分野（物理学）

科学において、場とは、スカラー、ベクトル、またはテンソルで表される物理量であり、空間と時間の各点に値を持ちます。^{[1] [2] [3]}スカラー場の例としては、地図上の各点に番号を割り当てることで地表温度を表す天気図があります。 ^[4]地表風図では、地図上の各点に矢印が割り当てられ、その点の風速と風向が表されますが、これはベクトル場、つまり 1 次元 (ランク 1) テンソル場の例です。場の値が空間と時間でどのように変化するかを数学的に記述する場の理論は、物理学のいたるところで用いられています。たとえば、電場は別のランク 1 テンソル場ですが、電気力学は時空内の各点で相互作用する 2 つのベクトル場、または単一ランクの 2 テンソル場として定式化できます。^{[5] [6] [7]}

量子場理論の現代の枠組みでは、テスト粒子を参照しなくても、場は空間を占め、エネルギーを含み、その存在は古典的な「真の真空」を排除します。^[8]これにより、物理学者は電磁場を物理的実体と見なし、場の概念を現代物理学の体系を支えるパラダイムにしました。リチャード・ファインマンは、「電磁場が運動量とエネルギーを持つことができるという事実は、それを非常に現実的なものにし、 [...] 粒子は場を作り、場は別の粒子に作用し、場は粒子が持つことができるのと同じように、エネルギー含有量や運動量などのよく知られた特性を持ちます」と述べました。^[9]実際には、ほとんどの場の強度は距離とともに減少し、最終的には検出できなくなります。たとえば、ニュートンの重力理論の重力場や古典的な電磁気学の静電場など、多くの関連する古典的な場の強度は、発生源からの距離の2乗に反比例します（つまり、ガウスの法則に従います）。

場は、表現される物理量がスカラー、ベクトル、スピノル、テンソルのいずれであるかに応じて、それぞれスカラー場、ベクトル場、スピノル場、テンソル場に分類できます。場は、どこで定義されても一貫したテンソル特性を持ちます。つまり、ある場がスカラー場であると同時に、別の場所ではベクトル場であるということはあり得ません。たとえば、ニュートンの重力場はベクトル場です。時空のある点でその値を指定するには、その点における重力場ベクトルの成分である 3 つの数値が必要です。さらに、各カテゴリ (スカラー、ベクトル、テンソル) 内では、場が数値または量子演算子によって特徴付けられるかどうかに応じて、場は古典場または量子場のいずれかになります。この理論では、場の同等の表現は場粒子、たとえばボソンです。^[10]

アイザック・ニュートンにとって、万有引力の法則は、巨大な物体同士の間に働く重力を単純に表現したものでした。太陽系の惑星のように、相互作用する多くの物体の動きを見るとき、各物体間の力を別々に扱うのは計算上すぐに不便になります。18世紀に、これらすべての重力の記録を簡素化するために、新しい量が考案されました。この量、重力場は、空間の各点において、その点の小さな物体が感じる総重力加速度を与えました。これは物理学に何ら変化をもたらしませんでした。物体にかかるすべての重力を個別に計算してから合計しても、すべての寄与をまず重力場として合計してから物体に適用しても、問題はありませんでした。^[11]

場という独立した概念の発展は、19 世紀に電磁気学の理論が発展したことにより本格的に始まりました。初期の段階では、アンドレ＝マリー・アンペールとシャルル＝オーギュスタン・ド・クーロンは、電荷または電流のペア間の力を表すニュートン流の法則で対処できました。しかし、場のアプローチを採用し、これらの法則を電場と磁場の観点から表現する方がはるかに自然になりました。1845 年、マイケル・ファラデーが初めて「磁場」という用語を作りました。^[12]そして、ケルビン卿は 1851 年に場の正式な定義を提供しました。^[13]

電磁波と呼ばれるこれらの場の波は有限の速度で伝播するというジェームズ・クラーク・マクスウェルの発見により、場の独立性はより明らかになった。その結果、電荷と電流に働く力は、もはや他の電荷と電流の同時の位置と速度だけでなく、過去の位置と速度にも依存するようになった。^[11]

