フォック状態

量子力学において、フォック状態または数状態とは、粒子数（または量子数）が明確に定義されたフォック空間の要素である量子状態のことである。これらの状態は、ソ連の物理学者ウラジーミル・フォックにちなんで名付けられた。フォック状態は、量子力学の第二量子化定式化において重要な役割を果たす。

粒子表現は、ボソンについてはポール​​・ディラックによって、フェルミオンについてはパスカル・ジョルダンとユージン・ウィグナーによって初めて詳細に扱われた。^{[ 1 ]： 35}ボソンとフェルミオンのフォック状態は、フォック空間の生成および消滅演算子 に関して有用な関係に従う。

N個の相互作用しない同一粒子からなる多粒子状態は、N個の単粒子状態のテンソル積の和として記述することで指定されます。さらに、粒子のスピンの整数性に応じて、テンソル積は基となる単粒子ヒルベルト空間の交代積（反対称積）または対称積でなければなりません。具体的には次のようになります。

• 半整数スピンを持ち、パウリの排他原理に従うフェルミオンは、反対称テンソル積に対応する。
• 整数スピンを持ち（排他原理に支配されない）ボソンは、対称テンソル積に対応する。

粒子数が可変の場合、フォック空間は、各粒子数に対応するヒルベルト空間のテンソル積の直和として構築される。フォック空間では、各可能な1粒子状態における粒子数を指定することで、同じ状態を占有数表記という新しい表記法で表すことができる。

させて${\textstyle \left\{\mathbf {k} _{i}\right\}_{i\in I}}$これは、基底となる1粒子ヒルベルト空間における状態の正規直交基底となる。これにより、フォック空間に対応する基底、すなわち「占有数基底」が誘導される。フォック空間における量子状態は、占有数基底の要素である場合にフォック状態と呼ばれる。

フォック状態は重要な基準を満たします。すなわち、各iについて、その状態は粒子数演算子の固有状態です。${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}}$i番目の基本状態k _iに対応します。対応する固有値は、その状態にある粒子の数を示します。この基準は、フォック状態をほぼ定義します（さらに位相因子を選択する必要があります）。

与えられたフォック状態は次のように表される。${\displaystyle |n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},..n_{{\mathbf {k} }_{i}}...\rangle }$この表現では、${\displaystyle n_{{\mathbf {k} }_{i}}}$は i 番目の状態k _iにおける粒子の数を表し、i 番目の状態の粒子数演算子である。${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}}$は、フォック状態に対して次のように作用します。

${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},..n_{{\mathbf {k} }_{i}}...\rangle =n_{{\mathbf {k} }_{i}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},...n_{{\mathbf {k} }_{i}}...\rangle }$

したがって、フォック状態は、固有値を持つ数演算子の固有状態である。${\displaystyle n_{{\mathbf {k} }_{i}}}$[ ^{2 ]： 478​}

フォック状態は、フォック空間の最も便利な基底を形成することが多い。粒子数が異なる状態の重ね合わせである（したがって、粒子数演算子の固有状態ではない）フォック空間の要素は、フォック状態ではない。このため、フォック空間のすべての要素が「フォック状態」と呼ばれるわけではない。

集合粒子数演算子を定義すると、${\textstyle {\widehat {N}}}$として

${\displaystyle {\widehat {N}}=\sum _{i}{\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}},}$

フォック状態の定義は測定の分散を保証する$\displaystyle \operatorname {Var} \left({\widehat {N}}\right)=0}$つまり、フォック状態にある粒子の数を測定すると、常に変動のない確定値が返される。

最終状態${\displaystyle |f\rangle }$2 つの同一粒子の任意のフォック状態は次のように与えられる。${\displaystyle |1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\rangle }$、およびあらゆるオペレーター${\displaystyle {\widehat {\mathbb {O} }}}$不可分性については、以下の条件を満たす。^{[ 3 ]： 191}

${\displaystyle \left|\left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle \right|^{2}=\left|\left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle \right|^{2}}$。

だから、私たちは${\displaystyle \left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle =e^{i\delta }\left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle }$

どこ${\displaystyle e^{i\delta }=+1}$ボソンと​${\displaystyle -1}$フェルミオンの場合。${\displaystyle \langle f|}$そして${\displaystyle {\widehat {\mathbb {O} }}}$は任意であると言える、

$\displaystyle \left|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle =+\left|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle }$ボソンと

${\displaystyle \left|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle =-\left|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle }$フェルミオンの場合。^{[ 3 ]： 191}

数演算子はボソンとフェルミオンを区別しないことに注意してください。実際、対称性の種類に関係なく粒子を数えるだけです。両者の違いを認識するには、生成演算子と消滅演算子という別の演算子が必要です。

