等面積図

微分幾何学において、等面積写像（または等面積写像）とは、図形の面積を保存する、ある曲面から別の曲面への滑らかな写像のことである。

MとNが2つのリーマン面（または擬リーマン面）である場合、 MからNへの等面積写像fは、以下のいずれかの同値条件によって特徴付けられる。

• f ( U )の表面積は、 M上の任意の開集合Uに対してUの面積に等しい。
• N上の面積要素μ _Nの引き戻しは、 M上の面積要素μ _Mに等しい。
• Mの各点pにおいて、点 pにおけるMへの接線ベクトルvとw は、

$${\displaystyle {\bigl |}df_{p}(v)\wedge df_{p}(w){\bigr |}=|v\wedge w|\,}$$

どこ${\textstyle \wedge }$はベクトルのユークリッドウェッジ積を表し、 df はfに沿ったプッシュフォワードを表します。

ユークリッド平面上のすべてのユークリッド等長変換は等面積変換であるが、その逆は成り立たない。実際、せん断写像と圧縮写像は、その逆の反例である。

せん断マッピングは、長方形を同じ面積の平行四辺形に変換します。行列形式で表すと、x軸に沿ったせん断マッピングは次のようになります。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+vy\\y\end{pmatrix}}.}$

スクイーズマッピングは、長方形の辺を相互に伸縮させることで、面積を維持します。行列形式で記述すると、λ > 1の場合、スクイーズマッピングは次のようになります。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&1/\lambda \end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda x\\y/\lambda .\end{pmatrix}}}$

線形変換${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$面積にその行列式の絶対値| ad – bc |を掛けます。

ガウス消去法によれば、等面積線形変換（回転を含む）はすべて、軸に沿った最大 2 つのせん断、圧縮、および（行列式が負の場合）反射を組み合わせることによって得られることがわかります。

地理的地図の文脈では、地図投影法は、面積が定数係数を除いて保存される場合、等面積投影、等価投影、自明投影、等面積投影、または面積保存投影と呼ばれます。通常、 R ^{2の部分集合とみなされる対象地図を、} R ³に明白な方法で埋め込むと、上記の要件は次のように緩和されます。

${\displaystyle |df_{p}(v)\times df_{p}(w)|=\kappa |v\times w|}$

κ > 0に依存しない${\displaystyle v}$そして${\displaystyle w}$このような投影法の例については、等積地図投影法を参照してください。

• ヤコビ行列と行列式

• Pressley, Andrew (2001), 『初等微分幾何学』、Springer Undergraduate Mathematics Series、ロンドン：Springer-Verlag、ISBN 978-1-85233-152-8MR 1800436​