平面板

数学において、平面薄板（または平面薄板^{[1] ）は、固体の薄く、通常は均一な平らな層を表す図形である。また、}積分における固体の平面断面の理想化されたモデルとしても機能する。

平面薄板は、平面図形の慣性モーメントや質量中心を決定するために使用でき、3D ボディの対応する計算にも役立ちます。

平面薄板は、平面上の有限領域の図形（閉集合）Dと質量mとして定義されます。^[2]

これは、一定の密度の慣性モーメントや質量中心を計算するのに役立ちます。なぜなら、薄層の質量はその面積に比例するからです。密度が変化する場合は、何らかの（負でない）表面密度関数によって与えられ、平面薄層の質量Dは、図のρの平面積分になります。 ^[3]${\displaystyle \rho (x,y),}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle m=\iint _{D}\rho (x,y)\,dx\,dy}$

薄板の重心は点にある

${\displaystyle \left({\frac {M_{y}}{m}},{\frac {M_{x}}{m}}\right)}$

ここで、は y 軸を中心とした薄板全体のモーメントであり、は x 軸を中心とした薄板全体のモーメントです。 ${\displaystyle M_{y}}$${\displaystyle M_{x}}$

${\displaystyle M_{y}=\lim _{m,n\to \infty }\,\sum _{i=1}^{m}\,\sum _{j=1}^{n}\, x{_{ij}}^{*}\,\rho \ (x{_{ij}}^{*},y{_{ij}}^{*})\,\Delta D=\iint _{D}x\,\rho \ (x,y)\,dx\,dy}$

${\displaystyle M_{x}=\lim _{m,n\to \infty }\,\sum _{i=1}^{m}\,\sum _{j=1}^{n}\, y{_{ij}}^{*}\,\rho \ (x{_{ij}}^{*},y{_{ij}}^{*})\,\デルタ D=\iint _{D}y\,\rho \ (x,y)\,dx\,dy}$

平面領域上での和と積分を伴う。 ${\displaystyle D}$

線で辺が与えられ、密度が と与えられる薄層の質量の中心を求めます。 ${\displaystyle x=0,}$ ${\displaystyle y=x}$${\displaystyle y=4-x}$${\displaystyle \rho \ (x,y)\,=2x+3y+2}$

このためには、質量だけでなく、モーメントや も見つけなければなりません。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle M_{y}}$${\displaystyle M_{x}}$

質量は、反復積分として同等に表現できます。 ${\displaystyle m=\iint _{D}\rho (x,y)\,dx\,dy}$

${\displaystyle m=\int _{x=0}^{2}\int _{y=x}^{4-x}\,(2x+3y+2)\,dy\,dx}$

内部積分は次のようになります。

${\displaystyle \int _{y=x}^{4-x}\,(2x+3y+2)\,dy}$

${\displaystyle \qquad =\left.\left(2xy+{\frac {3y^{2}}{2}}+2y\right)\right|_{y=x}^{4-x}}$

${\displaystyle \qquad =\left[2x(4-x)+{\frac {3(4-x)^{2}}{2}}+2(4-x)\right]-\left[2x(x)+{\frac {3(x)^{2}}{2}}+2(x)\right]}$

${\displaystyle \qquad =-4x^{2}-8x+32}$

これを外積分に代入すると次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}m&=\int _{x=0}^{2}\left(-4x^{2}-8x+32\right)\,dx\\&=\left.\left(-{\frac {4x^{3}}{3}}-4x^{2}+32x\right)\right|_{x=0}^{2}\\&={\frac {112}{3}}\end{aligned}}}$

同様に両方のモーメントが計算されます。

${\displaystyle M_{y}=\iint _{D}x\,\rho (x,y)\,dx\,dy=\int _{x=0}^{2}\int _{y=x}^{4-x}x\,(2x+3y+2)\,dy\,dx}$

内部積分は次のようになります。

${\displaystyle \int _{y=x}^{4-x}x\,(2x+3y+2)\,dy}$

${\displaystyle \qquad =\left.\left(2x^{2}y+{\frac {3xy^{2}}{2}}+2xy\right)\right|_{y=x}^{4-x}}$

${\displaystyle \qquad =-4x^{3}-8x^{2}+32x}$

つまり、

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{y}&=\int _{x=0}^{2}(-4x^{3}-8x^{2}+32x)\,dx\\&=\left.\left(-x^{4}-{\frac {8x^{3}}{3}}+16x^{2}\right)\right|_{x=0}^{2}\\&={\frac {80}{3}}\end{aligned}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{x}&=\iint _{D}y\,\rho (x,y)\,dx\,dy=\int _{x=0}^{2}\int _{y=x}^{4-x}y\,(2x+3y+2)\,dy\,dx\\&=\int _{0}^{2}(xy^{2}+y^{3}+y^{2}){\Big |}_{y=x}^{4-x}\,dx\\&=\int _{0}^{2}(-2x^{3}+4x^{2}-40x+80)\,dx\\&=\left.\left(-{\frac {x^{4}}{2}}+{\frac {4x^{3}}{3}}-20x^{2}+80x\right)\right|_{x=0}^{2}\\&={\frac {248}{3}}\end{aligned}}}$

最後に、質量の中心は

${\displaystyle \left({\frac {M_{y}}{m}},{\frac {M_{x}}{m}}\right)=\left({\frac {\frac {80}{3}}{\frac {112}{3}}},{\frac {\frac {248}{3}}{\frac {112}{3}}}\right)=\left({\frac {5}{7}},{\frac {31}{14}}\right)}$