マイケル・アティヤ

アティヤは多くの数学者と共同研究を行った。主な共同研究は、ラウル・ボットとのアティヤ・ボット不動点定理およびその他の多くのトピックに関するもの、イサドール・M・シンガーとのアティヤ・シンガー指数定理に関するもの、フリードリヒ・ヒルツェブルフとの位相的K理論に関するものであった^{[ 16 ]。}彼は1955年にプリンストン高等研究所で彼ら全員と出会った^{[ 17 ]}。その他の共同研究者には、J. Frank Adams (ホップ不変量問題)、Jürgen Berndt (射影平面)、Roger Bielawski (ベリー・ロビンス問題)、Howard Donnelly ( L関数)、Vladimir G. Drinfeld (インスタントン)、Johan L. Dupont (ベクトル場の特異点)、Lars Gårding (双曲型微分方程式)、Nigel J. Hitchin (モノポール)、William VD Hodge (第2種積分)、Michael Hopkins ( K理論)、Lisa Jeffrey (位相ラグランジアン)、John DS Jones (ヤン・ミルズ理論)、Juan Maldacena (M理論)、Yuri I. Manin (インスタントン)、Nick S. Manton (スカイミオン)、Vijay K. Patodi (スペクトル非対称性)、AN Pressley (凸性)、Elmer Rees (ベクトル束)、Wilfried Schmid (離散級数表現)、Graeme Segal (同変K理論)、Alexander Shapiro ^{[ 18 ]} (クリフォード代数)、L. Smith (球面のホモトピー群)、Paul Sutcliffe (多面体)、David O. Tall (ラムダ環)、John A. Todd (スティフェル多様体)、Cumrun Vafa (M理論)、Richard S. Ward (インスタントン)、Edward Witten (M理論、位相的量子場理論) ^{[ 19 ]}

彼が後に行ったゲージ場理論、特にヤン・ミルズ理論に関する研究は、幾何学と物理学の間の重要な相互作用を刺激し、特にエドワード・ウィッテンの研究において顕著であった。^{[ 20 ]}

アティヤの教え子には、ピーター・ブラーム（1987年）、 サイモン・ドナルドソン（1983年）、 K・デイビッド・エルワージー（ 1967年）、ハワード・フェガン（1977年）、 エリック・グルンワルド（1977年）、 ナイジェル・ヒッチン（1972年）、リサ・ジェフリー（1991年） 、 フランシス・カーワン（1984年）、ピーター・クロンハイマー（ 1986年）、 ルース・ローレンス（ 1989年） 、ジョージ・ルスティグ（1971年）、ジャック・モラバ（ 1968年）、マイケル・マレー（1983年）、ピーター・ ニューステッド（ 1966年）、 イアン・R・ポーテウス（ 1961年）、ジョン・ロー（1985年）、ブライアン・サンダーソン（1963年）、 ロルフ・シュヴァルツェンベルガー（1960年）、グレアム・シーガル（1967年）、デイビッド・トール（1966年）、グラハム・ホワイト（1982年）などがいる。^{[ 2 ]}

アティヤに影響を与えた同時代の数学者には、ロジャー・ペンローズ、ラース・ホルマンダー、アラン・コンヌ、ジャン＝ミシェル・ビスムートなどがいる。^{[ 22 ]}アティヤは、最も尊敬する数学者はヘルマン・ワイルであると述べ、^{[ 23 ]} 20世紀以前のお気に入りの数学者はベルンハルト・リーマンとウィリアム・ローワン・ハミルトンであると述べている。^{[ 24 ]}

アティヤの論文集7巻には、彼の可換代数学の教科書を除いて、彼の研究のほとんどが含まれています。^{[ 25 ]}最初の5巻はテーマ別に分かれており、6巻と7巻は日付順に並んでいます。