整数スピンを持つ粒子であるボソンは、単純な規則に従います。その複合固有状態は、交換演算子による操作に対して対称です^{[ 4 ]}。例えば、テンソル積表現の2粒子系では、次のようになります。${\displaystyle {\hat {P}}\left|x_{1},x_{2}\right\rangle =\left|x_{2},x_{1}\right\rangle }$。

ボソン生成・消滅演算子

この新しいフォック空間表現では、同じ対称性を表現できるはずです。そのために、非エルミートボソン生成消滅演算子^{[ 4 ]}を導入します。${\displaystyle b^{\dagger }}$そして${\displaystyle b}$それぞれ。これらの演算子がフォック状態に及ぼす作用は、次の2つの式で与えられる。

• 生成演算子${\textstyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }}$:

  ${\displaystyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1,...\rangle }$^{[ 4 ]}

• 殲滅オペレーター${\textstyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}}$:

  ${\displaystyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1,...\rangle }$^{[ 4 ]}

生成演算子と消滅演算子の非エルミート性

ボソンフォック状態の生成および消滅演算子はエルミート演算子ではない。^{[ 4 ]}

生成演算子と消滅演算子がエルミート演算子ではないことの証明。

フォック状態の場合、${\displaystyle |n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}},\dots \rangle }$、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1,\dots \left|b_{\mathbf {k} _{l}}\right|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}},\dots \right\rangle &={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}}}\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1,\dots |n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1,\dots \right\rangle \\[6pt]\left(\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}},\dots \left|b_{\mathbf {k} _{l}}\right|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1,\dots \right\rangle \right)^{*}&=\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1\dots \left|b_{\mathbf {k} _{l}}^{\dagger }\right|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}},\dots \right\rangle \\&={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}+1}}\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}-1\dots |n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}\dots n_{\mathbf {k} _{l}}+1\dots \right\rangle \end{aligned}}}$$

したがって、生成（消滅）演算子の随伴演算子は自身を包含しないことが明らかである。ゆえに、それらはエルミート演算子ではない。

しかし、生成（消滅）演算子の随伴演算子は消滅（生成）演算子である。^{[ 5 ]： 45}

演算子識別子

ボソン系における生成演算子と消滅演算子の交換関係は

${\displaystyle \left[b_{i}^{\,},b_{j}^{\dagger }\right]\equiv b_{i}^{\,}b_{j}^{\dagger }-b_{j}^{\dagger }b_{i}^{\,}=\delta _{ij},}$^{[ 4 ]}

${\displaystyle \left[b_{i}^{\dagger },b_{j}^{\dagger }\right]=\left[b_{i}^{\,},b_{j}^{\,}\right]=0,}$^{[ 4 ]}

どこ${\displaystyle [\ \ ,\ \ ]}$は整流子であり、${\displaystyle \delta _{ij}}$はクロネッカーデルタです。

第二量子化理論では、ハミルトニアン密度関数は次のように与えられる。

${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\frac {1}{2m}}\nabla _{i}\psi ^{*}(x)\,\nabla _{i}\psi (x)}$^{[ 3 ]： 189}

全ハミルトニアンは次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\int d^{3}x\,{\mathfrak {H}}=\int d^{3}x\psi ^{*}(x)\left(-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\right)\psi (x)\\\therefore {\mathfrak {H}}&=-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\end{aligned}}}$

自由シュレーディンガー理論では、^{[ 3 ]： 189}

${\displaystyle {\mathfrak {H}}\psi _{n}^{(+)}(x)=-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\psi _{n}^{(+)}(x)=E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x)}$

そして

${\displaystyle \int d^{3}x\,\psi _{n}^{(+)^{*}}(x)\,\psi _{n'}^{(+)}(x)=\delta _{nn'}}$

そして

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n}a_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)}$、

どこ${\displaystyle a_{n}}$は消滅演算子です。

${\displaystyle \therefore {\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,a_{n'}^{\dagger }\psi _{n'}^{(+)^{*}}(x)\,{\mathfrak {H}}a_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)}$

相互作用しない粒子の場合のみ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$そして${\displaystyle a_{n}}$可換である。一般には可換ではない。相互作用しない粒子の場合、

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,a_{n'}^{\dagger }\psi _{n'}^{(+)^{*}}(x)\,E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x)a_{n}=\sum _{n,n'}E_{n}^{0}a_{n'}^{\dagger }a_{n}\delta _{nn'}=\sum _{n}E_{n}^{0}a_{n}^{\dagger }a_{n}=\sum _{n}E_{n}^{0}{\widehat {N}}}$

