $${\displaystyle [N,X]=cX}$$${\displaystyle {|n\rangle }}$$${\displaystyle N|n\rangle =n|n\rangle ,}$$${\displaystyle |n\rangle }$$${\displaystyle {\begin{aligned}NX|n\rangle &=(XN+[N,X])|n\rangle \\&=XN|n\rangle +[N,X]|n\rangle \\&=Xn|n\rangle +cX|n\rangle \\&=(n+c)X|n\rangle .\end{aligned}}}$$

言い換えると、 が固有値nを持つNの固有状態である場合、 は固有値n + cを持つNの固有状態であるか、または 0 です。演算子X は、 cが実数で正の場合、 Nの増加演算子であり、cが実数で負の場合、Nの低下演算子です。 ${\displaystyle |n\rangle }$${\displaystyle X|n\rangle }$

Nがエルミート演算子である場合、cは実数でなければならず、Xのエルミート随伴関数は交換関係に従う。 $${\displaystyle [N,X^{\dagger }]=-cX^{\dagger }.}$$

特に、X がNの下降演算子である場合、X ^{† は}Nの上降演算子であり、逆もまた同様です。^{[疑わしい–議論する]}

ラダー演算子の概念の特別な応用は、角運動量の量子力学的処理に見られます。成分J _x、J _y、J _zを持つ一般的な角運動量ベクトルJに対して、2つのラダー演算子^[3]を定義します。 ここで、iは虚数単位です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}&=J_{x}+iJ_{y},\\J_{-}&=J_{x}-iJ_{y},\end{aligned}}}$$

任意の角運動量演算子の直交座標成分間の交換関係は次のように表されます。 ここで、ε _{ijk は}レヴィ・チヴィタ記号であり、i、j、kはそれぞれx、y、zのいずれかの値を取ることができます。 $${\displaystyle [J_{i},J_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}J_{k},}$$

これから、ラダー演算子とJ _zの間の交換関係が得られます。 (技術的には、これは のリー代数です)。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{}[J_{z},J_{\pm }]&=\pm \hbar J_{\pm },\\{}[J_{+},J_{-}]&=2\hbar J_{z}\end{aligned}}}$$${\displaystyle {{\mathfrak {s}}l}(2,\mathbb {R} )}$

ラダー演算子の特性は、与えられた状態における J _{z演算子の作用をどのように変更するかを観察することによって決定できます。}$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}J_{\pm }|j\,m\rangle &={\big (}J_{\pm }J_{z}+[J_{z},J_{\pm }]{\big )}|j\,m\rangle \\&=(J_{\pm }J_{z}\pm \hbar J_{\pm })|j\,m\rangle \\&=\hbar (m\pm 1)J_{\pm }|j\,m\rangle .\end{aligned}}}$$

この結果を比較する $${\displaystyle J_{z}|j\,(m\pm 1)\rangle =\hbar (m\pm 1)|j\,(m\pm 1)\rangle .}$$

したがって、 はあるスカラーに を掛けたものであることがわかります。 ${\displaystyle {J_{\pm }|j\,m\rangle }}$${\displaystyle {|j\,(m\pm 1)\rangle }}$$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}|j\,m\rangle &=\alpha |j\,(m+1)\rangle ,\\J_{-}|j\,m\rangle &=\beta |j\,(m-1)\rangle .\end{aligned}}}$$

これは、量子力学におけるラダー演算子の特徴、つまり量子数を増加 (または減少) し、ある量子状態を別の量子状態にマッピングすることを示しています。これが、ラダー演算子がしばしば上昇演算子および下降演算子と呼ばれる理由です。

