エアレスマン接続

微分幾何学において、エーレスマン接続（この概念を最初に定式化したフランスの数学者シャルル・エーレスマンにちなむ）は、任意の滑らかなファイバー束上で意味をなす接続という概念の一種である。特に、この接続は基礎となるファイバー束の可能なベクトル束構造に依存しないが、それでも線型接続は特殊なケースとみなすことができる。エーレスマン接続のもう 1 つの重要な特殊なケースは、主リー群作用において同変であることが求められる主束上の主接続である。

微分幾何学における共変微分は、ベクトル束の切断の方向微分を共変的に取る線型微分作用素である。また、これを用いて、ベクトルの方向における束の平行切断の概念を定式化することもできる。すなわち、 ならば、切断s はベクトルに沿って平行である。したがって、共変微分は、少なくとも 2 つのこと、すなわち、微分作用素と、各方向で平行であるとはどういうことかという概念とを提供する。Ehresmann接続は、微分作用素を完全に削除し、各方向で平行な切断に関して接続を公理的に定義する (Ehresmann 1950)。具体的には、Ehresmann 接続は、ファイバー束の全空間に対する各接空間のベクトル部分空間を、水平空間と呼ぶものに選び出す。したがって、切断は、 が水平空間内にある場合、方向に水平 (すなわち平行) である。ここで、 を基底からファイバー束 への関数と見なしているため、は接ベクトルの押し出しとなる。水平空間は、 のベクトル部分束を一緒に形成する。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \nabla_{X}s=0}$${\displaystyle s}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\rm {d}}s(X)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s\colon M\to E}$${\displaystyle M}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\rm {d}}s\colon TM\to TE}$${\displaystyle TE}$

これには、単なるベクトル束よりもずっと広いクラスの構造で定義できるという直接的な利点があります。特に、一般的なファイバー束上で明確に定義されています。さらに、共変微分の特徴の多くがまだ残っています: 平行移動、曲率、ホロノミー。

線形性以外に、接続に欠けている要素は共変性です。古典的な共変性微分では、共変性は微分の事後的な特徴です。それらの構築では、 共変性ではないクリストッフェル記号の変換法則を指定し、その結果として微分の一般共変性が続きます。エーレスマン接続の場合、ファイバー束のファイバーに作用するリー群を導入することで、最初から一般化された共変性原理を課すことができます。適切な条件は、水平空間が、ある意味で、群作用に関して 同変であることを要求することです。

エーレスマン接続の最後の仕上げは、接続形式の場合とほぼ同じように、微分形式として表すことができることです。グループがファイバーに作用し、接続が同変である場合、形式も同変になります。さらに、接続形式により、曲率を曲率形式として定義することもできます。

を滑らかな繊維束と する。^[1]${\displaystyle \pi \colon E\to M}$

${\displaystyle V=\ker(\operatorname {d} \pi \colon TE\to TM)}$

をEの「ファイバーに接する」ベクトルからなる垂直バンドル、つまりVのにおけるファイバーとします。 のこのサブバンドルは、基本空間Mに接する標準的なサブスペースが存在しない場合でも標準的に定義されます。 (もちろん、この非対称性は、ファイバーバンドルの定義そのものから生じており、ファイバーバンドルには「投影が 1 つだけ」あるのに対し、積には 2 つあります。) ${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle V_{e}=T_{e}(E_{\pi (e)})}$${\displaystyle TE}$${\displaystyle \pi \colon E\to M}$${\displaystyle E=M\times F}$

上のエーレスマン接続はの滑らかな部分束であり、接続の水平束と呼ばれ、直和分解を定義するという意味でVと相補的です。^[2]より詳しくは、水平束には次の性質があります。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle H}$${\displaystyle TE}$${\displaystyle TE=H\oplus V}$