それらが可換でない場合、ハミルトニアンは上記の式を満たさない。したがって、一般に、フォック状態は系のエネルギー固有状態ではない。

真空状態または${\displaystyle |0\rangle }$は最低エネルギーの状態であり、期待値は${\displaystyle a}$そして${\displaystyle a^{\dagger }}$この状態では消滅する：

${\displaystyle \langle 0|a|0\rangle =\langle 0|a^{\dagger }|0\rangle =0}$

電場、磁場、およびベクトルポテンシャルは、いずれも同じ一般的な形式のモード展開を持つ。

${\displaystyle F\left({\vec {r}},t\right)=\varepsilon ae^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t}+\varepsilon a^{\dagger }e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t}}$

これらの場演算子の期待値は真空状態ではゼロになる。

${\displaystyle \langle 0|F|0\rangle =0}$

しかしながら、これらの場演算子の二乗の期待値はゼロではない。つまり、真空状態には場のゆらぎが存在する。これらの真空ゆらぎは、量子光学におけるラムシフトをはじめとする多くの興味深い現象の原因となっている。

マルチモード場においては、各生成消滅演算子はそれぞれ独自のモードで動作する。したがって${\displaystyle a_{\mathbf {k} _{l}}}$そして${\displaystyle a_{\mathbf {k} _{l}}^{\dagger }}$のみ動作します${\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{l}}\right\rangle }$異なるモードに対応する演算子はヒルベルト空間の異なる部分空間で作用するため、体全体は の直積である。${\displaystyle |n_{\mathbf {k} _{l}}\rangle }$すべてのモードにおいて：

${\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle \left|n_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle \left|n_{\mathbf {k} _{3}}\right\rangle \ldots \equiv \left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle \equiv \left|\{n_{\mathbf {k} }\}\right\rangle }$

生成演算子と消滅演算子は、マルチモード状態に対して、自身のモードの数値状態のみを上げ下げすることによって作用する。

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle &={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1,...\rangle \\a_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle &={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1,...\rangle \end{aligned}}}$

また、各モードの数値演算子の合計である、フィールドの総数値演算子を定義します。

${\displaystyle {\hat {n}}_{\mathbf {k} }=\sum {\hat {n}}_{\mathbf {k} _{l}}}$

マルチモードフォック状態は、全モードの占有数の合計を固有値とする全数演算子の固有ベクトルである。

${\displaystyle {\hat {n}}_{\mathbf {k} }|\{n_{\mathbf {k} }\}\rangle =\left(\sum n_{\mathbf {k} _{l}}\right)|\{n_{\mathbf {k} }\}\rangle }$

相互作用しない粒子の場合、数演算子とハミルトニアンは互いに可換であるため、多モードフォック状態は多モードハミルトニアンの固有状態となる。

${\displaystyle {\hat {H}}\left|\{n_{\mathbf {k} }\}\right\rangle =\left(\sum \hbar \omega \left(n_{\mathbf {k} _{l}}+{\frac {1}{2}}\right)\right)\left|\{n_{\mathbf {k} }\}\right\rangle }$

単一光子は、単一発光体（原子、イオン、分子、窒素空孔中心^{[ 8 ]} 、量子ドット^{[ 9 ]} ）を用いて日常的に生成されています。しかし、これらの光源は必ずしも効率的ではなく、要求に応じて実際に単一光子を得られる確率は低い場合が多く、また、多くの場合複雑で、実験室環境以外では不向きです。

これらの問題を克服するために、非決定論的な挙動を犠牲にする他の光源も一般的に用いられています。ヘラルド型単一光子光源は、確率的な二光子光源であり、二光子ペアが分割され、一方の光子の検出によって残りの光子の存在が示されます。これらの光源は通常、周期分極ニオブ酸リチウム（自発的パラメトリック下方変換）やシリコン（自発的四光波混合）などの材料の光学的非線形性に依存しています。

フォック状態のグラウバー・スダルシャンP表現は、これらの状態が純粋に量子力学的であり、古典的な対応物を持たないことを示している。${\displaystyle \scriptstyle \varphi (\alpha )\,}$この表現におけるこれらの状態は${\displaystyle 2n}$ディラックのデルタ関数の ' 階微分であり、したがって古典的な確率分布ではない。

• コヒーレント状態
• ハイゼンベルク限界
• 非古典的な光

• MITのヴラダン・ヴレティッチは、原子の集合体を用いてフォック状態（別名：単一光子）源を生成した。Wayback Machineに2023年6月15日にアーカイブ済み（PDF）
• 対話型実験ツールQuantumLabで、単一光子状態（フォック状態）を生成・測定する