靴ひもの式

靴ひもの公式は、ガウスの面積公式や測量士の公式としても知られ、^[1]平面上の直交座標で頂点が表される単純な多角形の面積を決定する数学的アルゴリズムです。 ^[2]靴ひもを通すのと同じように、多角形を構成する座標が常に交差して乗算されるため、靴ひもの公式と呼ばれています。^{[2]この公式は、測量や林業など[3]}の分野 で応用されています。

この公式は1769年にアルブレヒト・ルートヴィヒ・フリードリヒ・マイスター（1724–1788）によって記述され^{[4] 、}カール・フリードリヒ・ガウスとCGJヤコビによって記述された台形公式に基づいています。^{[5]面積公式の三角形形式は、}グリーンの定理の特殊なケースと考えることができます。

面積の公式は、重なり合う多角形にも適用できます。重なり合う多角形は一般的に単純ではありませんが、面積の意味は明確です。^[6]さらに、重なり合う多角形には複数の「解釈」がありますが、靴ひもの公式を使用すると、解釈に関係なく多角形の面積が同じであることを示すことができます。^[7]

与えられたもの:直交座標系における正方向(反時計回り) の点列を持つ平面の単純な多角形。 以下の式を単純にするために、 と設定すると便利です。 ${\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i}),i=1,\dots ,n}$
${\displaystyle P_{0}=P_{n},P_{n+1}=P_{1}}$

公式:
与えられた多角形の面積は、簡単な演算で結び付けられたさまざまな公式で表すことができます (以下を参照)。
多角形が負の方向を向いている場合、公式の結果は負になります。いずれの場合も、多角形の面積は求められます。^[8]${\displaystyle A}$${\displaystyle |A|}$

台形の公式は、をその 4 つの辺の 1 つとして持つ台形の一連の有向領域の和を求めます(以下を参照)。 ${\displaystyle A_{i}={\tfrac {1}{2}}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}-x_{i+1})}$${\displaystyle P_{i}P_{i+1}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}-x_{i+1})\\&={\frac {1}{2}}{\Big (}(y_{1}+y_{2})(x_{1}-x_{2})+\cdots +(y_{n}+y_{1})(x_{n}-x_{1}){\Big )}\end{aligned}}}$$

三角形の公式は三角形の面積を合計する：^[9]${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle OP_{i}P_{i+1}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}{\begin{vmatrix}x_{i}&x_{i+1}\\y_{i}&y_{i+1}\end{vmatrix}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}{\begin{vmatrix}x_{i}&y_{i}\\x_{i+1}&y_{i+1}\end{vmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\Big (}x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{1}-x_{1}y_{n}{\Big )}\end{aligned}}}$$

三角形の公式は、2×2行列式の合計の計算を手作業で最適化する方式である、 一般的な靴ひも公式の基礎です。$${\displaystyle {\begin{aligned}2A&={\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}\\y_{1}&y_{2}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}x_{2}&x_{3}\\y_{2}&y_{3}\end{vmatrix}}+\cdots +{\begin{vmatrix}x_{n}&x_{1}\\y_{n}&y_{1}\end{vmatrix}}\\[10mu]&={\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\cdots &x_{n}&x_{1}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\cdots &y_{n}&y_{1}\end{vmatrix}}\end{aligned}}}$$

図に示すように、 この行列式は転置される（縦に 2 列で記述される）こともあります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}(x_{i-1}-x_{i+1})\\&={\frac {1}{2}}{\Big (}y_{1}(x_{n}-x_{2})+y_{2}(x_{1}-x_{3})+\cdots +y_{n}(x_{n-1}-x_{1}){\Big )}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}(y_{i+1}-y_{i-1})}$$

この式の特に簡潔な記述は、外積代数を用いて与えることができる。が多角形の連続する頂点（直交平面上のベクトルとみなされる）である場合、 ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$$${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n}v_{i}\wedge v_{i+1}\right|.}$$

