表面（トポロジー）

位相幾何学と呼ばれる数学の分野では、表面は2 次元多様体です。一部の表面は3 次元立体の境界として生じます。たとえば、球は立体球の境界です。他の表面は 2 変数の関数のグラフとして生じます。右の図を参照してください。ただし、表面は周囲の空間を参照せずに抽象的に定義することもできます。たとえば、クラインの壺は3 次元ユークリッド空間に埋め込むことができない表面です。

位相面には、リーマン計量や複素構造などの追加情報が備わっている場合があり、微分幾何学や複素解析など、数学内の他の分野と関連付けられます。表面のさまざまな数学的概念は、物理世界の 表面をモデル化するために使用できます。

数学において、表面は、変形された平面に似た幾何学的形状です。最もよく知られている例は、球体などの通常の 3 次元ユークリッド空間 R ³内の固体オブジェクトの境界です。表面の正確な定義は、状況によって異なります。通常、代数幾何学では、表面は交差する場合があります (他の特異点を持つ場合があります)。一方、位相幾何学と微分幾何学では、交差しない場合があります。

表面は 2 次元空間です。つまり、表面上の移動点は 2 方向に移動できます (2 つの自由度があります)。言い換えると、ほぼすべての点の周りには、2 次元座標系が定義されている座標パッチがあります。たとえば、地球の表面は (理想的には) 2 次元の球体に似ており、緯度と経度によってその表面に 2 次元座標が提供されます (極と180 度子午線を除く)。

表面の概念は、物理学、工学、コンピュータグラフィックス、その他多くの分野で、主に物理的物体の表面を表現するために広く使用されています。たとえば、飛行機の空気力学的特性を分析する場合、その表面に沿った空気の流れが中心的な考慮事項となります。

(位相) 面は、すべての点がユークリッド平面E ²の何らかの開部分集合に同相な開近傍を持つ位相空間です。このような近傍は、対応する同相とともに(座標) チャートと呼ばれます。このチャートを通じて、近傍はユークリッド平面上の標準座標を継承します。これらの座標は局所座標と呼ばれ、これらの同相により、面は局所的にユークリッドであると記述できます。

この主題に関するほとんどの著作では、明示的または暗黙的に、位相空間としての曲面も空でなく、第二可算であり、ハウスドルフであると仮定されることが多い。また、検討中の曲面は連結されていると仮定されることも多い。

この記事の残りの部分では、特に指定がない限り、曲面は空でなく、ハウスドルフであり、2 番目に可算で、連結であると仮定します。

より一般的には、境界を持つ（位相）曲面は、すべての点がCの上半平面H ²の閉包の何らかの開部分集合に同相な開近傍を持つハウス ドルフ位相空間です。これらの同相は（座標）チャートとも呼ばれます。上半平面の境界はx軸です。チャートを介してx軸にマップされた曲面上の点は、境界点と呼ばれます。そのような点のコレクションは、必然的に 1 次元多様体、つまり閉じた曲線の和集合である曲面の境界として知られています。一方、x軸より上にマップされた点は内部点です。内部点のコレクションは、常に空ではない曲面の内部です。閉じた円板は、境界を持つ曲面の簡単な例です。円板の境界は円です。

限定なしで使用されている表面という用語は、境界のない表面を指します。特に、境界が空の表面は通常の意味での面です。境界が空でコンパクトな表面は、「閉じた」表面として知られています。2 次元球、2 次元トーラス、および実射影平面は、閉じた表面の例です。

メビウスの帯は、時計回りと反時計回りの区別を局所的に定義できるが、全体的には定義できない表面です。一般に、表面がメビウスの帯の同相コピーを含まない場合、その表面は向き付け可能であると言われます。直感的には、2 つの異なる「面」があります。たとえば、球とトーラスは向き付け可能ですが、実射影平面は向き付けできません (1 点を除いた実射影平面は開いたメビウスの帯と同相であるため)。

微分幾何学と代数幾何学では、曲面の位相に構造が追加されます。この追加構造には、滑らかさ構造 (曲面への、または曲面からの微分可能写像を定義できるようにする)、リーマン計量(曲面上の長さと角度を定義できるようにする)、複素構造 (曲面への、または曲面からの正則写像を定義できるようにする。この場合、曲面はリーマン面と呼ばれます)、または代数構造 (基礎となる位相だけでは説明できない自己交差や尖点などの特異点を検出できるようにする) などがあります。