アティヤの代数幾何学に関する初期の論文（およびいくつかの一般的な論文）は、彼の著作集の第1巻に再録されている。^{[ 26 ]}

アティヤは学部生の頃、古典的な射影幾何学に興味を持ち、最初の論文として「ねじれた立方体に関する短いメモ」を執筆した。^{[ 27 ]}彼はWVDホッジの下で研究を始め、線織面への層理論的アプローチで1954年のスミス賞を受賞した。^{[ 28 ]}この受賞により、アティヤは他の興味分野である建築や考古学に転向するのではなく、数学を続けることを決意した。^{[ 29 ]} ホッジとの博士論文は、代数多様体上の第2種積分のソロモン・レフシェッツの理論への層理論的アプローチに関するもので、その結果、プリンストン高等研究所に1年間滞在する招待を受けた。^{[ 30 ]}プリンストン大学在学中、彼は楕円曲線上のベクトル束を分類しました（アレクサンダー・グロタンディークによる種数 0 の曲線上のベクトル束の分類を拡張）。任意のベクトル束は（本質的に一意な）分解不可能なベクトル束の和であることを示し、^{[ 31 ]}次に、与えられた次数と正の次元の分解不可能なベクトル束の空間が楕円曲線と同一視できることを示しました。^{[ 32 ]}彼はまた、曲面上の二重点を研究し、^{[ 33 ]} 3 次元多様体の特別な双有理変換である flop の最初の例を示しました。これは後に森重文による 3 次元多様体の最小モデルに関する研究で多用されました。 [ 34 ^{]アティヤの}flop は、 K3 曲面の普遍的なマーク付き族がハウスドルフではないことを示すためにも使用できます。^{[ 35 ]}

アティヤのK理論に関する著作、K理論に関する著書^{[ 36 ]}を含む作品は、彼の著作集の第2巻に再録されている^{[ 37 ] 。}

ベクトル束の最も単純な非自明な例はメビウスの帯（右図）です。これはねじれた紙片で、円上のランク 1 ベクトル束を表しています（ここでいう円とは、メビウスの帯の中心線です）。K 理論は、この例の高次元の類似物を扱うためのツールであり、言い換えれば、高次元のねじれを記述するためのツールです。空間の K 群の要素は、その空間上のベクトル束で表され、メビウスの帯は円の K 群の要素を表します。^{[ 38 ]}

位相的 K 理論は、アティヤとフリードリヒ・ヒルツェブルフ^{[ 39 ]}によって発見されました。彼らはグロタンディークのグロタンディーク–リーマン–ロッホの定理の証明とボットの周期性定理に関する研究に触発されました。この論文ではゼロ次 K 群のみを扱っていましたが、彼らはすぐにそれをすべての次数の K 群に拡張し^{[ 40 ]} 、一般化されたコホモロジー理論の最初の (非自明な) 例を示しました。

いくつかの結果から、新しく導入された K 理論は、ある意味で通常のコホモロジー理論よりも強力であることが示されました。 Atiyah と Todd ^{[ 41 ]}は、複素シュティーフェル多様体から球への写像が断面を持つときを記述するJames 数について、Borel と Serre が通常のコホモロジーを使用して見つけた下限を改善するために K 理論を使用しました。 ( Adamsと Grant-Walker は後に、Atiyah と Todd が見つけた下限が最良のものであることを示しました。) Atiyah と Hirzebruch ^{[ 42 ] は}、Hirzebruch が数年前に気付いたSteenrod 演算とTodd クラスの間のいくつかの関係を説明するために K 理論を使用しました。 JF Adams によるHopf 不変 1 問題演算の元の解は、二次コホモロジー演算を使用しており、非常に長く複雑でした。アティヤは、K理論の基本的な演算を使用して、わずか数行で短い解を与える方法を示し、アダムス^{[ 43 ]}との共同研究で、奇素数における結果の類似も証明しました。

アティヤー・ヒルツェブルフのスペクトル系列は、空間の通常のコホモロジーをその一般化されたコホモロジー理論に関連付けます。^{[ 40 ]}（アティヤーとヒルツェブルフはK理論の場合を使用しましたが、彼らの方法はすべてのコホモロジー理論に適用できます）。

