ヘロンの三角形

幾何学において、ヘロン三角形（ヘロンさんさん、英: Heronian triangle）は、辺の長さa、b、cと面積Aがすべて正の整数である三角形である。^{[1] [2]ヘロン三角形は、}アレクサンドリアのヘロンにちなんで名付けられている。これは、ヘロンが辺の長さが13、14、15で面積が84の三角形の例で示したヘロンの公式との関係に基づいている。^[3]

ヘロンの公式は、ヘロンの三角形がディオファントス方程式の正の整数解とまったく同じであることを意味している。

${\displaystyle 16\,A^{2}=(a+b+c)(a+bc)(b+ca)(c+ab);}$

つまり、任意のヘロン三角形の辺の長さと面積はこの方程式を満たし、方程式の任意の正の整数解はヘロン三角形を表します。^[4]

3 辺の長さが互いに素である場合(つまり、3 辺の最大公約数が 1 である場合)、ヘロン三角形は原始三角形と呼ばれます。

辺の長さと面積がすべて有理数である三角形（上記の式の正の有理解）は、ヘロン三角形または有理三角形と呼ばれることもあります。[5] この記事では、これらのより一般的な三角形を有理ヘロン三角形と呼び^ます。すべての（積分）ヘロン三角形は有理ヘロン三角形です。逆に、すべての有理ヘロン三角形は、正確に1つの原始ヘロン三角形と相似です。

任意の有理ヘロン三角形では、3 つの高さ、外接半径、内接半径と外接半径、および3 つの角度の正弦と余弦もすべて有理数です。

三角形をsの係数で拡大縮小するには、辺の長さをsで乗算します。これにより、面積が s で乗算され、相似三角形が生成されます。有理ヘロン三角形を有理係数で拡大縮小すると、別の有理ヘロン三角形が生成されます。 ${\displaystyle s^{2}}$

辺の長さが の有理ヘロン三角形が与えられると、スケール係数は、辺の長さが互いに素な整数であるような有理ヘロン三角形を生成します。面積Aは整数であることが以下で証明され、したがって三角形はヘロン三角形です。このような三角形は、しばしば原始ヘロン三角形と呼ばれます。${\textstyle {\frac {p}{d}}、{\frac {q}{d}}、{\frac {r}{d}}、}$${\textstyle {\frac {d}{\gcd(p,q,r)}}}$${\textstyle a,b,c}$

要約すると、有理ヘロン三角形のすべての相似クラスには、原始ヘロン三角形が 1 つだけ含まれます。証明の副産物として、原始ヘロン三角形の辺の長さの 1 つが偶数であることが分かります。

証明:有理ヘロン三角形の辺の長さが互いに素な整数である場合、面積Aも整数であり、辺の長さの 1 つが偶数である ことを証明する必要があります。${\textstyle a,b,c}$

導入部で示したディオファントス方程式から、 が整数であることがすぐにわかります。整数の平方根は整数か無理数のいずれかであるため、その平方根も整数です。 ${\displaystyle 16A^{2}}$${\displaystyle 4A}$

ちょうど 1 つの辺の長さが偶数の場合、方程式の右側の因数はすべて偶数であり、方程式を16で割ると、と は整数であることがわかります。 ${\displaystyle A^{2}}$${\displaystyle A}$

辺の長さは互いに素であると想定されるため、1つまたは3つの辺の長さが奇数になるケースが残る。cが奇数であると仮定すると、ディオファントス方程式の右辺は次のように書き直すことができる。

${\displaystyle ((a+b)^{2}-c^{2})(c^{2}-(ab)^{2}),}$

および偶数。奇数の平方は4を法として合同なので、方程式の右辺は4を法として合同でなければなりません。したがって、 は整数の平方である必要があり、整数の平方は4を法として0または1と合同であるため、ディオファントス方程式の解を得ることは不可能です。 ${\displaystyle a+b}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle 16A^{2}}$

ピタゴラス三角形はいずれもヘロン三角形です。このような三角形の辺の長さは、定義により整数です。このような三角形では、2 つの短い辺のうち 1 つが長さが等しいため、面積 (これら 2 つの辺の積を 2 で割った値) も整数になります。

直角でないヘロン三角形の例としては、ピタゴラス三角形とその鏡像を直角の辺に沿って結合して得られる二等辺三角形があります。ピタゴラスの三つ組 3、4、5から始めて、辺の長さが(5、5、6)と(5、5、8)、面積が12の2 つのヘロン三角形が得られます。