マクスウェルは当初、場を独立して存在できる基本量とする現代の概念を採用しなかった。その代わりに、電磁場はゴム膜の張力のように、基礎となる媒体、つまり光を伝えるエーテルの変形を表すと考えた。もしそうだとすれば、観測される電磁波の速度はエーテルに対する観測者の速度に依存するはずである。多大な努力にもかかわらず、そのような効果の実験的証拠は見つからなかった。この状況は、 1905 年にアルバート アインシュタインが特殊相対性理論を導入したことで解決された。この理論は、移動する観測者の視点が互いに関連付けられる方法を変えた。観測者は、マクスウェルの理論における電磁波の速度がすべての観測者にとって同じになるように互いに関連付けられた。背景媒体の必要性をなくすことで、この発展は物理学者が場を真に独立した存在として考え始める道を開いた。^[11]

1920年代後半、量子力学の新しいルールが初めて電磁場に適用された。1927年、ポール・ディラックは量子場を利用して、原子がより低い量子状態へ崩壊すると、電磁場の量子である光子が自然放出される仕組みをうまく説明した。その後すぐに、パスクアル・ジョーダン、ユージン・ウィグナー、ヴェルナー・ハイゼンベルク、ヴォルフガング・パウリらの研究に続いて、電子や陽子を含むすべての粒子は、何らかの量子場の量子として理解できるという認識が生まれ、場は自然界で最も基本的な物体の地位にまで高められた。^[11]とはいえ、ジョン・ホイーラーとリチャード・ファインマンは、ニュートンの遠隔作用という前場概念を真剣に検討した（ただし、一般相対性理論や量子電磁力学の研究で場の概念が継続的に有用であるため、彼らはそれを棚上げにした）。

古典場の例はいくつかあります。古典場理論は、量子特性が生じないところでは有用であり、活発な研究分野となり得ます。材料の弾性、流体力学、マクスウェル方程式などがその例です。

最も単純な物理場のいくつかはベクトル力場です。歴史的に、場が真剣に受け止められたのは、電場を説明するファラデーの 力線が初めてでした。重力場も同様に説明されました。

重力を記述する古典的な場の理論はニュートンの重力であり、重力は 2 つの質量間の相互作用として記述されます。

質量Mを持つ物体は、他の質量を持つ物体への影響を表す重力場 gと関連している。空間内の点rにおけるMの重力場は、 rにある小さなまたは無視できるテスト質量mにMが及ぼす力Fとテスト質量自体の比に対応する。 ^[14]

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}.}$

m がMよりもはるかに小さいことを規定することで、 mの存在がMの動作に及ぼす影響は無視できることが保証されます。

ニュートンの万有引力の法則によれば、F ( r ) は次のように与えられる^[14]。

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$

ここで、はMとmを結ぶ線に沿っており、 Mからmを指す単位ベクトルである。したがって、 Mの重力場は^[14]である。${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}=-{\frac {GM}{r^{2 }}}{\hat {\mathbf {r} }}.}$

慣性質量と重力質量が前例のない精度で等しいという実験的観察は、重力場の強さが粒子が経験する加速度と同一であるという同一性につながります。これが等価原理の出発点であり、一般相対性理論につながります。

重力Fは保存力なので、重力場g はスカラー関数の勾配、重力ポテンシャルΦ( r )で書き直すことができます。

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla \Phi (\mathbf {r} )。}$

マイケル・ファラデーは、磁気の研究中に初めて物理量としての場の重要性を認識しました。彼は、電場と磁場は粒子の運動を規定する力の場であるだけでなく、エネルギーを運ぶため独立した物理的実体を持っていることに 気づきました。

これらのアイデアは最終的に、ジェームズ・クラーク・マクスウェルによる電磁場の方程式の導入を伴った物理学における最初の統一場理論の創造につながりました。これらの方程式の現代版はマクスウェル方程式と呼ばれています。