αとβの値を得るには、まずJ ₊とJ _−がエルミート共役対 ( )であることを認識しながら、各演算子のノルムを取ります。 ${\displaystyle J_{\pm }=J_{\mp }^{\dagger }}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle j\,m|J_{+}^{\dagger }J_{+}|j\,m\rangle =\langle j\,m|J_{-}J_{+}|j\,m\rangle =\langle j\,(m+1)|\alpha ^{*}\alpha |j\,(m+1)\rangle =|\alpha |^{2},\\&\langle j\,m|J_{-}^{\dagger }J_{-}|j\,m\rangle =\langle j\,m|J_{+}J_{-}|j\,m\rangle =\langle j\,(m-1)|\beta ^{*}\beta |j\,(m-1)\rangle =|\beta |^{2}.\end{aligned}}}$$

ラダー演算子の積は、交換可能なペアJ ²とJ _zで表すことができます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{-}J_{+}&=(J_{x}-iJ_{y})(J_{x}+iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}-\hbar J_{z},\\J_{+}J_{-}&=(J_{x}+iJ_{y})(J_{x}-iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}-i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}+\hbar J_{z}.\end{aligned}}}$$

したがって、| α | ²と | β | ²の値は、J ²とJ _zの固有値で表すことができます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}|\alpha |^{2}&=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}-\hbar ^{2}m=\hbar ^{2}(j-m)(j+m+1),\\|\beta |^{2}&=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}+\hbar ^{2}m=\hbar ^{2}(j+m)(j-m+1).\end{aligned}}}$$

αとβの位相は物理的に重要ではないので、正と実数として選択することができる（コンドン・ショートリー位相慣性）。すると、^[4] $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}|j,m\rangle &=\hbar {\sqrt {(j-m)(j+m+1)}}|j,m+1\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m+1)}}|j,m+1\rangle ,\\J_{-}|j,m\rangle &=\hbar {\sqrt {(j+m)(j-m+1)}}|j,m-1\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m-1)}}|j,m-1\rangle .\end{aligned}}}$$

mがj ( )の値によって制限されることを確認すると、 ${\displaystyle -j\leq m\leq j}$$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}|j,\,+j\rangle &=0,\\J_{-}|j,\,-j\rangle &=0.\end{aligned}}}$$

上記の証明は実質的にはクレプシュ・ゴルダン係数の構築である。

原子や分子系のハミルトニアンの多くの項は角運動量演算子のスカラー積を含んでいます。例としては超微細ハミルトニアンの磁気双極子項があります: ^[5] ここでIは核スピンです。 $${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{D}}={\hat {A}}\mathbf {I} \cdot \mathbf {J} ,}$$

角運動量代数は、球面基底に書き直すことで簡略化できることが多い。球面テンソル演算子の表記法を用いると、 J ⁽¹⁾ ≡ Jの「−1」、「0」、「+1」成分は^[6]で与えられる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{-1}^{(1)}&={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}(J_{x}-iJ_{y})={\dfrac {J_{-}}{\sqrt {2}}},\\J_{0}^{(1)}&=J_{z},\\J_{+1}^{(1)}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}(J_{x}+iJ_{y})=-{\frac {J_{+}}{\sqrt {2}}}.\end{aligned}}}$$

これらの定義から、上記のスカラー積は次のように展開できることが示される。 $${\displaystyle \mathbf {I} ^{(1)}\cdot \mathbf {J} ^{(1)}=\sum _{n=-1}^{+1}(-1)^{n}I_{n}^{(1)}J_{-n}^{(1)}=I_{0}^{(1)}J_{0}^{(1)}-I_{-1}^{(1)}J_{+1}^{(1)}-I_{+1}^{(1)}J_{-1}^{(1)}.}$$

この展開の重要性は、ハミルトニアンのこの項によってどの状態が結合されているか、つまり、量子数がm _i = ±1 とm _j = ∓1だけ異なる状態が明確に示されることです。

ラダー演算子の概念のもう一つの応用は、調和振動子の量子力学的扱いに見られる。下げ演算子と上げ演算子は次のように定義できる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {a}}&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}+{i \over m\omega }{\hat {p}}\right),\\{\hat {a}}^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}-{i \over m\omega }{\hat {p}}\right).\end{aligned}}}$$

