正三角形

正三角形
タイプ	正多角形
エッジと頂点	3
シュレーフリ記号	{3}
コクセター・ディンキン図
対称グループ	${\displaystyle \mathrm {D} _{3}}$
エリア	${\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}$
内角（度）	60°

正三角形は、3 辺の長さがすべて同じで、3 つの角度がすべて等しい三角形です。これらの特性により、正三角形は正多角形であり、正三角形と呼ばれることもあります。現代の定義では二等辺三角形の特殊なケースであり、より特殊な特性を持っています。

正三角形は、さまざまなタイル張りや、デルタ面体や反プリズムなどの多面体に見られます。現実の世界では、大衆文化、建築、三角平面分子構造として知られる分子に似た立体化学の研究に登場します。

正三角形は、3つの辺が等しい三角形です。現代の定義では、二等辺三角形の特殊なケースであり、二等辺三角形は少なくとも2つの辺が等しいと定義されています。^[1]現代の定義に基づくと、3つの辺のうち1つが底辺とみなされる正三角形になります。^[2]

上記の定義を追記すると、より正確な特性が得られるかもしれません。例えば、二等辺三角形の周囲は2本の脚と底辺の合計なので、正三角形は辺の3倍として定式化されます。 ^{[3] [4]}正三角形の内角は60°で等しくなります。[ 5 ^]これらの特性のため、正三角形は正多角形です。正三角形のセビアンはすべて長さが等しいため、底辺の選択に応じてこれらの線を高さと見なすと、中線と角の二等分線の長さが等しくなります。 ^[5]正三角形を高さを挟んで反転したり、中心の周りで3分の1回転させても、外観は変化せず、6次の二面体群の対称性を持ちます。 ^[6]その他の特性については以下で説明します。 ${\displaystyle \mathrm {D} _{3}}$

辺の長さが の正三角形の面積は、 この公式は、ピタゴラスの定理 によって二等辺三角形の公式から導き出すことができます。三角形の高さは、辺の平方と底辺の半分の差の平方根です。^[3]底辺と脚が等しいため、高さは次のとおりです。^[7] 一般に、三角形の面積は、底辺と高さの積の半分です。正三角形の面積の公式は、高さの公式を代入することで得られます。^{[7]正三角形の面積を証明する別の方法は、}三角関数を使用することです。三角形の面積は、底辺と高さの積の半分と角度の正弦として定式化されます。正三角形の角度はすべて 60° なので、この公式は目的どおりです。^[要出典]${\displaystyle a}$$${\displaystyle T={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}.}$$${\displaystyle h}$ $${\displaystyle h={\sqrt {a^{2}-{\frac {a^{2}}{4}}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}a.}$$

三角形の等周不等式のバージョンは、与えられた周囲長を持つ三角形の中で面積が最大となる三角形は正三角形であると述べています。つまり、周囲長と面積に対して、正三角形に対して等式が成り立ちます。^[8]${\displaystyle p}$${\displaystyle T}$ $${\displaystyle p^{2}=12{\sqrt {3}}T.}$$

外接円の半径は、 内接円 の半径は外接半径の半分です。 $${\displaystyle R={\frac {a}{\sqrt {3}}},}$$$${\displaystyle r={\frac {\sqrt {3}}{6}}a.}$$

オイラーの定理によれば、外接半径と内接半径の間の距離は次のように定式化される。この帰結として、正三角形はあらゆる三角形の中で外接半径と内接半径の比が最小となる。つまり、次の式で表される。^[9]${\displaystyle t}$${\displaystyle t^{2}=R(R-2r)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle r}$ $${\displaystyle R\geq 2r.}$$

ポンペイの定理は、正三角形の平面上の任意の点であるが、その外接円上にない場合、各辺の長さが、、である三角形が存在することを述べています。つまり、、、 は、そのうちの任意の 2 つの合計が 3 つ目の合計よりも大きいという三角形不等式を満たします。が外接円上にある場合、2 つの小さい方の合計は最大のものと等しく、三角形は直線に退化します。このケースは、ファン・スクーテンの定理として知られています。^[10]${\displaystyle P}$${\displaystyle ABC}$${\displaystyle PA}$${\displaystyle PB}$${\displaystyle PC}$${\displaystyle PA}$${\displaystyle PB}$${\displaystyle PC}$${\displaystyle P}$

パッキング問題では、円をできるだけ小さな正三角形に詰め込むという目的が問われます。最適解は、が正三角形に詰め込めることを示しており、未解決の推測は にまで広がります。^[11]${\displaystyle n}$${\displaystyle n<13}$${\displaystyle n<28}$

モーリーの三等分線定理は、任意の三角形において、隣接する角の三等分線の 3 つの交点が正三角形を形成することを述べています。

ヴィヴィアーニの定理は、正三角形の任意の内部点が辺から、、、の距離を持ち、高さが である場合、その点は の位置に依存しないことを述べています。^[12]${\displaystyle P}$${\displaystyle d}$${\displaystyle e}$${\displaystyle f}$${\displaystyle h}$$${\displaystyle d+e+f=h,}$$${\displaystyle P}$