1 の五角形の面積は $${\displaystyle {\begin{aligned}&P_{1}=(1,6),P_{2}=(3,1),P_{3}=(7,2),\\&P_{4}=(4,4),P_{5}=(8,5)\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}2A&={\begin{vmatrix}1&3\\6&1\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}3&7\\1&2\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}7&4\\2&4\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}4&8\\4&5\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}8&1\\5&6\end{vmatrix}}\\&=(1-18)\;+(6-7)\;+(28-8)\;+(20-32)\;+(48-5)=33\\A&=16.5\end{aligned}}}$$

靴ひも形式の利点: 10 列の 5 つの行列式を計算するために、6 列のみを記述する必要があります。

エッジは、その向きの領域を持つ 台形を決定します${\displaystyle P_{i},P_{i+1}}$${\displaystyle (x_{i},y_{i}),(x_{i+1},y_{i+1}),(x_{i},0),(x_{i+1},0)}$

$${\displaystyle A_{i}={\tfrac {1}{2}}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}-x_{i+1})}$$

の場合は数が負、そうでない場合は正、またはの場合は です。図では、エッジの方向が矢印で示されています。色は の符号を示しています。赤は、緑は を示しています。最初のケースでは台形は負と呼ばれ、2 番目のケースでは正と呼ばれます。負の台形は、多角形の外側にある正の台形の部分を削除します。凸多角形の場合(図の上部の例)、これは明らかです。多角形の面積は、正の台形 (緑のエッジ) の面積の合計から負の台形 (赤のエッジ) の面積を引いたものです。凸でないケースでは、状況をより注意深く考慮する必要があります (図を参照)。いずれの場合も、結果は次のとおりです。 ${\displaystyle x_{i}<x_{i+1}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle A_{i}=0}$${\displaystyle x_{i}=x_{i+1}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle A_{i}<0}$${\displaystyle A_{i}>0}$$${\displaystyle A=\sum _{i=1}^{n}A_{i}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}-x_{i+1})}$$

括弧を消して を使用すると （ 上記の規則を参照）、面積公式の 行列式の形式が得られます。i 番目の行列式の半分は三角形の面積の向きが決まっているため、このバージョンの面積公式は三角形形式と呼ばれます。 ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=\sum _{i=1}^{n}x_{i+1}y_{i+1}}$${\displaystyle P_{n+1}=P_{1}}$$${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}{\begin{vmatrix}x_{i}&x_{i+1}\\y_{i}&y_{i+1}\end{vmatrix}}}$$ ${\displaystyle O,P_{i},P_{i+1}}$

（ 上記の慣例を参照） とすると、次の式が得られる。両方の合計を 合計して除外すると、次の式が得られる。 恒等式とすると、次の式が得られる。 ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i+1}=\sum _{i=1}^{n}x_{i-1}y_{i}\ }$${\displaystyle P_{0}=P_{n},P_{n+1}=P_{1}}$$${\displaystyle 2A=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i+1}-\sum _{i=1}^{n}x_{i+1}y_{i}=\sum _{i=1}^{n}x_{i-1}y_{i}-\sum _{i=1}^{n}x_{i+1}y_{i}}$$${\displaystyle y_{i}}$$${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}(x_{i-1}-x_{i+1})}$$${\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i+1}y_{i}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i-1}}$$${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}(y_{i+1}-y_{i-1})}$$

あるいは、これは、 1 つの関数が 0 に設定され、もう 1 つの関数が x に設定されたグリーンの定理の特殊なケースであり、面積は境界に沿った xdy の積分になります。

${\displaystyle A(P_{1},\dots ,P_{n})}$は、(上記参照)の付いた単純な多角形の向き付けられた面積を示します。は、多角形の向きが正/負の場合に正/負になります。 面積の公式の三角形形式または下の図から、 について次のことがわかります。 の場合、まずインデックスをシフトする必要があります。 ${\displaystyle P_{1},\dots ,P_{n}}$${\displaystyle n\geq 4}$${\displaystyle A}$${\displaystyle 1<k<n}$$${\displaystyle A(P_{1},\dots ,P_{n})=A(P_{1},\dots ,P_{k-1},P_{k+1},\dots ,P_{n})+A(P_{k-1},P_{k},P_{k+1})}$$${\displaystyle k=1\;{\text{or}}\;n}$