これらは、システムの微分方程式を直接解くことなくエネルギー固有値を抽出する便利な手段を提供します。

文献にはラダー演算子を使用する 2 つの主なアプローチが示されています。1 つはラプラス・ルンゲ・レンツ ベクトルを使用するもので、もう 1 つはハミルトニアンの因数分解を使用するものです。

ラダー演算子の概念の別の応用は、水素のような原子とイオンの電子エネルギーの量子力学的処理に見られます。ラプラス-ルンゲ-レンツベクトルは、逆二乗球対称ポテンシャルのハミルトニアンと交換可能であり、このポテンシャルのラダー演算子を決定するために使用できます。^{[7] [8]} 下げ演算子と上げ演算子を定義できます（古典的なラプラス-ルンゲ-レンツベクトルに基づいています）。 ここで、は角運動量、は線形運動量、は系の換算質量、は電子電荷、は原子核の原子番号です。角運動量ラダー演算子と同様に、およびが存在します。 $${\displaystyle {\vec {A}}=\left({\frac {1}{Ze^{2}\mu }}\right)\left\{{\vec {L}}\times {\vec {p}}-{\boldsymbol {i}}\hbar {\vec {p}}\right\}+{\frac {\vec {r}}{r}},}$$${\displaystyle {\vec {L}}}$${\displaystyle {\vec {p}}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle e}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle A_{+}=A_{x}+iA_{y}}$${\displaystyle A_{-}=A_{x}-iA_{y}}$

続行するために必要な交換子は 、およびで あり 、したがって 、で あり 、 ここで「？」は、議論から生じる初期の量子数を示します。 $${\displaystyle [A_{\pm },L_{z}]=\mp {\boldsymbol {i}}\hbar A_{\mp }}$$$${\displaystyle [A_{\pm },L^{2}]=\mp 2\hbar ^{2}A_{\pm }-2\hbar A_{\pm }L_{z}\pm 2\hbar A_{z}L_{\pm }.}$$$${\displaystyle A_{+}|?,\ell ,m_{\ell }\rangle \rightarrow |?,\ell ,m_{\ell }+1\rangle }$$$${\displaystyle -L^{2}\left(A_{+}|?,\ell ,\ell \rangle \right)=-\hbar ^{2}(\ell +1)((\ell +1)+1)\left(A_{+}|?,\ell ,\ell \rangle \right),}$$$${\displaystyle A_{+}|?,\ell ,\ell \rangle \rightarrow |?,\ell +1,\ell +1\rangle ,}$$

パウリ方程式^{[9] [10]} IV: およびIII: が与えられ 、方程式から始めて 展開すると、次式が得られます（ は他のすべての条件と一致する角運動量量子数の最大値であると仮定します）。 これは、 を意味するリドベリの公式 につながり、 は従来の量子数です。 $${\displaystyle 1-A\cdot A=-\left({\frac {2E}{\mu Z^{2}e^{4}}}\right)(L^{2}+\hbar ^{2})}$$$${\displaystyle \left(A\times A\right)_{j}=-\left({\frac {2{\boldsymbol {i}}\hbar E}{\mu Z^{2}e^{4}}}\right)L_{j},}$$$${\displaystyle A_{-}A_{+}|\ell ^{*},\ell ^{*}\rangle =0}$$${\displaystyle \ell ^{*}}$$${\displaystyle \left(1+{\frac {2E}{\mu Z^{2}e^{4}}}(L^{2}+\hbar ^{2})-i{\frac {2i\hbar E}{\mu Z^{2}e^{4}}}L_{z}\right)|?,\ell ^{*},\ell ^{*}\rangle =0,}$$ $${\displaystyle E_{n}=-{\frac {\mu Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}(\ell ^{*}+1)^{2}}},}$$${\displaystyle \ell ^{*}+1=n=?}$${\displaystyle n}$