アティヤは^{[ 44 ]}有限群Gの場合、その分類空間BGのK理論は、その指標環の完備化と同型であることを示した。

${\displaystyle K(BG)\cong R(G)^{\wedge }.}$

同年^{[ 45 ]}彼らは、任意のコンパクト連結リー群Gについて結果を証明した。すぐにグレアム・シーガルの論文^{[ 46 ]}の結果を取り入れることで、この結果をすべてのコンパクトリー群に拡張できるようになったが、その拡張は複雑だった。しかし、同変K理論、すなわちコンパクトG空間X上のGベクトル束の同値類を導入することで、より単純で一般的な証明が得られた^{[ 47 ]}。適切な条件下では、 Xの同変K理論の完備化は、空間の通常のK理論と同型であることが示された。${\displaystyle X_{G}}$ファイバーXでBG上に光ファイバー接続されたもの：

${\displaystyle K_{G}(X)^{\wedge }\cong K(X_{G}).}$

元の結果は、 Xを点とすることで、系として導かれる。すなわち、左辺はR(G)の完成に、右辺はK(BG)の完成に帰着する。詳細は、アティヤ・セガル完成定理を参照のこと。

彼はボルディズムとコボルディズムと呼ばれる新しい一般化されたホモロジーとコホモロジーの理論を定義し、ルネ・トム、CTC ウォールらが発見した多様体のコボルディズムに関する多くの深い結果が、これらのコホモロジーの理論についての記述として自然に再解釈できることを指摘した。^{[ 48 ]}これらのコホモロジーの理論、特に複素コボルディズムは、既知のコホモロジーの理論の中で最も強力なもののいくつかであることが判明した。

彼は^{[ 50 ]}有限複体XのJ群J ( X )を導入した。これは球束の安定ファイバーホモトピー同値類の群として定義され、後にJFアダムスによって一連の論文で詳細に研究され、アダムス予想につながった。

ヒルツェブルフと共に、グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理を複素解析的埋め込みに拡張し、 ^{[ 50 ]関連する論文[ 51 ]}で、整数コホモロジーのホッジ予想が偽であることを示した。有理コホモロジーのホッジ予想は、2008年現在、未解決の大きな問題である。^{[ 52 ]}

ボット周期定理はアティヤのK理論研究の中心テーマであり、彼はそれをよりよく理解するために何度も立ち返り、証明を何度も書き直した。ボットと共に初等的な証明を考案し^{[ 53 ]}、著書の中で別のバージョンを示した^{[ 54 ]} 。ボットとシャピロと共に、ボット周期性とクリフォード代数の周期性の関係を分析した^{[ 55 ]}。この論文には周期定理の証明は含まれていなかったが、同様の方法で証明がすぐにR.ウッドによって発見された。彼は楕円型演算子を用いていくつかの一般化の証明を発見した^{[ 56 ]}。この新しい証明は、彼がボットの元の周期定理の特に短く簡単な証明を与えるために用いたアイデアを使用した^{[ 57 ] 。}

アティヤのインデックス理論に関する研究は、彼の著作集の第3巻と第4巻に再録されている。^{[ 58 ] [ 59 ]}

微分作用素の指数は、独立解の数と密接に関係しています（より正確には、微分作用素とその随伴作用素の独立解の数の差です）。数学には、ある微分作用素の独立解の数を求める問題に容易に帰着できる、多くの難解で基本的な問題があります。したがって、微分作用素の指数を求める方法があれば、これらの問題はしばしば解決できます。アティヤー・シンガー指数定理はまさにこれを実現します。この定理は、一見複雑に見えるものの、実際には計算が容易な位相不変量を用いて、特定の微分作用素の指数を表す公式を与えます。

ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理など、いくつかの重要な定理は、アティヤ・シンガーの指数定理の特殊な場合である。実際、指数定理はより強力な結果をもたらしている。なぜなら、その証明はすべてのコンパクト複素多様体に適用できるのに対し、ヒルツェブルフの証明は射影多様体にしか適用できないからである。また、多くの新しい応用例もある。典型的な例としては、インスタントンのモジュライ空間の次元を計算することが挙げられる。指数定理は「逆」にも適用できる。指数は明らかに整数であるため、その公式も整数になるはずであり、多様体の不変量に​​関する微妙な整数条件を与えることがある。その典型的な例が、指数定理から導かれるロクリンの定理である。