• 各点 に対して、はにおける への接空間のベクトル部分空間であり、における接続の水平部分空間と呼ばれます。${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle H_{e}}$${\displaystyle T_{e}E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle e}$${\displaystyle e}$
• ${\displaystyle H_{e}}$スムーズに依存します。${\displaystyle e}$
• それぞれについて、.${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle H_{e}\cap V_{e}=\{0\}}$
• （任意の に対して）の任意の接ベクトルは、水平成分と垂直成分の和であるため、 となります。${\displaystyle T_{e}E}$${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle T_{e}E=H_{e}+V_{e}}$

より洗練された言葉で言えば、これらの特性を満たす水平空間の割り当ては、ジェット束 J ¹ E → Eの滑らかな断面に正確に対応します。

同様に、Φ をHに沿った垂直バンドルVへの射影とします(つまり、H = ker Φ )。これは、 TEを水平部分と垂直部分に直和分解することによって決定され、エーレスマン接続の接続形式と呼ばれることもあります。したがって、 Φ はTEからそれ自身へのベクトルバンドル準同型であり、次の特性 (一般的な射影の特性) を持ちます。

• Φ ² = Φ ;
• Φ はV =Im Φ上の恒等関数です。

逆に、Φ がこれら 2 つの性質を満たすTEのベクトル束自己準同型である場合、H = ker Φ はEhresmann 接続の水平部分束です。

最後に、Φは各接空間のそれ自身への線型写像であるため、 E上のTE値 1 形式と見なすこともできることに注意してください。これは、以降のセクションで役立つ視点になります。

エーレスマン接続は、曲線の接線が水平になるように、曲線を基本多様体Mからファイバー束Eの全体空間に持ち上げる方法も規定しています。 ^{[2] [3]}これらの水平方向の持ち上げは、接続形式の他のバージョンに対する 平行移動の直接的な類似物です。

具体的には、 γ ( t ) が点x  =  γ (0)を通るM内の滑らかな曲線であるとする。e  ∈  E _{x を}x上のファイバー内の点とする。eを通るγのリフトは、全空間E内の曲線であり、 ${\displaystyle {\チルダ {\gamma }}(t)}$

${\displaystyle {\チルダ {\gamma }}(0)=e}$、 そして${\displaystyle \pi ({\チルダ {\gamma }}(t))=\gamma (t).}$

リフトが水平であるとは、曲線のすべての接線がTEの水平部分束内にある場合です。

${\displaystyle {\チルダ {\ガンマ }}'(t)\in H_{{\チルダ {\ガンマ }}(t)}。$

πとΦに適用された階数零定理を用いて、各ベクトルX ∈ T _x Mがベクトル への唯一の水平揚力を持つことを示すことができる。特に、γへの接線場は、プルバックバンドルγ * Eの全空間に水平ベクトル場を生成する。ピカール・リンデレーフの定理により、このベクトル場は積分可能である。したがって、任意の曲線γとx  =  γ (0)上の点eに対して、微小時間tでe を通るγの唯一の水平揚力が存在する。 ${\displaystyle {\tilde {X}}\in T_{e}E}$

一般的なエーレスマン接続では、水平方向の持ち上げは経路依存であることに注意してください。γ ₁ (0) =  γ ₂ (0) =  x ₀で一致し、別の点x ₁  ∈  Mでも交差するM内の 2 つの滑らかな曲線を、同じe  ∈  π ⁻¹ ( x _{0 ) を介して}Eまで水平方向に持ち上げると、通常、これらの曲線はπ ⁻¹ ( x ₁ )の異なる点を通過します。これは、ファイバー束の微分幾何学にとって重要な結果をもたらします。つまり、 Hの切断空間は、ベクトル場のリー括弧の下で (一般に) 閉じていないため、E上のベクトル場の空間のリー部分代数ではありません。このリー括弧の下での閉じの失敗は、曲率によって測定されます。