電荷qを持つ荷電粒子は、その電荷のみに基づく力Fを受ける。同様に、電場EもF = q Eと記述できる。これとクーロンの法則を用いると、単一の荷電粒子による電場は

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}.}$

電場は保存的であり、したがってスカラーポテンシャルV ( r ) で記述できます。

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\nabla V(\mathbf {r} ).}$

経路ℓに沿って流れる定常電流Iは、フィールドBを作り出し、近くを移動する荷電粒子に、上で述べた電界力とは量的に異なる力を及ぼします。Iが速度vの近くの電荷qに及ぼす力は、

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ),}$

ここで、B ( r ) は磁場であり、ビオ・サバールの法則によってIから決定されます。

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {Id{\boldsymbol {\ell }}\times {\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}.}$

磁場は一般に保存的ではないため、通常はスカラーポテンシャルで記述することはできません。ただし、ベクトルポテンシャルA ( r ) で記述することはできます。

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} (\mathbf {r} )}$

一般に、電荷密度ρ( r , t )と電流密度J ( r , t )の両方が存在する場合、電場と磁場の両方が存在し、両方とも時間とともに変化します。これらは、 EとBをρとJに直接関連付ける微分方程式の集合であるマクスウェル方程式によって決定されます。^[17]

あるいは、システムをスカラーポテンシャルVとベクトルポテンシャルAで記述することもできる。遅延ポテンシャルと呼ばれる積分方程式のセットにより、ρ とJからVとA を計算することができ、^{[注 1]}そこから電場と磁場が次の関係式によって決定される^[18]。

${\displaystyle \mathbf {E} =-{\boldsymbol {\nabla }}V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} .}$

19 世紀末には、電磁場は空間内の 2 つのベクトル場の集合として理解されていました。今日では、これは時空内の単一の反対称 2 階テンソル場として認識されています。

一般相対性理論と呼ばれるアインシュタインの重力理論は、場の理論のもう一つの例です。ここでの主場は計量テンソル、つまり時空における対称的な2階テンソル場です。これはニュートンの万有引力の法則に代わるものです。

波は、その有限の伝播速度と、孤立した閉鎖系の単純化された物理モデルが設定された場合の因果関係の性質により、物理場として構築することができます^{[説明が必要] 。また、波は}逆二乗則に従います。

電磁波には光学場があり、回折の近距離場や遠距離場の限界などの用語がある。しかし実際には、光学の場の理論はマクスウェルの電磁場理論に取って代わられている。

重力波は、高さの場によって定義される水面の波です。

流体力学には、エネルギーと運動量の保存則によって結び付けられた圧力、密度、流量の場があります。質量連続方程式は質量保存を表す 連続方程式であり 、ナビエ・ストークス方程式は流体の運動量保存を表します。 これは、流体の 密度ρ、圧力p、偏差応力テンソルτ 、および外部の体積力bがすべて与えられている場合、流体に適用されるニュートンの法則から求められます。流速u は、解くべきベクトル場です。 $${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$$$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} )=\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\rho \mathbf {b} }$$

線形弾性はテンソル場間の構成方程式によって定義される。

${\displaystyle \sigma _{ij}=L_{ijkl}\varepsilon _{kl}}$

ここで、は 3x3コーシー応力テンソルの成分、は 3x3無限小ひずみの成分、は弾性テンソルで、81 個の成分 (通常は 21 個の独立した成分) を持つ 4 階のテンソル です。${\displaystyle \sigma _{ij}}$${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$${\displaystyle L_{ijkl}}$

温度Tが強度量、すなわち3 次元空間の単一値で連続かつ微分可能な 関数(スカラー場) であると仮定すると、温度勾配は と定義されるベクトル場になります。熱伝導では、温度場はフーリエの法則に現れます。 ${\displaystyle T=T(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \nabla T}$

${\displaystyle \mathbf {q} =-k\nabla T}$

ここで、q は熱流束場、k は熱伝導率 です。

温度と圧力の勾配も気象学にとって重要です。

現在では、量子力学はすべての物理現象の基礎となっているはずであると考えられており、そのため古典的な場の理論は、少なくとも原理的には量子力学的な用語で書き直すことが可能であり、それに成功すれば対応する量子場の理論が得られる。例えば、古典的な電磁力学を量子化すると 量子電磁力学が得られる。量子電磁力学はおそらく最も成功した科学理論であり、実験データはその予測を他のどの理論よりも高い精度（より多くの有効桁数）で確認している。 ^{[21]他の2つの基本的な量子場の理論は、}量子色力学と電弱理論 である。