楕円微分作用素の指数問題は、 1959 年にゲルファントによって提起された。^{[ 61 ]}彼は指数のホモトピー不変性に気づき、位相不変量を用いてその公式を求めました。動機となった例には、リーマン・ロッホの定理とその一般化であるヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理、およびヒルツェブルッフの署名定理が含まれます。ヒルツェブルッフとボレルはスピン多様体のÂ種の整数性を証明しており、アティヤは、それがディラック作用素の指数であればこの整数性を説明できると示唆しました（これは 1961 年にアティヤとシンガーによって再発見されました）。

アティヤー・シンガーの定理が最初に発表されたのは、彼らの1963年の論文でした。^{[ 62 ]}この発表で概略が示された証明は、ヒルツェブルッフのヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理の証明に触発されたもので、彼らによって出版されることはありませんでしたが、パレの著書で説明されています。^{[ 63 ]}彼らが最初に発表した証明^{[ 64 ]}は、グロタンディークのグロタンディーク・リーマン・ロッホの定理の証明により似ており、最初の証明のコボルディズム理論をK理論に置き換えたもので、彼らはこのアプローチを使用して、1968年から1971年にかけての一連の論文でさまざまな一般化の証明を与えました。

1 つの楕円型演算子の代わりに、空間Yによってパラメータ化された楕円型演算子の族を考えることができます。この場合、インデックスは整数ではなく、Yの K 理論の要素になります。 ^{[ 65 ]}族内の演算子が実数である場合、インデックスはYの実数 K 理論に属します。Y の実数K理論から複素数 K 理論への写像は必ずしも単射ではないため、これは少し追加の情報を提供します。^{[ 66 ]}

アティヤはボットと共に、楕円型作用素に対するレフシェッツ不動点公式の類似物を発見し、楕円複体の自己準同型のレフシェッツ数を、自己準同型の不動点の和で表した。^{[ 67 ]}特殊な場合として、彼らの公式にはワイル指標公式や、複素乗法を持つ楕円曲線に関するいくつかの新しい結果が含まれており、そのいくつかは当初専門家によって信じられなかった。^{[ 68 ]} アティヤとセガルは、この不動点定理を指数定理と次のように組み合わせた。コンパクト多様体X上に、楕円型作用素と可換な群Gのコンパクト群作用がある場合、指数定理の通常の K 理論を同変 K 理論に置き換えることができる。自明な群Gの場合、これは指数定理を与え、孤立した不動点を持つ有限群Gの場合、アティヤ-ボット不動点定理を与える。一般に、これは群Gの固定点部分多様体の総和として指数を与える。^{[ 69 ]}

アティヤ^{[ 70 ]}は、ホルマンダーとゲルファンドがそれぞれ独立に提起した、解析関数の複素べき乗が分布を定義するかどうかという問題を解決した。アティヤは、ヒロナカの特異点解消法を用いて、この問いに肯定的に答えた。ほぼ同時期に、 J. バーンスタインが独創的で初歩的な解法を発見し、アティヤがそれを論じた^{[ 71 ] 。}

同変指数定理の応用として、アティヤとヒルツェブルフは、有効な円作用を持つ多様体ではÂ-種数がゼロになることを示した。^{[ 72 ]}（リヒネロヴィッチは、多様体が正のスカラー曲率の計量を持つ場合、Â-種数がゼロになることを示した。）

アティヤはエルマー・リースと共に、射影空間上の位相ベクトル束と正則ベクトル束の関係の問題を研究した。彼らは、射影3次元空間上のすべてのランク2ベクトル束が正則構造を持つことを示すことで、最も単純な未知のケースを解決した。^{[ 73 ]}ホロックスは以前にそのようなベクトル束の非自明な例をいくつか発見しており、それらは後にアティヤが4次元球面上のインスタントンの研究で使用した。

Atiyah、Bott、Vijay K. Patodi ^{[ 74 ]}は、熱方程式を使用して指数定理の新しい証明を与えた。

多様体に境界が許される場合、有限の指数を保証するために楕円型演算子の定義域に何らかの制約を設ける必要があります。これらの条件は、局所的（例えば、定義域内のセクションが境界でゼロになることを要求するなど）またはより複雑な大域的条件（例えば、定義域内のセクションが何らかの微分方程式を満たすことを要求するなど）のいずれかです。局所的なケースは Atiyah と Bott によって研究されましたが、彼らは多くの興味深い演算子（例えば、符号演算子）が局所的な境界条件を許容しないことを示しました。これらの演算子を扱うために、Atiyah、Patodi、および Singer は、境界に沿って多様体に円筒を取り付け、定義域を円筒に沿って二乗可積分なセクションに制限することに相当する大域的境界条件を導入し、またAtiyah–Patodi–Singer の eta 不変量も導入しました。これにより、スペクトル非対称性に関する一連の論文^{[ 75 ]}が発表され、後に理論物理学、特に Witten の異常に関する研究で予期せず使用されました。