水素のようなポテンシャルのハミルトニアンは、球座標では と表すことができます 。 ここで、 、 および実数で自己共役な 動径運動量 です。$${\displaystyle H={\frac {1}{2\mu }}\left[p_{r}^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}L^{2}\right]+V(r),}$$${\displaystyle V(r)=-Ze^{2}/r}$$${\displaystyle p_{r}={\frac {x}{r}}p_{x}+{\frac {y}{r}}p_{y}+{\frac {z}{r}}p_{z},}$$

がハミルトニアンの固有ベクトルで、 が角運動量、 がエネルギーを表すと仮定すると、 となり、ハミルトニアンは とラベル付けされます。 ${\displaystyle |nl\rangle }$${\displaystyle l}$${\displaystyle n}$${\displaystyle L^{2}|nl\rangle =l(l+1)\hbar ^{2}|nl\rangle }$${\displaystyle H_{l}}$$${\displaystyle H_{l}={\frac {1}{2\mu }}\left[p_{r}^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}l(l+1)\hbar ^{2}\right]+V(r).}$$

因数分解法は、微分方程式のためにインフェルドとハル^{[11]によって開発されました。ニューマーチとゴールドイング[12]}は、演算子表記法を使用してこれを球対称ポテンシャルに適用しました。

ハミルトニアンの因数分解を次のように 演算子で見つけることができると仮定する。${\displaystyle C_{l}}$

および スカラーとについては となります。ベクトルは2 つの異なる方法で評価することができ、 は の固有状態であり、固有値が である ことを示す ように整理することができます 。 の 場合、 となり、状態と は 同じエネルギーを持ちます。 $${\displaystyle C_{l}C_{l}^{*}=2\mu H_{l+1}+G_{l}}$$${\displaystyle F_{l}}$${\displaystyle G_{l}}$${\displaystyle C_{l}C_{l}^{*}C_{l}|nl\rangle }$$${\displaystyle {\begin{aligned}C_{l}C_{l}^{*}C_{l}|nl\rangle &=(2\mu E_{l}^{n}+F_{l})C_{l}|nl\rangle \\&=(2\mu H_{l+1}+G_{l})C_{l}|nl\rangle ,\end{aligned}}}$$$${\displaystyle H_{l+1}(C_{l}|nl\rangle )=[E_{l}^{n}+(F_{l}-G_{l})/(2\mu )](C_{l}|nl\rangle ),}$$${\displaystyle C_{l}|nl\rangle }$${\displaystyle H_{l+1}}$$${\displaystyle E_{l+1}^{n'}=E_{l}^{n}+(F_{l}-G_{l})/(2\mu ).}$$${\displaystyle F_{l}=G_{l}}$${\displaystyle n'=n}$${\displaystyle |nl\rangle }$${\displaystyle C_{l}|nl\rangle }$

水素原子の場合、 適切な式 を と 設定すると、 と なる。 エネルギーが負の場合（つまり、 ある に対して）、 ラダー演算子には上限があり、 の場合、式（1） から となり 、 と同一視できる。$${\displaystyle V(r)=-{\frac {B\hbar }{\mu r}}}$$$${\displaystyle B={\frac {Z\mu e^{2}}{\hbar }},}$$${\displaystyle C_{l}}$$${\displaystyle C_{l}=p_{r}+{\frac {i\hbar (l+1)}{r}}-{\frac {iB}{l+1}}}$$$${\displaystyle F_{l}=G_{l}={\frac {B^{2}}{(l+1)^{2}}}.}$$${\displaystyle C_{l}|nl_{\text{max}}\rangle =0}$${\displaystyle l_{\text{max}}}$$${\displaystyle E_{l}^{n}=-F_{l}/{2\mu }=-{\frac {B^{2}}{2\mu (l_{\text{max}}+1)^{2}}}=-{\frac {\mu Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}(l_{\text{max}}+1)^{2}}},}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle l_{\text{max}}+1.}$

システムに縮退がある場合は、通常、関連する対称性特性とグループが存在します。同じ値だが異なる角運動量に対するエネルギーレベルの縮退は、球対称クーロンポテンシャルのSO(4)対称性として識別されています。^{[13] [14]}${\displaystyle n}$