Φをエーレスマン接続とする。このとき、 Φの曲率は^[2]で与えられる。

${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}[\varPhi ,\varPhi ]}$

ここで[-,-]は、Φ∈Ω1(E,TE)とそれ自身とのFrölicher-Nijenhuis括弧を表す。したがって、 R∈Ω2 ( ^E , TE )は、TEの値が次のように定義される E上の2次元形式である^。

${\displaystyle R(X,Y)=\varPhi \left([(\mathrm {id} -\varPhi )X,(\mathrm {id} -\varPhi )Y]\right)}$、

あるいは、言い換えれば、

${\displaystyle R\left(X,Y\right)=\left[X_{H},Y_{H}\right]_{V}}$、

ここで、X = X _H + X _{V は、それぞれ}H成分とV成分への直和分解を表します。この曲率の最後の式から、水平サブバンドルがフロベニウス積分可能である場合にのみ、曲率が等しく消えることがわかります。したがって、曲率は、水平サブバンドルがファイバーバンドルE → Mの横断面を生成するための積分可能条件です。

エーレスマン接続の曲率はビアンキ恒等式のバージョンも満たす。

${\displaystyle \left[\varPhi,R\right]=0}$

ここでも[ -,-]はΦ∈Ω1 ( E , TE )およびR∈Ω2 ( E ^, TE )のFrölicher-Nijenhuis括弧^です。

エーレスマン接続により、曲線は局所的に一意の水平リフトを持つことができます。完全なエーレスマン接続の場合、曲線はドメイン全体で水平に持ち上げることができます。

接続の平坦性は、局所的には水平空間のフロベニウス積分可能性に対応する。反対に、曲率がゼロでない場合は、接続のホロノミーが存在することを意味する。 ^[4]

E がM上の滑らかな主G束であるとする。このとき、 E上のエーレスマン接続H は、 E上のG作用に関して次の意味で 不変であるとき、主 (エーレスマン) 接続^[3]と呼ばれる。

${\displaystyle H_{eg}=\mathrm {d} (R_{g})_{e}(H_{e})}$任意のe ∈ Eおよびg ∈ Gに対して、eにおけるgのEへの右作用の微分を表します。${\displaystyle \mathrm {d} (R_{g})_{e}}$

Gの 1 パラメータ部分群はEに垂直に作用します。この作用の微分により、部分空間を群Gのリー代数gと同一視できます(つまり、写像 によって) 。すると、エーレスマン接続の接続形式Φ は、 gの値がω ( X )= ι ( Φ ( X ))で定義されるE上の1 形式ωとして考えることができます。 ${\displaystyle V_{e}}$${\displaystyle \iota \colon V_{e}\to {\mathfrak {g}}}$

このように再解釈すると、接続形式ω は次の 2 つの特性を満たします。

• これはG作用の下で同変変換します:すべてのh ∈ G に対して、R _h ^*は右作用の下での引き戻しであり、 Ad はGのリー代数上の随伴表現です。${\displaystyle R_{h}^{*}\omega ={\hbox{Ad}}(h^{-1})\omega }$
• これは垂直ベクトル場をそれに関連するリー代数の要素に写像します:すべてのX ∈ Vに対してω ( X )= ι ( X ) です。

逆に、主バンドル上のそのようなg値 1 形式は、前述の特性を満たす水平分布を生成すること が示されます。

局所的な単純化が与えられると、ω を水平ベクトル場（この単純化では）に簡約することができます。これは、プルバックを介してM上の1 形式ω'を定義します。形式ω' はω を完全に決定しますが、単純化の選択に依存します。（この形式は接続形式とも呼ばれ、単にωと表記されることが多いです。）

E がM上の滑らかなベクトル束であるとします。このとき、 E上のエーレスマン接続H は、 H _{e が}各x ∈ Mに対してe ∈ E _xに線型に依存するとき、線型 (エーレスマン) 接続であるといいます。これを正確にするために、S _{λ が}E上のλによるスカラー乗算を表すものとします。このとき、 H が線型であるための必要十分条件は、任意のe ∈ Eおよびスカラー λ に対してです。 ${\displaystyle H_{\lambda e}=\mathrm {d} (S_{\lambda })_{e}(H_{e})}$