より一般的には、 2 つのピタゴラス数列と、最大の要素cとeがある場合、長さaの辺に沿って対応する三角形を結合して(図を参照)、辺の長さと面積(ピタゴラス三角形の面積は整数なので、これは整数です) を持つ ヘロン三角形を得ることができます。${\displaystyle (a,b,c)}$${\displaystyle (a,d,e)}$${\displaystyle c,e,b+d}$${\textstyle {\tfrac {1}{2}}a(b+d)}$

ピタゴラス三角形を結合しても得られないヘロン三角形があります。例えば、辺の長さが で面積が 72 のヘロン三角形は、高さがいずれも整数ではないためです。このようなヘロン三角形は、分解不可能として知られています。^{[6]しかし、すべてのヘロン三角形は、}有理数の辺の長さを持つ直角三角形から構成できるため、分解可能なヘロン三角形に似ています。実際、三角形の高さの少なくとも 1 つは三角形の内側にあり、三角形を 2 つの直角三角形に分割します。これらの三角形は有理数の辺を持ちます。ヘロン三角形の角度のコサインとサインは有理数であり、図の表記法を使用すると、およびが三角形の左端の角度 であるためです。${\displaystyle 5,29,30}$${\displaystyle a=c\sin\alpha }$${\displaystyle b=c\cos \alpha ,}$${\displaystyle \alpha}$

ヘロンの三角形に関連する多くの量は有理数です。特に、

• ヘロン三角形の高さはすべて有理数です。^[7]これは、三角形の面積が1辺の半分とその辺からの高さの積であり、ヘロン三角形の辺と面積は整数であるという事実からわかります。一部のヘロン三角形には、3つの高さが整数でないものがあります。たとえば、面積が252の鋭角（15、34、35）と、面積が72の鈍角（5、29、30）です。1つ以上の非整数の高さを持つヘロン三角形は、高さの分母の最小公倍数に等しい係数で拡大して、3つの整数の高さを持つ同様のヘロン三角形を得ることができます。
• ヘロンの三角形のすべての内部垂直二等分線は有理数です。任意の三角形に対して、これらは次のように与えられ、辺がa ≥ b ≥ cで面積がAです。^{[8]ヘロンの三角形では、} a、b、c、Aはすべて整数です。${\displaystyle p_{a}={\tfrac {2aA}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},}$ ${\displaystyle p_{b}={\tfrac {2bA}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},}$${\displaystyle p_{c}={\tfrac {2cA}{a^{2}-b^{2}+c^{2}}},}$
• ヘロン三角形のすべての内角は有理正弦を持ちます。これは面積の公式Area = (1/2) ab sin Cから得られます。ここで、面積と辺aおよびb は整数であり、他の内角についても同様です。
• ヘロンの三角形のすべての内角には有理余弦があります。これは余弦定理c ² = a ² + b ² − 2 ab cos Cから得られます。ここで、辺a、b、cは整数であり、他の内角についても同様です。
• すべてのヘロン三角形では、内角の正弦と余弦がすべて有理数であるため、各内角の正接、余接、割線、余割線は有理数または無限大のいずれかになります。
• 各内角の半分は有理正接を持ちます。これは、tan C /2 = sin C / (1 + cos C )であり、他の内角についても同様です。これらの半角正接値を知っていれば、原始ヘロン三角形の辺の長さを再構築するのに十分です (以下を参照)。
• どのような三角形でも、外接円の中心から見た辺のなす角は、その辺と反対側の三角形の頂点の内角の 2 倍です。ヘロン三角形の各内角の半角接線が有理数であるため、ヘロン三角形の各中心角の 1/4 角接線も有理数となります。(また、1/4 角接線はブラフマグプタ四辺形の中心角に対して有理数ですが、すべてのロビンズ五角形に対してこれが当てはまるかどうかは未解決の問題です。) 一般に、すべての環状多角形に対して逆のことが当てはまります。つまり、そのような中心角のすべてが 1/4 角に対して有理数接線を持つ場合、環状多角形は、面積、辺、対角線 (任意の 2 つの頂点を結ぶ) が同時に整数になるように拡大縮小できます。
• 3つの内角が等差数列を形成するヘロン三角形は存在しない。これは、等差数列の内角を持つすべての平面三角形は、60°の内角を1つ持つ必要があり、これは有理正弦を持たないからである。^[9]
• ヘロンの三角形に内接する正方形はいずれも有理数の辺を持つ。一般的な三角形では、辺の長さがaである正方形の長さは、三角形の面積Aのときである。 ^[10]ヘロンの三角形では、Aとaは両方とも整数である。${\displaystyle {\tfrac {2Aa}{a^{2}+2A}}}$
• すべてのヘロン三角形には有理数の内接円の半径があります。一般的な三角形の場合、内接円の半径は面積と周囲の半分の比であり、ヘロン三角形ではこの両方が有理数です。
• すべてのヘロン三角形には有理数の外接半径（外接円の半径）があります。一般的な三角形の場合、外接半径は辺の積を面積で割った値の 4 分の 1 に等しくなりますが、ヘロン三角形では辺と面積は整数です。
• ヘロン三角形では、重心から各辺までの距離は有理数である。なぜなら、すべての三角形において、この距離は面積の2倍と辺の長さの3倍の比だからである。^{[11]これは、}重心座標が有理数比であるヘロン三角形に関連付けられたすべての中心は、各辺まで有理数距離を持つと一般化できる。これらの中心には、外心、垂心、九点中心、対称点、ジェルゴンヌ点、およびナーゲル点が含まれる。^[12]
• すべてのヘロン三角形は、各頂点が格子点にある1辺の正方格子上に配置できます。 ^[13]結果として、すべての有理ヘロン三角形は、すべて有理数値の座標を持つ2次元直交座標系に配置できます。