線形双曲型偏微分方程式の基本解には、しばしばペトロフスキーの空隙、つまり恒等的にゼロになる領域が存在する。これらは1945年にIGペトロフスキーによって研究され、どの領域が空隙であるかを記述する位相条件が発見された。アティヤはボットとラース・ゴーディングと共同で、ペトロフスキーの研究を更新および一般化した3つの論文を執筆した。^{[ 76 ]}

Atiyah ^{[ 77 ]}は、コンパクトな商を持つ離散群によって作用されるいくつかの非コンパクト多様体に指数定理を拡張する方法を示した。この場合、楕円型作用素の核は一般に無限次元であるが、フォン・ノイマン環上の加群の次元を使用して有限指数を得ることが可能である。この指数は一般に整数値ではなく実数値である。このバージョンはL ²指数定理と呼ばれ、 Atiyah と Schmid ^{[ 78 ]}は、二乗可積分調和スピノルを使用して、半単純リー群の Harish-Chandra の離散級数表現の幾何学的構成を与えるためにこれを使用した。この研究の過程で、彼らはリー群の指標の局所可積分性に関する Harish-Chandra の基本定理のより初等的な証明を見つけた。^{[ 79 ]}

彼はH. DonnellyとI. Singerと共に、ヒルツェブルフの公式（ヒルベルトモジュラー曲面の尖点における符号欠陥とL関数の値の関係）を実二次体からすべての完全実体へと拡張した。^{[ 80 ]}

ゲージ理論や関連トピックに関する彼の論文の多くは、彼の著作集の第 5 巻に再録されている。^{[ 81 ]}これらの論文の共通のテーマは、特定の非線形偏微分方程式、特にインスタントンとモノポールの方程式の解のモジュライ空間の研究である。これはしばしば、一見全く異なる 2 つの方程式の解の間に微妙な対応関係を見つけることを伴う。アティヤが繰り返し使用したこの初期の例はペンローズ変換であり、これは、ある実多様体上の非線形方程式の解を、別の複素多様体上のいくつかの線形正則方程式の解に変換することができる。

アティヤは複数の著者と共同で一連の論文を発表し、4 次元ユークリッド空間上のすべてのインスタントンを分類した。球面はコンパクトであるため、球面上でインスタントンを分類する方が便利であり、これは本質的にユークリッド空間上でインスタントンを分類することと同等である。これは、球面と共形的に同等であり、インスタントンの方程式は共形的に不変であるためである。アティヤはヒッチンとシンガー^{[ 82 ]}と共に、コンパクトな 4 次元リーマン多様体上の任意の主束に対する既約自己双対接続 (インスタントン) のモジュライ空間の次元を計算した (アティヤ–ヒッチン–シンガーの定理)。例えば、ランクk >0 の SU ₂インスタントンの空間の次元は 8 k −3 である。これを行うために、彼らはアティヤ–シンガー指数定理を使用して、ある点におけるモジュライ空間の接空間の次元を計算した。接空間は本質的に、非線形ヤン・ミルズ方程式の線形化によって与えられる楕円型微分作用素の解の空間である。これらのモジュライ空間は後にドナルドソンによって4次元多様体の不変量を構成するために使用された。アティヤとウォードはペンローズ対応を使用して、4次元球面上のすべてのインスタントンの分類を代数幾何学の問題に還元した。^{[ 83 ]}ヒッチンとともに、彼はホロックスのアイデアを使用してこの問題を解決し、球面上のすべてのインスタントンのADHM構成を与えた。マニンとドリンフェルドは同時に同じ構成を発見し、4人の著者全員による共同論文につながった。^{[ 84 ]}アティヤはこの構成を四元数を使用して再定式化し、ユークリッド空間上のインスタントンのこの分類についてゆったりとした説明を本として書いた。^{[ 85 ]}