量子色力学では、色場線はグルーオンによって短距離で結合され、グルーオンは場によって分極され、場と一列に並ぶ。この効果は短距離（クォークの近傍から約1fm ）内で増大し、色力は短距離内で増大し、クォークはハドロン内に閉じ込められる。場線はグルーオンによって強く引っ張られるため、電荷間の電場ほど外側に「曲がる」ことはない。^[22]

これら 3 つの量子場理論はすべて、いわゆる素粒子物理学の標準モデルの特殊なケースとして導くことができます。アインシュタインの重力場理論である一般相対性理論は、まだ量子化に成功していません。しかし、その拡張である熱場理論は、有限温度での量子場理論を扱っていますが、これは量子場理論ではほとんど考慮されていません。

BRST 理論では、ファデーエフ・ポポフゴーストなどの奇数を扱います。次数付き多様体と超多様体の両方において、奇数の古典的場の異なる記述があります。

上で古典場について述べたように、以前と同様の手法を使用して、純粋に数学的な観点からそれらの量子場にアプローチすることができます。量子場を支配する方程式は、実際にはPDE（具体的には、相対論的波動方程式（RWE））です。したがって、ヤン–ミルズ場、ディラック場、クライン–ゴードン場、シュレーディンガー場は、それぞれの方程式の解であると言えます。考えられる問題は、これらのRWEが、特異な代数的特性を持つ複雑な数学的対象（たとえば、スピノルはテンソルではないため、スピノル場には微積分が必要になる場合があります）を処理できることですが、適切な数学的一般化が与えられれば、理論上はこれらを解析的手法で処理することができます。

場の理論は通常、場のダイナミクスの構築、つまり、場が時間とともに、または場が依存する他の独立した物理変数に対してどのように変化するかの仕様を指します。通常、これは場のラグランジアンまたはハミルトニアンを記述し、それを無限の自由度を持つ古典的または量子力学システムとして扱うことによって行われます。結果として得られる場の理論は、古典場の理論または量子場の理論と呼ばれます。

古典場のダイナミクスは通常、場の成分に関するラグランジアン密度によって指定され、そのダイナミクスは作用原理を使用して得ることができます。

物理学の予備知識がなくても、多変数微分積分、ポテンシャル理論、偏微分方程式(PDE) の数学だけを使用して、単純な場を構築することができます。たとえば、スカラー PDE では、波動方程式や流体力学では振幅、密度、圧力場、熱/拡散方程式では温度 / 濃度場などの量が考慮されます。物理学本来の領域 (放射測定やコンピュータ グラフィックスなど) 以外では、光場さえあります。これらの前の例はすべてスカラー場です。同様にベクトルでは、(応用数学的) 流体力学では変位、速度、渦度場のベクトル PDE がありますが、ベクトル場の微積分 (これら 3 つの量や、一般的なベクトル PDE の微積分と同様に) であるベクトル微積分がさらに必要になる場合があります。より一般的には、連続体力学の問題には、例えば、方向性弾性（ラテン語で伸びを意味する「テンソル」という用語の由来）、複雑な流体の流れ、異方性拡散などがあり、これらは行列テンソル偏微分方程式として構成され、行列またはテンソル場、つまり行列計算またはテンソル計算が必要になります。スカラー（つまりベクトル、行列、テンソル）は、どちらも抽象代数的/環論的な意味での場であるため、実数でも複素数でもかまいません。

一般的な設定では、古典場はファイバー束の断面によって記述され、そのダイナミクスはジェット多様体（共変古典場理論）の観点から定式化されます。^[23]

