ロビンズ・ペンタゴン

幾何学において、ロビンスの五角形は、辺の長さと面積がすべて有理数である円状の 五角形です。

ロビンズ五角形は、円周五角形の面積を辺の長さの関数として表す公式を以前に提示していたデイビッド・P・ロビンズにちなんで、ブッフホルツとマクドゥーガル (2008) によって命名されました。ブッフホルツとマクドゥーガルは、三角形の面積を辺の長さの関数として表すヘロンの公式を発見したアレクサンドリアのヘロンにちなんでヘロン三角形を命名したことから類推してこの名前を選択しました。

すべてのロビンズの五角形は、その辺と面積が整数になるように拡大縮小できます。さらに強力なことに、ブッフホルツとマクドゥーガルは、辺の長さがすべて整数で面積が有理数である場合、面積も必然的に整数になり、周囲は必然的に偶数になることを示しました。

また、ブッフホルツとマクドゥーガルは、ロビンズの五角形はすべて、5 つの内部対角線がすべて有理数であるか、どれも有理数でないかのいずれかであることも示しました。5 つの対角線が有理数である場合 (サストリー (2005) によってブラフマグプタ五角形と呼ばれるケース)、その外接円の半径も有理数でなければならず、五角形は、交差しない任意の 2 つの対角線に沿って切断することで 3 つのヘロン三角形に分割されるか、円の中心から頂点までの 5 つの半径に沿って切断することで 5 つのヘロン三角形に分割されます。

ブッフホルツとマクドゥーガルは無理対角線を持つロビンス五角形をコンピュータで探したが、何も見つけられなかった。この否定的な結果に基づいて、彼らは無理対角線を持つロビンス五角形は存在しないかもしれないと示唆した。

• Buchholz, Ralph H.; MacDougall, James A. (2008)、「有理数辺と面積を持つ巡回多角形」、Journal of Number Theory、128 (1): 17–48、doi : 10.1016/j.jnt.2007.05.005、MR  2382768。
• ロビンズ、デビッド P. (1994)、「円に内接する多角形の面積」、離散および計算幾何学、12 (2): 223–236、doi : 10.1007/BF02574377、MR  1283889
• ロビンズ、デビッド P. (1995)、「円に内接する多角形の面積」、アメリカ数学月刊誌、102 (6): 523–530、doi :10.2307/2974766、JSTOR  2974766、MR  1336638。
• Sastry, KRS (2005)、「Brahmagupta n-gons の構築」(PDF)、Forum Geometricorum、5 : 119–126、MR  2195739。