アティヤのインスタントンモジュライ空間に関する研究は、ドナルドソンのドナルドソン理論に関する研究で利用された。ドナルドソンは、正定値交差形式を持つコンパクトな単連結4次元多様体上の（次数1）インスタントンのモジュライ空間は、多様体と複素射影空間のコピーの和との間のコボルディズムを与えるようにコンパクト化できることを示した。彼はこれから、交差形式は1次元の和でなければならないと推論し、これは4次元ユークリッド空間上の非等価な滑らかな構造の存在など、滑らかな4次元多様体へのいくつかの素晴らしい応用につながった。ドナルドソンはさらに、アティヤが研究した他のモジュライ空間を使用してドナルドソン不変量を定義した。これは滑らかな4次元多様体の研究に革命をもたらし、それらが他のどの次元の滑らかな多様体よりも微妙であり、位相的な4次元多様体ともかなり異なることを示した。アティヤはこれらの結果の一部を概説講演で説明した。^{[ 87 ]}

線形偏微分方程式のグリーン関数は、フーリエ変換を用いてこれを代数問題に変換することで得られることが多い。アティヤはこのアイデアの非線形版を用いた。^{[ 88 ]}彼はペンローズ変換を用いて、共形不変ラプラシアンのグリーン関数を複素解析オブジェクトに変換した。これは本質的にペンローズツイスター空間をその二乗に対角埋め込みしたものであった。これにより、彼は4次元多様体上の共形不変グリーン関数の明示的な公式を見つけることができた。

ジョーンズとの共著論文^{[ 89 ]}で、彼は4次元球面上のSU(2)インスタントンのモジュライ空間の位相を研究した。彼らは、このモジュライ空間からすべての接続の空間への自然な写像が、ある次元範囲のホモロジー群の全射を誘導することを示し、同じ次元範囲のホモロジー群の同型を誘導する可能性があることを示唆した。これはアティヤ・ジョーンズ予想として知られるようになり、後に数人の数学者によって証明された。^{[ 90 ]}

Harder とMS Narasimhan は、有限体上のモジュライ空間の点の数を数えることによって、リーマン面上の安定ベクトル束のモジュライ空間のコホモロジーを記述し、その後、Weil 予想を使用して複素数上のコホモロジーを復元しました。 ^{[ 91 ]} Atiyah とR. Bott は、モース理論とリーマン面上のYang–Mills 方程式を使用して、Harder と Narasimhan の結果を再現および拡張しました。^{[ 92 ]}

SchurとHornによる古い結果によれば、与えられた固有値を持つエルミート行列の可能な対角ベクトルの集合は、固有値のすべての順列の凸包である。Atiyahは、トーラスによって作用されるすべてのコンパクトシンプレクティック多様体に適用できるこの一般化を証明し、モーメント写像による多様体の像が凸多面体であることを示した^{[ 93 ]。}またPressleyとともに、無限次元ループ群への関連する一般化を与えた^{[ 94 ] 。}

デュイステルマートとヘックマンは、トーラス作用のモーメント写像のリウヴィル測度のプッシュフォワードが定常位相近似（一般には厳密ではなく漸近展開にすぎない）によって正確に与えられるという驚くべき公式を発見した。アティヤとボット^{[ 95 ]}は、これが同変コホモロジーのより一般的な公式から導出できることを示し、これはよく知られた局所化定理の結果であった。アティヤは^{[ 96 ]} 、モーメント写像が幾何学的不変理論と密接に関連していることを示し、この考えは後に彼の学生F.カーワンによってさらに大きく発展した。ウィッテンはその後すぐにデュイステルマート-ヘックマン公式をループ空間に適用し、これが形式的にディラック作用素のアティヤ-シンガー指数定理を与えることを示した。この考えはアティヤによって講義された。^{[ 97 ]}