ヘロン三角形の辺の長さに関するいくつかの性質を次に示します。辺の長さはa、b、cで、面積はAです。

• すべての原始ヘロン三角形ヘロン三角形には、1 つの偶数辺と 2 つの奇数辺があります (§ 原始三角形のスケーリングを参照)。したがって、ヘロン三角形には 1 辺または 3 辺の長さが偶数であり、^{[14] : p.3}原始ヘロン三角形の周囲の長さは常に偶数です。^[15]
• 原始ヘロン三角形は1つの辺の長さが偶数で2つの辺の長さが奇数であるため、正ヘロン三角形は存在しない。^[7]
• ヘロンの三角形の面積は常に6で割り切れる。^{[16] [15]}
• 辺の長さが1または2であるヘロン三角形は存在しない。^{[17] [1]}
• 与えられたaに等しい一辺の長さを持つ原始ヘロン三角形は無数に存在する（a > 2）。^[1]
• ヘロンの三角形の半周s は素数にはなり得ません (面積の二乗が素数であるのと同様、面積は整数です。s が素数であれば、別の因数を割り切れますが、これらの因数はすべてsより小さいため、これは不可能です)。${\displaystyle s(sa)(sb)(sc)}$
• 高さが整数でないヘロン三角形（分解不可能かつ非ピタゴラス三角形）では、すべての辺の長さは 4 k +1の形式の素因数を持ちます。^[6]原始ピタゴラス三角形では、斜辺のすべての素因数は4 k +1 の形式です。分解可能なヘロン三角形には、ピタゴラス三角形の斜辺である 2 辺が必ずあり、したがって4 k +1の形式の素因数を持つ 2 辺があります。分解可能なヘロン三角形のピタゴラス成分は、ヘロン三角形が原始的であっても原始的である必要がないため、 4 k +3 の形式の素因数もある場合があります。まとめると、すべてのヘロン三角形には、 4 k +1の形式の素数で割り切れる辺が少なくとも 1 つあります。
• 辺の長さが等比数列を形成するヘロン三角形は存在しない。^[18]
• ヘロンの三角形の2辺（3辺ではない）に共通因数がある場合、その因数は2つの平方数の和でなければならない。^[19]

ヘロン三角形のパラメトリック方程式またはパラメトリック化は、三角形の辺の長さと面積をいくつかのパラメータの関数（通常は多項式関数 ）として表す表現で構成されます。三角形がヘロン三角形となるのは、パラメータがいくつかの制約（通常は、いくつかの不等式を満たす正の整数）を満たす場合のみです。また、一般に、すべてのヘロン三角形は、パラメータのいくつかの値のスケーリングまで取得でき、三角形の辺の順序が指定されている場合は、これらの値が一意であることが求められます。

このようなパラメータ化を最初に発見したのはブラーマグプタ(紀元 598-668 年) ですが、彼はすべてのヘロン三角形がパラメータ化によって生成できることを証明しませんでした。18 世紀に、レオンハルト オイラーが別のパラメータ化を提示し、それがすべてのヘロン三角形を生成することを証明しました。これらのパラメータ化については、次の 2 つのサブセクションで説明します。