歴史的に、表面は当初ユークリッド空間の部分空間として定義されていました。多くの場合、これらの表面は特定の関数、通常は多項式関数の零点の軌跡でした。このような定義では、表面はより大きな (ユークリッド) 空間の一部であると見なされ、外部的と呼ばれていました。

前のセクションでは、表面はハウスドルフと局所ユークリッドという特定の特性を持つ位相空間として定義されました。この位相空間は別の空間の部分空間とは見なされません。この意味で、上記の定義は、現在数学者が使用している定義であり、本質的です。

内在的として定義された曲面は、ユークリッド空間の部分空間であるという追加の制約を満たす必要はありません。 内在的に定義された曲面の中には、外在的な意味で曲面ではないものがあるように思えるかもしれません。 しかし、ホイットニーの埋め込み定理は、すべての曲面が実際にはユークリッド空間、つまりE ⁴に同相的に埋め込むことができると主張しています。 外在的アプローチと内在的アプローチは同等であることがわかります。

実際、向き付け可能または境界を持つコンパクトな曲面はどれもE ³に埋め込むことができます。一方、コンパクトで向き付け不可能で境界を持たない実射影平面は、E ³に埋め込むことはできません(Gramain を参照)。ボーイ曲面、ローマン曲面、クロスキャップなどのシュタイナー曲面は、 E ³の実射影平面のモデルですが、ボーイ曲面のみがはめ込み曲面です。これらのモデルはすべて、交差する点で特異です。

アレクサンダーの角球は、 2 つの球を 3 つの球に 病的に埋め込んだ、よく知られた現象です。

面を別の空間に埋め込む選択 (ある場合) は、外部情報とみなされます。面自体には必須ではありません。たとえば、トーラスは、「標準的な」方法 (ベーグルのように見える) または結び目のある方法 (図を参照) でE ³に埋め込むことができます。埋め込まれた 2 つのトーラスは同相ですが、同位体ではありません。つまり、位相的には同等ですが、埋め込みは同等ではありません。

R ²から高次元R ^{nへの連続した}単射関数の像は、パラメトリック面と呼ばれます。このような像は、領域R ^2のx方向とy方向が像をパラメータ化する 2 つの変数であるため、このように呼ばれます。パラメトリック面は、必ずしも位相面である必要はありません。回転面は、特殊な種類のパラメトリック面と見なすことができます。

fがR ^3からRへの滑らかな関数で、その勾配がゼロでない場合には、 fの零点軌跡は暗黙の曲面と呼ばれる曲面を定義します。勾配がゼロでないという条件が満たされない場合、零点軌跡に特異点が生じる可能性があります。

各閉じた面は、面の基本多角形と呼ばれる偶数辺を持つ有向多角形から、その辺を 2 つずつ識別することによって構築できます。たとえば、以下の各多角形では、矢印が同じ方向を向くように、一致するラベル ( AはA、BはB ) を持つ辺を接続すると、示されている面が生成されます。

• 
  球
• 
  実射影平面
• 
  トーラス
• 
  クラインの壺

基本的な多角形は、次のように記号で表すことができます。任意の頂点から始めて、多角形の周囲をいずれかの方向に進み、開始頂点に戻ります。このトラバース中に、各エッジのラベルを順番に記録します。エッジがトラバースの方向と反対を向いている場合は、指数を -1 にします。上記の 4 つのモデルを左上から時計回りにトラバースすると、次のようになります。

• 球：${\displaystyle ABB^{-1}A^{-1}}$
• 実射影平面:${\displaystyle ABAB}$
• トーラス：${\displaystyle ABA^{-1}B^{-1}}$
• クラインの壺: .${\displaystyle ABAB^{-1}}$

球面と射影平面はどちらも 2 角形の商として実現できますが、トーラスとクラインの壺には 4 角形 (正方形) が必要であることに注意してください。

このように曲面の基本多角形から導かれた表現は、多角形の辺のラベルを生成元とする曲面の基本群の表現における唯一の関係であることがわかります。これは、ザイフェルト・ファン・カンペンの定理の結果です。

多角形の辺を接着することは、特殊な商空間処理です。商の概念は、より一般的に適用して、新しいまたは代替的な表面構造を作成することができます。たとえば、球面上の反対の点のペアをすべて特定することで、実射影平面を球面の商として取得できます。商の別の例としては、連結和があります。