Eはベクトル束なので、その垂直束V はπ * Eと同型です。したがって、s がEの切断であれば、 Φ (d s ): TM → s * V = s * π * E = Eとなります。これはベクトル束射なので、ベクトル束 Hom( TM , E ) の切断 ∇ sによって与えられます。エーレスマン接続が線型であるという事実は、さらにそれがライプニッツ規則上のすべての関数に対して成立すること、つまり であり、したがって sの共変微分であることを意味します。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \nabla (fs)=f\nabla (s)+d(f)\otimes s}$

逆に、ベクトル束上の共変微分 ∇ は、 x = π ( e )となるe ∈ Eに対してH _{e を}d s _x ( T _x M ) の像として定義することによって、線型エーレスマン接続を定義します。ここで、s はEの切断であり、 s ( x ) = eであり、すべてのX ∈ T _x Mに対して∇ _X s = 0 です。

注意: (歴史的な理由により) 接続に適用される「線形」という用語は、接線バンドルまたはフレーム バンドル上で定義された接続を指すために使用されることがあります ( 「アフィン」という単語のように – 「アフィン接続」を参照) 。

ファイバーバンドル(構造群を持つ)上のエーレスマン接続は、付随バンドル上のエーレスマン接続を生じることがある。たとえば、ベクトルバンドル E内の (線型) 接続は、上記のようにEの平行性を与えると考えられ、 Eの付随するフレームのバンドル P E上の接続を誘導する。逆に、 P E内の接続は、 P E内の接続がフレームに対する一般線型群の作用に関して同変 (したがって主接続) である場合に、 E内の (線型) 接続を生じる。エーレスマン接続が、付随バンドル上の接続を自然な方法で誘導することが常に可能であるとは限らない。たとえば、ベクトルバンドルのフレームのバンドル上の非同変エーレスマン接続は、ベクトルバンドル上の接続を誘導しない可能性がある。

E がPの随伴バンドルであると仮定すると、 E = P × _G Fとなる。E上のG接続は、平行移動マップ τ : F _x → F _{x′ が}ファイバーのG変換によって与えられるような Ehresmann 接続である（曲線で結ばれたM内の十分に近い点xとx ′上）。 ^[5]

P上の主接続が与えられると、プルバックを介して関連するファイバーバンドルE = P × _G F上のG接続が得られます。

逆に、E上のG接続が与えられれば、付随する主バンドルP上の主接続を復元することができます。この主接続を復元するために、典型ファイバーF上のフレームの概念を導入します。G はF上で有効に作用する有限次元^[6]リー群なので、G軌道R = {( gy ₁ ,... , gy _m ) | g ∈ G } がGの主同次空間となるような、F内の点 ( y ₁ , ..., y _m )の有限配置が存在しなければなりません。R は、 F上のG作用に対するフレームの概念の一般化を与えるものと考えることができます。RはGの主同次空間なので、典型ファイバーRを持つEに付随するファイバーバンドルE ( R )は、 Eに付随する主バンドルと（同等である）ことに注意してください。しかし、それはEとそれ自身とのm重積バンドルのサブバンドルでもあります。 E上の水平空間の分布は、この積束上の空間の分布を誘導します。接続に関連付けられた平行移動マップはGマップであるため、サブスペースE ( R ) が保存され、そのためG接続はE ( R )上の主要なG接続に下がります。

要約すると、主接続の随伴ファイバー束への降下と随伴ファイバー束上のG接続の間には、（同値性まで）1 対 1 の対応関係があります。このため、構造群Gを持つファイバー束のカテゴリでは、主接続に随伴バンドル上のG接続に関するすべての関連情報が含まれています。したがって、随伴バンドル上の接続を考慮する優先的な理由がない限り（たとえば、カルタン接続の場合など）、通常は主接続を直接扱います。

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