3 番目のサブセクションでは、有理パラメータ化 (つまり、パラメータが正の有理数であるパラメータ化) が、ヘロン三角形の特性から自然に導かれます。Brahmagupta と Euler の両方のパラメータ化は、分母をクリアすることで、この有理パラメータ化から復元できます。これにより、Brahmagupta と Euler のパラメータ化によってすべてのヘロン三角形が生成されるという証明が得られます。

インドの数学者ブラフマグプタ（598-668年）は、ヘロン三角形を生成するための次のパラメトリック方程式を発見したが^{[20] 、ヘロン三角形のすべての}相似クラスがこの方法で得られることを証明したわけではない。^[要出典]

互いに素な3つの正の整数m、n、k（ ）があり、（正の辺の長さを保証するため）および（一意性のため）を満たす場合： ${\displaystyle \gcd(m,n,k)=1}$${\displaystyle mn>k^{2}}$${\displaystyle m\geq n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=n(m^{2}+k^{2}),&s-a&={\tfrac {1}{2}}(b+ca)=n(mn-k^{2}),\\b&=m(n^{2}+k^{2}),&s-b&={\tfrac {1}{2}}(c+ab)=m(mn-k^{2}),\\c&=(m+n)(mn-k^{2}),&s-c&={\tfrac {1}{2}}(a+bc)=(m+n)k^{2},\\&&s&={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)=mn(m+n),\\A&=mnk(m+n)(mn-k^{2}),&r&=k(mn-k^{2}),\\\end{aligned}}}$

ここで、sは半周、Aは面積、r は内接円の半径です。

結果として得られるヘロン三角形は必ずしも原始的ではなく、対応する原始三角形を得るためにスケーリングが必要になる場合があります。たとえば、m = 36、n = 4、k = 3とすると、 a = 5220、b = 900、c = 5400の三角形が生成されます。これは、比例係数が180の(5, 29, 30)ヘロン三角形に類似しています。

生成された三角形が原始的ではないという事実は、与えられた境界より小さいサイズの長さを持つすべてのヘロン三角形を生成するためにこのパラメータ化を使用する際の障害となる（ のサイズは予測できないため）。^[20]${\displaystyle \gcd(a,b,c)}$

すべてのヘロン三角形を生成する以下の方法は、レオンハルト・オイラー^[21]によって発見されました。彼は、そのような三角形すべてを証明可能にパラメータ化した最初の人物でした。

4つの正の整数mがnと互いに素であり、pがq ( )${\displaystyle \gcd {(m,n)}=\gcd {(p,q)}=1}$と互いに素であり、次の式を満たす場合（正の辺の長さを保証するため）： ${\displaystyle mp>nq}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=mn(p^{2}+q^{2}),&s-a&=mq(mp-nq),\\b&=pq(m^{2}+n^{2}),&s-b&=np(mp-nq),\\c&=(mq+np)(mp-nq),&s-c&=nq(mq+np),\\&&s&=mp(mq+np),\\A&=mnpq(mq+np)(mp-nq),&r&=nq(mp-nq),\\\end{aligned}}}$

ここで、sは半周、Aは面積、r は内接円の半径です。

m、n、p、qが互いに素な対であっても、結果として得られるヘロン三角形は原始的でない場合があります。特に、 m、n、p、qがすべて奇数の場合、3 辺の長さは偶数になります。 a、b、c が2以外の公約数を持つ可能性もあります。たとえば、m = 2、n = 1、p = 7、q = 4の場合、( a、b、c ) = (130、 140、 150)となり、各辺の長さは10の倍数です。対応する原始 3 つ組は(13、 14、 15)であり、これはm = 2、n = 1、p = 3、q = 2の結果の 3 つ組を2 で割り、bとc を交換することによっても得られます。