2 つの面MとNの連結和( M # Nと表記) は、それぞれの面から円板を 1 つ取り除き、その結果生じる境界成分に沿って接着することで得られます。円板の境界は円なので、これらの境界成分も円です。M # Nのオイラー特性は、加数のオイラー特性の合計から 2 を引いたものです。 ${\displaystyle \chi}$

${\displaystyle \chi (M{\mathbin {\#}}N)=\chi (M)+\chi (N)-2.\,}$

球面S は連結和の単位元であり、 S # M = Mを意味します。これは、球面から円盤を削除すると円盤が残り、接着時にMから削除された円盤を単に置き換えるためです。

トーラスTとの連結和は、他の加数Mに「ハンドル」を取り付けることとしても説明されます。Mが方向付け可能であれば、 T # M も方向付け可能です。連結和は結合的であるため、表面の有限集合の連結和は明確に定義されます。

2 つの実射影平面の連結和P # Pは、クラインの壷 Kです。実射影平面とクラインの壷の連結和は、実射影平面とトーラスの連結和に同相です。式では、P # K = P # Tです。したがって、3 つの実射影平面の連結和は、実射影平面とトーラスの連結和に同相です。実射影平面を含む連結和は、いずれも向きを変えることができません。

閉じた面は、コンパクトで境界のない面です。閉じた面の例には、球、トーラス、クラインの壺などがあります。閉じていない面の例には、開いた円板（穴のある球）、円筒（穴が 2 つある球）、メビウスの帯などがあります。

3 次元空間に埋め込まれた面は、それが立体の境界である場合に限り、閉じています。任意の閉多様体と同様に、継承されたユークリッド位相に関して閉じているユークリッド空間に埋め込まれた面は、必ずしも閉じた面であるとは限りません。たとえば、境界を含む に埋め込まれた円盤は、位相的に閉じた面ですが、閉じた面ではありません。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

閉曲面の分類定理は、任意の連結した閉曲面が、次の 3 つの族のいずれかのメンバーと同相であると 述べています。

1. 球体、​
2. g ≥ 1 のgトーラスの連結和、
3. k ≥ 1のk 個の実射影平面の連結和。

最初の 2 つの族の曲面は向き付け可能です。球面を 0 個のトーラスの連結和と見なすことで、2 つの族を組み合わせると便利です。含まれるトーラスの数g は、曲面の種数と呼ばれます。球面とトーラスはそれぞれオイラー特性 2 と 0 を持ち、一般にg 個のトーラスの連結和のオイラー特性は2 − 2 gです。

3 番目の族の曲面は向きがつけられません。実射影平面のオイラー特性は 1 で、一般にそれらのk 個の連結和のオイラー特性は2 − kです。

したがって、同相性まで、閉じた面は、そのオイラー特性と向き付け可能かどうかという 2 つの情報によって決定されます。言い換えると、オイラー特性と向き付け可能性によって、同相性まで閉じた面が完全に分類されます。

複数の接続されたコンポーネントを持つ閉じたサーフェスは、各接続されたコンポーネントのクラスによって分類されるため、一般にサーフェスは接続されていると想定されます。

この分類を連結和に関連付けると、同相写像までの閉曲面は連結和の作用の下で可換 モノイドを形成し、これは任意の固定次元の多様体でも同様である。恒等写像は球面であり、実射影平面とトーラスは単一の関係P # P # P = P # Tでこのモノイドを生成する。これは K = P # Pであるため、P # K = P # Tとも表記される。この関係は、ディックの定理はヴァルター・フォン・ディックにちなんで、彼はそれを(Dyck 1888)で証明した。そして三重交差面P # P # Pはそれに応じてディックの表面[^1]

幾何学的には、トーラス ( # T ) との connect-sum は、表面の同じ側に両端が接続されたハンドルを追加しますが、クラインの壺 ( # K ) との connect-sum は、向き付け可能な表面の反対側に両端が接続されたハンドルを追加します。射影平面 ( # P ) が存在する場合、表面は向き付け可能ではありません (辺の概念はありません)。そのため、トーラスを接続することとクラインの壺を接続することに違いはなく、これが関係を説明しています。