正三角形は、度で測った3つの有理角を持つ整数辺を持ち、 ^[13]その直交三角形（頂点が高度の足元にある）に相似な唯一の鋭角三角形として知られ、 ^[14]シュタイナーの内接楕円が円（具体的には内接円）である唯一の三角形です。 与えられた円に内接する三角形の中で面積が最大の三角形は正三角形であり、与えられた円に外接する三角形の中で面積が最小の三角形も正三角形です。^{[15]これは、}正方形を除いて、他の正多角形の内側に 内接できる唯一の正多角形です。

正三角形の内部の点が与えられたとき、その点の頂点からの距離の合計と辺からの距離の合計の比は 2 以上であり、が重心のときに等式が成り立ちます。他の三角形では、この比が 2 ほど小さい点は存在しません。^[16]これはエルデシュ–モーデルの不等式です。これのより強い変形がバローの不等式で、これは辺への垂直距離を、 、、 の角の二等分線が辺と交差する点（ 、、 を頂点とする）から までの距離に置き換えたものです。三角形が正三角形である場合に限り等式が成り立つ 三角形の不等式は、他にも数多くあります。${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \angleAPB}$${\displaystyle \angleBPC}$${\displaystyle \angleCPA}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$

正三角形は、円を使ってさまざまな方法で作ることができます。ユークリッドの原論第一巻の最初の命題。まず、ある半径の円を描き、その円の上にコンパスの点を置き、同じ半径の別の円を描きます。2つの円は2点で交差します。正三角形は、円の2つの中心と交点を取ることで作ることができます。^[17]

正三角形を作図する別の方法は、フェルマー素数を使用することです。フェルマー素数とは、という形式の 素数 で、 は非負の整数を表し、3、5、17、257、65537 の 5 つのフェルマー素数が知られています。正多角形は、その辺の数の奇数の素因数がそれぞれ異なるフェルマー素数である場合に限り、コンパスと定規で作図できます。^[18]これを幾何学的に行うには、直線を描き、コンパスの先端をその線の一方の端に置き、その点から線分のもう一方の点まで円弧を描きます。これを線のもう一方の側で繰り返します。これにより、2 つの円弧が交差する点と線分の両端が接続されます。 $${\displaystyle 2^{2^{k}}+1,}$$${\displaystyle k}$

任意の三角形の辺に、すべて外側または内側に 3 つの正三角形を作成すると、ナポレオンの定理により、それらの正三角形の中心自体が正三角形を形成します。

注目すべきことに、正三角形は、 6 つの三角形が頂点で交わるユークリッド平面をタイル張りします。このタイル張りの双対は六角形タイル張りです。切頂六角形タイル張り、菱形三六角形タイル張り、三六角形タイル張り、スナブ正方形タイル張り、スナブ六角形タイル張りはすべて、正三角形で構築された半規則的なタイル張りです。^[19]正三角形で構築された他の 2 次元オブジェクトには、シェルピンスキーの三角形(正三角形を再帰的に小さな正三角形に細分化して構築されたフラクタル形状) やルーローの三角形(正三角形の各辺を丸めて構築された、幅が一定で曲線の三角形) があります。 ^[20]

正三角形は、3次元では多面体を形成することもあります。すべての面が正三角形である多面体はデルタ面体と呼ばれます。厳密に凸状のデルタ面体は8つあります。5つのプラトン立体のうち3つ（正四面体、正八面体、正二十面体）と、92のジョンソン立体のうち5つ（三角両錐、五角両錐、スナブ二面体、三角柱、回転伸長四角両錐）です。^[21]より一般的には、すべてのジョンソン立体は面の中に正三角形を持っていますが、そのほとんどは他の正多角形も持っています。^[22]

反プリズムは、交互に並んだ三角形の帯を組み込んだ多面体の一種である。反プリズムが均一な場合、その底辺は規則的で、すべての三角形の面は正三角形である。^[23]

一般化すると、正三角形は-単体の無限族に属し、 となる。^[24]${\displaystyle n}$${\displaystyle n=2}$

正三角形は、人工建造物や大衆文化に頻繁に登場します。建築では、ゲートウェイ・アーチの断面やベグレヴィルの卵の表面に例を見ることができます。^{[25] [26]}ニカラグアの国旗やフィリピンの国旗にも登場しています。^{[27] [28]}譲歩標識を含むさまざまな道路標識の形状です。^[29]

正三角形は立体化学の研究で登場する。これは、中心の1つの原子が平面内で他の3つの原子を結合する分子構造として説明することができ、三角平面分子構造として知られている。^[30]

球面上の荷電粒子の最小エネルギー配置に関するトムソン問題と、点間の最小距離を最大化する球面コードを構築するタムズ問題では、既知の最善の解は、点を球に内接する正三角形の頂点に配置することである。この配置はタムズ問題に対して最適であることが証明されているが、トムソン問題のこのインスタンスに対する厳密な解は知られていない。^[31]${\displaystyle n}$${\displaystyle n=3}$

• ほぼ正三角形のヘロン三角形
• マルファッティサークル
• 三角図
• 三線座標

• Weisstein、Eric W.「正三角形」。MathWorld。

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