3次元等方性調和振動子のポテンシャルは次のように表される。 $${\displaystyle V(r)={\tfrac {1}{2}}\mu \omega ^{2}r^{2}.}$$

同様に因数分解法を使用して管理することもできます。

^{適切な因数分解は[12]} で 与えられ 、そして これを続けると、 ハミルトニアンは次 式 からわかるように正のエネルギー準位のみを持つ 。これは、級数 のある値に対しては必ず終了し 、その後に の ある値に対してはない限り、 これはエネルギーが によって減少することを意味する。この値を と特定すると、 $${\displaystyle C_{l}=p_{r}+{\frac {i\hbar (l+1)}{r}}-i\mu \omega r}$$$${\displaystyle F_{l}=-(2l+3)\mu \omega \hbar }$$$${\displaystyle G_{l}=-(2l+1)\mu \omega \hbar .}$$$${\displaystyle E_{l+1}^{n^{'}}=E_{l}^{n}+{\frac {F_{l}-G_{l}}{2\mu }}=E_{l}^{n}-\omega \hbar ,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{l+2}^{n^{'}}&=E_{l}^{n}-2\omega \hbar \\E_{l+3}^{n^{'}}&=E_{l}^{n}-3\omega \hbar \\&\;\;\vdots \end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi |2\mu H_{l}|\psi \rangle &=\langle \psi |C_{l}^{*}C_{l}|\psi \rangle +\langle \psi |(2l+3)\mu \omega \hbar |\psi \rangle \\&=\langle C_{l}\psi |C_{l}\psi \rangle +(2l+3)\mu \omega \hbar \langle \psi |\psi \rangle \\&\geq 0.\end{aligned}}}$$${\displaystyle l}$${\displaystyle C_{l_{\text{max}}}|nl_{\text{max}}\rangle =0,}$$${\displaystyle E_{l_{\text{max}}}^{n}=-{\frac {F_{l_{\text{max}}}}{2\mu }}=\left(l_{\text{max}}+{\frac {3}{2}}\right)\omega \hbar .}$$${\displaystyle \omega \hbar }$${\displaystyle C_{l}|n,l\rangle =0}$${\displaystyle l}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle E_{l}^{n}=-F_{l}=\left(n+{\tfrac {3}{2}}\right)\omega \hbar .}$$

すると、解に 再帰関係を与えると 、${\displaystyle n'=n-1}$$${\displaystyle C_{l}|nl\rangle =\lambda _{l}^{n}|n-1,\,l+1\rangle ,}$$${\displaystyle \lambda }$$${\displaystyle \lambda _{l}^{n}=-\mu \omega \hbar {\sqrt {2(n-l)}}.}$$

角運動量による縮退があり、振動子ポテンシャルによる追加の縮退もあります。状態を考慮し 、低下演算子を適用します。 同じエネルギーで2ずつ減少するシーケンスが得られます。角運動量の縮退に加えて、これにより全体の縮退が得られます^[15]${\displaystyle |n,\,n\rangle ,|n-1,\,n-1\rangle ,|n-2,\,n-2\rangle ,\dots }$${\displaystyle C^{*}}$${\displaystyle C_{n-2}^{*}|n-1,\,n-1\rangle ,C_{n-4}^{*}C_{n-3}^{*}|n-2,\,n-2\rangle ,\dots }$${\displaystyle |n,n\rangle ,|n,\,n-2\rangle ,|n,\,n-4\rangle ,\dots }$${\displaystyle l}$${\displaystyle (n+1)(n+2)/2}$

3次元等方調和振動子の退化は特殊ユニタリー群SU(3)と関連している^{[15] [16]}

多くの文献では、ラダー演算子の発明者はポール・ディラックであるとされている。 ^[17]ディラックのラダー演算子の使用は、全角運動量量子数が ħの負でない半整数倍である必要があることを示している。 ${\displaystyle j}$

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