閉曲面の分類は1860年代から知られており^[1]、今日では数多くの証明が存在する。

位相的証明と組合せ論的証明は一般に、あらゆるコンパクトな 2 次元多様体は単体複体に同相であるという難しい結果に依存しており、それ自体が興味深いものです。この分類の最も一般的な証明は (Seifert & Threlfall 1980) ^[1]であり、あらゆる三角形の面を標準形式にします。標準形式を回避する簡略化された証明は、 1992 年頃にJohn H. Conwayによって発見され、彼はこれを「ゼロ無関係証明」または「ZIP 証明」と呼び、(Francis & Weeks 1999) で発表しました。

より強い幾何学的結果をもたらす幾何学的証明は、均一化定理である。これはもともと、1880年代と1900年代にフェリックス・クライン、ポール・ケーベ、アンリ・ポアンカレによってリーマン面に対してのみ証明された。

コンパクト曲面は、境界を持つ場合もあり、単純に有限個の穴（除去された開いた円板）を持つ閉じた曲面です。したがって、連結コンパクト曲面は、境界成分の数と対応する閉じた曲面の種数によって分類されます。つまり、境界成分の数、配向可能性、およびオイラー特性によって分類されます。コンパクト曲面の種数は、対応する閉じた曲面の種数として定義されます。^[2]

この分類は、閉じた曲面の分類からほぼ直ちに導かれます。つまり、閉じた曲面から開いた円板を取り除くと、境界成分として円を持つコンパクトな曲面が得られ、k 個の開いた円板を取り除くと、境界成分としてk 個の互いに交わらない円を持つコンパクトな曲面が得られます。同相群は次元が 2 以上の任意の連結多様体に対して k推移的に作用するため、穴の正確な位置は重要ではありません。

逆に、コンパクト曲面の境界は閉じた 1 次元多様体であるため、有限個の円の互いに交わらない和集合になります。これらの円を円板で埋めると (正式には円錐をとる)、閉じた曲面が得られます。

種数gでk 個の境界成分を持つ唯一のコンパクトな有向面は、写像類群の研究などでよく表されます。 ${\displaystyle \Sigma _{g,k},}$

非コンパクト曲面は分類がより困難です。簡単な例として、非コンパクト曲面は、閉じた多様体をパンクチャリング（有限の点の集合を除去する）することで得られます。一方、コンパクト曲面の任意の開部分集合は、それ自体が非コンパクト曲面です。たとえば、球面内のカントール集合の補集合（カントール木曲面とも呼ばれます）を考えてみましょう。ただし、すべての非コンパクト曲面がコンパクト曲面の部分集合であるわけではありません。2 つの標準的な反例として、ヤコブのはしごやネス湖の怪物があり、これらは無限の種数を持つ非コンパクト曲面です。

非コンパクトな曲面Mには、空でない端の空間 E ( M ) があり、これは非公式に言えば、曲面が「無限に続く」様子を説明しています。空間E ( M ) は、カントール集合の閉じた部分空間と常に位相的に同値です。M には、有限または可算無限の数 N _hのハンドルと、有限または可算無限の数N _pの射影平面があります。N _hとN _{p の}両方が有限の場合、これら 2 つの数と端の空間の位相型によって、曲面M は位相的同値性まで分類されます。N h と N p のいずれかまたは両方が無限の場合、 Mの_位相型は、これら 2 つの数だけ_でなく、無限の数がどのように端の空間に近づくかによっても異なります。一般に、Mの位相型は、E ( M )の4つの部分空間、すなわち、無限個のハンドルと無限個の射影平面の極限点、ハンドルのみの極限点、射影平面のみの極限点、どちらでもない極限点によって決定される。^[3]

曲面の定義から第二可算性の仮定を取り除くと、位相に可算な基底を持たない（必然的に非コンパクトである）位相面が存在します。おそらく最も単純な例は、長い直線と実数空間との直積です。

位相に可算な基底を持たないが、存在を証明するために選択公理を必要としない別の曲面は、プリューファー多様体であり、これは実解析曲面であることを示す簡単な方程式で記述できます。プリューファー多様体は、各実数xに対して、点 ( x ,0) の真下に垂れ下がっている1 つの追加の「舌」 T _{x を}備えた上半平面と考えることができます。

1925 年、ティボール・ラドーは、すべてのリーマン面 (つまり、1 次元複素多様体) は必ず第 2 可算であることを証明しました (ラドーの定理)。対照的に、プリューファー面の構築で実数を複素数に置き換えると、可算基底を持たない 2 次元複素多様体 (必ず 4 次元の実多様体になる) が得られます。