を三角形の辺の長さとし、をこれらの辺の向かい合う内角とし、およびを半角のタンジェントとします。値はすべて正で、 を満たします。この「三重タンジェント恒等式」は、基本的な三角形恒等式の半角タンジェントバージョンをラジアン (つまり 90°) で表したものです。これは、タンジェントの加法公式を使用して証明できます。正弦と余弦の法則により、三角形が有理ヘロン三角形である場合、 のすべての正弦と余弦は有理数であり、半角タンジェントは正弦と余弦の有理関数であるため、半角タンジェントも有理数であることがわかります。 ${\displaystyle a,b,c>0}$${\displaystyle \alpha,\beta,\gamma}$${\textstyle t=\tan {\frac {\alpha }{2}},}$ ${\textstyle u=\tan {\frac {\beta }{2}},}$${\textstyle v=\tan {\frac {\gamma }{2}}}$${\displaystyle t,u,v}$${\displaystyle tu+uv+vt=1}$${\textstyle {\frac {\alpha }{2}}+{\frac {\beta }{2}}+{\frac {\gamma }{2}}={\frac {\pi }{2}} }$${\displaystyle \alpha,\beta,\gamma}$

逆に、が正の有理数である場合、それらは相似なヘロン三角形のクラスの内角の半角正接であることがわかります。^[22]条件はに並べ替えることができ、制約はを必要とします。したがって、有理ヘロン三角形の相似クラスと、積が1未満である正の有理数のペアの間には一対一の関係があります。 ${\displaystyle t,u,v}$${\displaystyle tu+uv+vt=1,}$${\displaystyle tu+uv+vt=1}$${\textstyle v={\frac {1-tu}{t+u}},}$${\displaystyle v>0}$${\displaystyle tu<1.}$${\displaystyle (t,u)}$

この一対一関係を明確にするために、相似クラスの特定のメンバーとして、対角の正弦に等しい辺の長さを持つ単位直径の円に内接する三角形を選択することができます。^[23]

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\sin \alpha ={\frac {2t}{1+t^{2}}},&s-a={\frac {2u(1-tu)}{(1+t^{2})(1+u^{2})}},\\[5mu]b&=\sin \beta ={\frac {2u}{1+u^{2}}},&s-b={\frac {2t(1-tu)}{(1+t^{2})(1+u^{2})}},\\[5mu]c&=\sin \gamma ={\frac {2(t+u)(1-tu)}{(1+t^{2})(1+u^{2})}},&s-c={\frac {2tu(t+u)}{(1+t^{2})(1+u^{2})}},\\[5mu]&&s={\frac {2(t+u)}{(1+t^{2})(1+u^{2})}},\\A&={\frac {4tu(t+u)(1-tu)}{(1+t^{2})^{2}(1+u^{2})^{2}}},&r={\frac {2tu(1-tu)}{(1+t^{2})(1+u^{2})}},\end{aligned}}}$

ここでは半周、は面積、は内接円の半径であり、と は有理数であるため、これらすべての値は有理数です。 ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma }$${\displaystyle r={\sqrt {\tfrac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle u}$

（積分）ヘロン三角形を得るには、分母a、b、c を クリアする必要があります。これを行うにはいくつかの方法があります。 およびを（既約分数）で、三角形を で拡大すると、結果はオイラーのパラメータ化になります。 およびを（最小公分母）で、三角形を で拡大すると、結果はブラフマグプタのパラメータ化に似ていますが、完全に同じではありません。代わりに、これが であり、それが最小公分母に縮小されると、つまり およびをで、三角形を で拡大すると、ブラフマグプタのパラメータ化とまったく同じになります。${\displaystyle t=m/n}$${\displaystyle u=p/q,}$${\displaystyle \gcd(m,n)=\gcd(p,q)=1}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(m^{2}+n^{2})(p^{2}+q^{2}),}$${\displaystyle t=m/k}$${\displaystyle u=n/k}$${\displaystyle \gcd(m,n,k)=1}$${\displaystyle (k^{2}+m^{2})(k^{2}+n^{2})/2k,}$${\displaystyle 1/t}$${\displaystyle 1/u}$${\displaystyle t=k/m}$${\displaystyle u=k/n}$${\displaystyle \gcd(m,n,k)=1,}$${\displaystyle (k^{2}+m^{2})(k^{2}+n^{2})/2k.}$

これは、どちらのパラメータ化でもすべてのヘロン三角形が生成されることを証明しています。

Kurz (2008) は、ヘロン三角形を生成するための高速アルゴリズムを導き出しました。

内接円と 外接円の3つすべてが整数値である原始的で分解不可能な非ピタゴラスヘロン三角形は無数に存在する。これには^[24]によって生成されるものも含まれる。Thm ^{. 4}${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (r_{a},r_{b},r_{c})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=5(5n^{2}+n-1),&r_{a}&=5n+3,\\b&=(5n+3)(5n^{2}-4n+1),&r_{b}&=5n^{2}+n-1,\\c&=(5n-2)(5n^{2}+6n+2),&r_{c}&=(5n-2)(5n+3)(5n^{2}+n-1),\\&&r&=5n-2,\\A&=(5n-2)(5n+3)(5n^{2}+n-1)=r_{c}.\end{aligned}}}$