彼はヒッチンと共に磁気単極子の研究に取り組み、ニック・マントンのアイデアを用いてその散乱を研究した。^{[ 98 ]}ヒッチンとの共著^{[ 99 ]}には、磁気単極子に関する彼らの研究の詳細が記されている。この本の主なテーマは磁気単極子のモジュライ空間の研究であり、これは自然なリーマン計量を持ち、重要な点は、この計量が完備かつハイパーケーラーであるということである。この計量は、モジュライ空間上の測地線流が散乱の低エネルギー近似であるというN.マントンの提案を用いて、2つの単極子の散乱を研究するために用いられる。例えば、2つの単極子の正面衝突は90度の散乱をもたらし、散乱の方向は2つの単極子の相対位相に依存することを示している。彼はまた、双曲空間上の単極子も研究した。^{[ 100 ]}

Atiyahは^{[ 101 ]}で、4次元のインスタントンは2次元のインスタントンと同一視でき、2次元の方がはるかに扱いやすいことを示した。もちろん落とし穴がある。4次元から2次元に移行すると、ゲージ理論の構造群が有限次元群から無限次元ループ群に変わる。これは、一見無関係に見える2つの非線形偏微分方程式の解のモジュライ空間が本質的に同じであることが判明する別の例である。

アティヤとシンガーは、量子場理論の異常はディラック演算子の指数理論の観点から解釈できることを発見しました。^{[ 102 ]}この考えは後に物理学者によって広く使われるようになりました。

アティヤはその後も論文を発表し続け、いくつかの概説、一般向けの書籍^{[ 104 ] 、}そしてセガールとの共著によるねじれたK理論に関する論文など^を発表した。

ある論文^{[ 105 ]}は、位相と指数定理の観点からデデキントのイータ関数を詳細に研究したものである。

この頃の彼の論文のいくつかは、量子場理論、結び目、ドナルドソン理論の関連性を研究している。彼は、ウィッテンの研究とシーガルの共形場理論の定義に触発されて、位相的量子場理論の概念を導入した。 ^{[ 106 ]}彼の著書「結び目の幾何学と物理学」^{[ 107 ]}では、ヴォーン・ジョーンズとエドワード・ウィッテンによって発見された新しい結び目不変量を位相的量子場理論の観点から説明しており、L.ジェフリーとの共著論文^{[ 108 ]}では、ドナルドソン不変量を与えるウィッテンのラグランジアンを説明している。

彼はニック・マントン^{[ 109 ]}と共にスキルミオンを研究し、磁気単極子とインスタントンとの関係を発見し、2つのスキルミオンのモジュライ空間の構造を複素射影3空間の特定の部分商として予想した。

いくつかの論文^{[ 110 ]}は、ジョナサン・ロビンスの質問（ベリー・ロビンス問題と呼ばれる）に触発されたもので、3次元空間のn個の点の配置空間からユニタリ群の旗多様体への写像が存在するかどうかを尋ねた。アティヤはこの質問に肯定的な答えを与えたが、彼の解法は計算が多すぎると感じ、より自然な解を与えるであろう予想を研究した。彼はまた、この問題をナームの方程式に関連付け、配置に関するアティヤ予想を導入した。

彼はJuan MaldacenaとCumrun Vafa [ ^{112 ]}およびE. Witten ^{[ 113 ]}と共に、G ₂ホロノミーを持つ多様体上のM 理論のダイナミクスを記述した。これらの論文は^、 Atiyah が例外的なリー群について研究した最初のものと思われる。

M. ホプキンス^{[ 114 ]}および G. シーガル^{[ 115 ]}との共著論文では、彼は以前から関心を寄せていた K 理論に戻り、理論物理学への応用を伴う K 理論のいくつかのねじれた形式について記述した。

2016 年 10 月、彼は^{[ 116 ]} 6 球面上に複素構造が存在しないという短い証明を主張した。彼の証明は、多くの先行例と同様に、修正された形で書き直された後も、数学界では欠陥があるとみなされている。^{[ 117 ] [ 118 ]}

2018年のハイデルベルク賞受賞者フォーラムで、彼は微細構造定数を用いた背理法によって、ヒルベルトの第8問題であるリーマン予想を解決したと主張した。しかし、その証明は成り立たず、2025年現在、この予想は数学における6つの未解決ミレニアム賞問題の1つとして残っている。 ^{[ 119 ] [ 120 ]}

この小節には、アティヤが執筆したすべての書籍が掲載されています。ただし、彼が編集した書籍はいくつか省略されています。