立方体の境界などの多面体は、幾何学で最初に出会う表面の 1 つです。また、各点がE ²内の何らかの開集合と微分同相な近傍を持つような滑らかな表面を定義することもできます。この詳細化により、微積分を表面に適用して多くの結果を証明できます。

2 つの滑らかな表面が微分同相である場合、かつそれらの表面が同相である場合に限ります。(類似の結果は、高次元多様体には当てはまりません。) したがって、閉じた表面は、微分同相写像に至るまで、オイラー特性と配向可能性によって分類されます。

リーマン計量を備えた滑らかな表面は、微分幾何学において基礎的な重要性を持っています。リーマン計量は、表面に測地線、距離、角度、面積の概念を与えます。また、表面が各点でどの程度曲がっているかを表すガウス曲率も生じます。曲率は、表面の一般的な微分同相写像では保存されないという点で、剛性のある幾何学的特性です。しかし、閉じた表面に対する有名なガウス・ボネの定理によれば、表面S全体にわたるガウス曲率Kの積分は、オイラー特性によって決まります。

${\displaystyle \int _{S}K\;dA=2\pi \chi (S).}$

この結果は、表面の幾何学と位相（および、程度は低いが、高次元多様体）の間の深い関係を例示しています。

幾何学において曲面が生じるもう 1 つの方法は、複素領域に入ることです。複素 1 次元多様体は滑らかな有向曲面であり、リーマン面とも呼ばれます。複素多様体として見た複素非特異代数曲線はすべてリーマン面です。実際、コンパクトな有向曲面はすべてリーマン面として実現可能です。したがって、コンパクト リーマン面は、種数 0、1、2、... によって位相的に特徴付けられます。一方、種数は複素構造を特徴付けるものではありません。たとえば、種数 1 の非同型コンパクト リーマン面 (楕円曲線) は無数に存在します。

閉じた有向曲面上の複素構造は、その曲面上のリーマン計量の共形同値類に対応する。均一化定理の 1 つのバージョン (ポアンカレによる) は、有向の閉じた曲面上の任意のリーマン計量は、本質的に唯一の定曲率計量と共形的に同値であると述べている。 これは、タイヒミュラー理論へのアプローチの 1 つへの出発点となり、オイラー標数のみによる位相的なものよりも細かくリーマン面を分類する。

複素曲面は複素2 次元多様体であり、したがって実 4 次元多様体です。この記事で言う意味での曲面ではありません。複素数以外の体では代数曲線は定義されず、実数以外の体では代数曲面は定義されません 。

• 境界（トポロジー）
• 体積形式、 E ⁿの面の体積の場合
• ポアンカレ計量、リーマン面の計量特性
• ローマの表面
• 少年の表面
• 四半六面体
• しわくちゃの曲面、微分可能な曲面を変形（しわくちゃ）にして得られる微分不可能な曲面

• Dyck、Walther (1888)、「Beiträge zur Analysis situs I」、Math。アン。、32 (4): 459–512、土井:10.1007/bf01443580、S2CID  118123073

• ザイファート、ハーバート、スレルフォール、ウィリアム（1980）、トポロジーの教科書、純粋および応用数学、第89巻、アカデミックプレス、ISBN 01263485021934年の古典的なドイツ語教科書の英語翻訳
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• マウンダー、CRF (1996)、代数的位相幾何学、ドーバー出版、ISBN 0486691314、ケンブリッジ大学学部課程
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• ゴールド、デイビッド・B（1982）、微分位相幾何学：入門、純粋および応用数学のモノグラフと教科書、第72巻、マルセル・デッカー、ISBN 0824717090
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• Thomassen, Carsten (1992)、「Jordan-Schönflies の定理と表面の分類」、Amer. Math. Monthly、99 (2): 116–13、doi :10.2307/2324180、JSTOR  2324180、スパニンググラフを使った簡単な基本証明
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• Mathifold プロジェクトにおけるコンパクト サーフェスの分類
• Andrew Ranicki のホームページにある「表面の分類とジョルダン曲線定理」
• 数学サーフェス ギャラリー (60 個のサーフェスとライブ回転表示用の Java アプレット付き)
• 10 面の回転表示のための JavaScript (Canvas HTML) を使用した数学面アニメーション
• Z.Fiedorowicz による表面の分類の講義ノート
• 表面とその数学モデルの歴史と芸術
• 多様体アトラスの 2 次元多様体