現代物理学において、最も頻繁に研究されている分野は、将来的に統一場理論につながる可能性のある 4 つの基本的な力をモデル化する分野です。

場（古典的または量子的）を分類する便利な方法は、それが持つ対称性によって分類することです。物理的な対称性は通常、次の 2 種類に分けられます。

場は時空の変換における振る舞いによって分類されることが多い。この分類で使用される用語は以下のとおりである。

• 空間の各点において単一の変数によって値が与えられるスカラー場（温度など）。この値は空間の変換によって変化しません。
• ベクトル場（磁場内の各点における力の大きさや方向など）は、空間の各点にベクトルを付加することで指定されます。このベクトルの成分は、空間の回転によって互いに反変的に変換されます。同様に、双対（または共）ベクトル場は、空間の各点に双対ベクトルを付加し、各双対ベクトルの成分は共変的に変換されます。
• テンソル場（結晶の応力テンソルなど）は、空間の各点におけるテンソルによって指定されます。空間内での回転により、テンソルの成分は、共変インデックスと反変インデックスの数に依存するより一般的な方法で変換されます。
• スピノル場（ディラックスピノルなど）は量子場理論で出現し、スピンを持つ粒子が成分の1つを除いてベクトルのように変換することを記述します。言い換えると、ベクトル場を特定の軸の周りで360度回転させると、ベクトル場はそれ自身の方向を向きますが、スピノルは同じ場合に負の方向を向きます。

場は時空対称性に加えて内部対称性を持つ場合があります。多くの場合、時空スカラーのリストである場が必要です: (φ ₁、 φ ₂、... φ _N )。たとえば、天気予報では、これらは温度、圧力、湿度などです。素粒子物理学では、クォークの相互作用の色の対称性は、強い相互作用の色の対称性であり、内部対称性の一例です。他の例としては、アイソスピン、弱いアイソスピン、ストレンジネス、その他のフレーバー対称性があります。

時空を伴わない問題の対称性があり、その対称性の下でこれらの要素が互いに変換される場合、この対称性の集合は内部対称性と呼ばれます。内部対称性の下で場の電荷を分類することもできます。

統計場理論は、場の理論的パラダイムを多体系と統計力学に拡張しようとするものである。上述のように、これは通常の無限自由度の議論によってアプローチすることができる。

統計力学が量子力学と古典力学の間で一部重複しているのと同様に、統計場理論は量子場理論と古典場理論の両方に関連があり、特に統計場理論とは多くの手法を共有しています。重要な例の 1 つが平均場理論です。

上記のような電磁場などの古典場は、通常は無限に微分可能な関数ですが、いずれの場合もほぼ常に2回微分可能です。対照的に、一般化された関数は連続ではありません。有限温度での古典場を注意深く扱う場合、熱的に変動する古典場はどこでも微分可能ではないため、連続ランダム場の数学的手法が使用されます。ランダム場は、ランダム変数のインデックス付きセットです。連続ランダム場は、関数の集合をそのインデックスセットとして持つランダム場です。特に、連続ランダム場が関数のシュワルツ空間をそのインデックスセットとして持つと数学的に都合がよいことが多く、その場合、連続ランダム場は調整分布になります。

連続ランダム フィールドは、（非常に）大まかに言えば、ほぼどこにでもある通常の関数として考えることができますが、任意の有限領域上のすべての無限大の加重平均を取ると、有限の結果が得られます。無限大は明確に定義されていませんが、有限の値は、有限の値を取得するために重み関数として使用される関数に関連付けることができ、その関数は明確に定義できます。連続ランダム フィールドは、関数の空間から実数への線形マップとして十分に定義できます。 ${\displaystyle \pm \infty }$

• 「フィールド」。物理科学の原理。第 25 巻 (第 15 版)。1994 年。p. 815 – Encyclopædia Britannica (Macropaedia) より。
• Landau, Lev D.およびLifshitz, Evgeny M. ( 1971)。『場の古典理論』（第 3 版）。ロンドン: Pergamon。ISBN 0-08-016019-0 。理論物理学講座第 2 巻。 
• Jepsen, Kathryn (2013 年 7 月 18 日)。「本当の話: すべてはフィールドでできている」(PDF)。Symmetry Magazine。2016年 3 月 4 日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。2015 年6 月 9 日閲覧。

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• 粒子と高分子場の理論