したがって:

1. 移動はのみに影響し、 は変化しません。を と平行に移動した場合、面積は変化しません。${\displaystyle P_{k}}$${\displaystyle A(P_{k-1},P_{k},P_{k+1})}$${\displaystyle A(P_{1},...,P_{k-1},P_{k+1},...,P_{n})}$${\displaystyle P_{k}}$${\displaystyle {\overline {P_{k-1}P_{k+1}}}}$
2. パージすると、合計面積が 変化します。これは正または負の値になります。${\displaystyle P_{k}}$${\displaystyle A(P_{k-1},P_{k},P_{k+1})}$
3. 間に点を挿入すると、合計面積が だけ変化します。これは正または負の値になります。${\displaystyle Q}$${\displaystyle P_{k},P_{k+1}}$${\displaystyle A(P_{k},Q,P_{k+1})}$

例：

${\displaystyle P_{1}=(3,1),P_{2}=(7,2),P_{3}=(4,4),}$

${\displaystyle P_{4}=(8,6),P_{5}=(1,7),\ Q=(4,3)}$

上記の靴ひもスキームの表記法では、

• 青いポリゴン:$${\displaystyle A(P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5})={\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}3&7&4&8&1&3\\1&2&4&6&7&1\end{vmatrix}}=20.5}$$
• 緑の三角形:$${\displaystyle A(P_{2},P_{3},P_{4})={\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}7&4&8&7\\2&4&6&2\end{vmatrix}}=-7}$$
• 赤い三角:$${\displaystyle A(P_{1},Q,P_{2})={\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}3&4&7&3\\1&3&2&1\end{vmatrix}}=-3.5}$$
• 青い多角形のマイナス点:${\displaystyle P_{3}}$$${\displaystyle A(P_{1},P_{2},P_{4},P_{5})={\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}3&7&8&1&3\\1&2&6&7&1\end{vmatrix}}=27.5}$$
• 青い多角形と点の間の:${\displaystyle Q}$${\displaystyle P_{1},P_{2}}$$${\displaystyle A(P_{1},Q,P_{2},P_{3},P_{4},P_{5})={\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}3&4&7&4&8&1&3\\1&3&2&4&6&7&1\end{vmatrix}}=17}$$

次の式が成り立つことを確認します。 $${\displaystyle A(P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5})=A(P_{1},P_{2},P_{4},P_{5})+A(P_{2},P_{3},P_{4})=20.5}$$ $${\displaystyle A(P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5})+A(P_{1},Q,P_{2})=A(P_{1},Q,P_{2},P_{3},P_{4},P_{5})=17}$$

高次元では、多角形の面積は、靴ひもの公式の外積形式を使用して頂点から計算できます(たとえば、3D では、連続する外積の合計)。 (頂点が同一平面上にない場合は、ループで囲まれたベクトル面積、つまり、最も大きい平面内の投影面積または「影」を計算します)。 $${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\left\|\sum _{i=1}^{n}v_{i}\wedge v_{i+1}\right\|}$$

この定式化は、頂点の座標から、またはより正確には超曲面メッシュからn次元多面体の体積を計算するように一般化することもできます。^[10]たとえば、3次元多面体の体積は、その表面メッシュを三角形に分割し、各表面三角形と原点によって形成される四面体の符号付き体積を合計することで求められます。ここで、合計は面全体にわたるものであり、頂点の順序が一貫しているように注意する必要があります（多面体の外側から見てすべて時計回りまたは反時計回り）。あるいは、発散定理を使用して、面の面積と表面法線に関する式を導くことができます（多面体 § 体積を参照）。 $${\displaystyle V={\frac {1}{6}}\left\|\sum _{F}v_{a}\wedge v_{b}\wedge v_{c}\right\|}$$

• 平面計
• ポリゴン領域
• ピックの定理
• ヘロンの公式

• ガウスの靴ひもの公式に関する Mathologer のビデオ