格子上に配置できるヘロン三角形は無数に存在するが、すべてのヘロン三角形に当てはまるように頂点が格子点にあるだけでなく、内接円と外接円の中心も格子点にある。^{[24] : Thm. 5}

いくつかの種類のヘロニアン三角形のパラメーター化については、 整数三角形 § ヘロニアン三角形も参照してください。

面積でソートされ、面積が同じ場合は周囲長でソートされた原始整数ヘロン三角形のリストは、次の表のようになります。「原始」とは、3 辺の長さの最大公約数が 1 に等しいことを意味します。

辺の長さが 6,000,000 を超えない原始ヘロン三角形のリストは、Kurz (2008) によって計算されています。

完全な正方形の辺を持つヘロン三角形は、完全な直方体の問題に関連しています。2021 年 2 月現在、完全な正方形の辺を持つ原始ヘロン三角形は 2 つだけが知られています。

（1853²、4380²、4427²、面積=32918611718880）、2013年に出版。^[25]

（11789²、68104²、68595²、面積=284239560530875680）、2018年に出版。^[26]

図形の面積が周囲長に等しい場合、その図形は等角三角形と呼ばれます。等角ヘロン三角形は、辺の長さが(5,12,13)​​、(6,8,10)、(6,25,29)、(7,15,20)、(9,10,17)の5つです。^{[27] [28]}ただし、そのうち原始三角形は4つだけです。

有理数辺を持つ正三角形の面積は無理数なので、正三角形はヘロン三角形ではありません。ただし、直角三角形の複製から「ほぼ正三角形」である二等辺ヘロン三角形の列を作成できます。この三角形では、斜辺の長さが 1 つの辺のほぼ 2 倍になります。これらのほぼ正三角形の最初のいくつかの例を次の表に示します ( OEISのシーケンスA102341 )。

ヘロン三角形には、3辺がn  − 1、n、n + 1の形をしているため「ほぼ正三角形」となるユニークな数列がある。この問題のすべての解を連分数 に基づいて生成する方法は、 1864年にエドワード・サングによって説明され、^[29] 1880年にラインホルド・ホッペは解の閉じた形式の表現を与えた。^[30]これらのほぼ正三角形の最初のいくつかの例を次の表に示します（OEISのシーケンスA003500）。

nの次の値は、前の値に 4 を掛け、その前の値を減算することで求められます (52 = 4 × 14 − 4、194 = 4 × 52 − 14 など)。

${\displaystyle n_{t}=4n_{t-1}-n_{t-2}\,,}$

ここでt は表の任意の行を表します。これはルーカス数列です。あるいは、この式は正の整数tに対してすべてのn を生成します。同様に、A = 面積、y = 内接半径とすると、 ${\displaystyle (2+{\sqrt {3}})^{t}+(2-{\sqrt {3}})^{t}}$

${\displaystyle {\big (}(n-1)^{2}+n^{2}+(n+1)^{2}{\big )}^{2}-2{\big (}(n-1)^{4}+n^{4}+(n+1)^{4}{\big )}=(6ny)^{2}=(4A)^{2}}$

ここで{ n , y }はn2−12y2=4の解である。^{小さな変換} n  = 2xは従来のペル方程式x2−3y2=1を生成し 、その解^は√3^の 通常の連分数展開から導くことができる。[ 31 ^]

変数nは という形式をとり、kは7、97、1351、18817、…である。この数列の数字は、k個の連続する整数が整数の標準偏差を持つという性質を持つ。^[32]${\displaystyle n={\sqrt {2+2k}}}$

• ヘロン四面体
• ブラフマグプタ四辺形
• ブラフマグプタ三角形
• ロビンズ・ペンタゴン
• 整数三角形#ヘロン三角形

• カーマイケル、ロバート ダニエル(1915)。「I. はじめに。有理三角形。無限降下法」。ディオファントス解析。ワイリー。pp. 1–23。
• ディクソン、レナード・ユージン(1920)。「V. 有理辺を持つ三角形、四辺形、四面体」。数論の歴史、第 2 巻: ディオファントス解析。ワシントン カーネギー研究所。pp. 191–224。

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• 整数列のオンライン百科事典 ヘロニアン
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