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振り子は、支点から吊り下げられた重りが自由に揺れることができる機械装置です。 [ 1 ]振り子が静止した機械的平衡位置から横方向にずれると、重力による復元力が働き、平衡位置に向かって加速されます。解放されると、振り子の質量に作用する復元力によって、振り子は平衡位置を中心に振動し、前後に揺れます。1サイクル（左に揺れ、右に揺れる）にかかる時間、つまり周波数は、一般に「周期」として知られています。周期は、振り子の長さと、ある程度は振幅（振り子の揺れの幅）の両方に依存します。振り子の周期のSI単位は秒（s）です。
振り子の規則的な動きは、計時に適しています。振り子時計は、1656 年にクリスティアーン・ホイヘンスによって発明されました。これは、家庭やオフィスで 270 年間使用されて、世界の標準的な計時方法となりました。ショートシンクロノーム時計は、 1930 年代にクォーツ時計に時間の標準としての地位を奪われるまで、年間約 1 秒の精度を達成しました。 [ 2 ]振り子は、加速度計や地震計などの科学機器 にも使用されています。歴史的に、振り子は、地球物理学的調査で重力加速度を測定する重力計として、また長さの標準として使用されていました。振り子という言葉は、ラテン語のpendulusに由来する新ラテン語で、 「吊り下げられた」という意味です。[ 3 ]
単純重力振り子[ 4 ]は、振り子の理想化された数学モデルです。[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]これは、摩擦のない支点から吊り下げられた質量のない紐の端にある重り（またはおもり）です。最初に押すと、一定の振幅で前後に揺れます。実際の振り子は摩擦と空気抵抗の影響を受けるため、揺れの振幅は減少します。
単純な重力振り子の周期は、その長さ、局所的な重力の強さ、そして振り子が垂直から振れる最大角度θ 0 (振幅と呼ばれる)にわずかに依存します。[ 8 ]おもりの質量 には依存しません。振幅が小さな振り子に制限されている場合、[注 1 ]単純な振り子の 周期T (完全なサイクルにかかる時間) は次のようになります。[ 9 ]
どこは振り子の長さで、は局所的な重力加速度です。
小さな振り子の場合、振り子の周期は、振り子の大きさが異なってもほぼ同じです。つまり、周期は振幅に依存しません。この性質は等時性と呼ばれ、振り子が計時に非常に役立つ理由です。[ 10 ] 振り子の連続した振り子は、振幅が変化しても、同じ時間かかります。
振幅が大きい場合、周期は振幅とともに徐々に増加するため、式 (1) で与えられるよりも長くなります。たとえば、振幅θ 0 = 0.4 ラジアン (23°) では、(1) で与えられるよりも 1% 大きくなります。θ 0 がπラジアン (180°) に近づくと、周期は漸近的に (無限大に) 増加します。これは、 θ 0 = π の値が振り子の不安定な平衡点であるためです。理想的な単純な重力振り子の真の周期は、いくつかの異なる形式で記述できます (振り子 (力学)を参照)。たとえば、無限級数: [ 11 ] [ 12 ] どこ単位はラジアンです。
この真の周期と上記の小振幅周期（1）との差は、円形誤差と呼ばれます。振り子の振幅が6°（0.05ラジアン）である一般的な振り子時計の場合 、真の周期と小角度近似（1）との差は、1日あたり約15秒になります。
小さな揺れの場合、振り子は調和振動子に近似し、時間tの関数としてのその運動は、ほぼ単純な調和運動になります。[ 5 ] どこは初期条件に依存する定数です。
実際の振り子の場合、周期は空気の浮力や粘性抵抗、糸や棒の質量、おもりの大きさや形状、おもりが糸に取り付けられている方法、糸の柔軟性や伸びなどの要因によってわずかに変化します。[ 11 ] [ 13 ] 精密な用途では、周期を正確に得るために、これらの要因に対する補正を式(1)に適用する必要がある場合があります。
固定された水平軸を中心に自由に回転できる振り子状の剛体はすべて、複合振り子または物理振り子と呼ばれます。複合振り子は、長さの単純な重力振り子と同じ周期を持ちます。等価長さまたは振動半径と呼ばれるものは、支点から振動中心と呼ばれる点までの距離に等しい。[ 16 ]この点は振り子の重心の真下に位置し、その距離は振り子の質量分布によって決まる。質量の大部分が振り子の長さに比べて比較的小さなおもりに集中している場合、振動中心は重心に近い。[ 17 ]
振動半径または等価長さあらゆる物理振り子の
どこは、支点を中心とした振り子の慣性モーメントです。、は振り子の総質量であり、は支点と重心間の距離である。この式を上記の(1)に代入すると、周期は複合振り子の値は次のように表される。 十分に小さな振動の場合。[ 18 ]
例えば、長さが均一な剛体棒片方の端を支点として回転すると、慣性モーメントを持つ重心は棒の中心に位置しているため、これらの値を上記の式に代入すると、これは、剛体棒振り子の周期が、その長さの3分の2の単純振り子の周期と同じであることを示している。
クリスティアーン・ホイヘンスは1673年に、支点と振動中心が交換可能であることを証明しました。[ 19 ] これは、振り子を逆さまにして、以前の振動中心にある支点から振ると、以前と同じ周期を持ち、新しい振動中心は古い支点になることを意味します。1817年、ヘンリー・ケイターはこの考えを利用して、重力による加速度の測定精度を向上させるために、現在ケイター振り子として知られる可逆振り子の一種を製作しました。
物理学と数学の力学系の分野では、二重振り子（カオス振り子とも呼ばれる）は、振り子の端に別の振り子が取り付けられた単純な物理システムであり、初期条件に強い感度を持つ豊富な動的挙動を示します。[ 20 ]二重振り子の運動は、一連の連立常微分方程式によって支配され、カオス的です。
振り子の最も初期の用途の一つとして知られているのは、1世紀の漢王朝の中国の科学者、張衡による地震計である。[ 21 ]その機能は、遠くの地震の揺れによって揺らぎ、一連のレバーの1つを作動させることであった。 [ 22 ] レバーによって解放された小さな球は、壺型の装置から落ち、下にある8つの金属製のヒキガエルの口の1つに入り、東西南北の8つの方位を示し、地震の方向を示した。[ 22 ]
多くの資料[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]は、10世紀のエジプトの天文学者イブン・ユヌスが時間測定に振り子を使用したと主張しているが、これは1684年にイギリスの歴史家エドワード・バーナードによって生じた誤りである。[ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ]
ルネサンス期には、大きな手動ポンプ式の振り子が、のこぎり、ふいご、ポンプなどの手動往復運動機械の動力源として使用されました。[ 31 ]
イタリアの科学者ガリレオ・ガリレイは、1602 年頃から振り子の性質を研究し始めた最初の人物です。[ 32 ]ガリレオが振り子に関心を示した最初の記録は、1588 年頃、死後に出版された「運動について」というタイトルのノートにあります。[ 33 ] [ 34 ]このノートの中で、彼は重い物体は軽い物体よりも長い時間振動し続けると述べています。彼の実験的研究に関する現存する最古の報告は、1602 年 11 月 29 日付けでパドヴァからグイド・ウバルド・ダル・モンテに宛てた手紙に含まれています。[ 35 ]彼の伝記作家であり弟子でもあるヴィンチェンツォ・ヴィヴィアーニは、1582 年頃、ピサ大聖堂のシャンデリアの揺れる動きが彼の興味を掻き立てたと主張しています。[ 36 ] [ 37 ]ガリレオは、振り子を計時器として有用なものにする重要な性質である等時性を発見しました。ガリレオは、振り子の周期は振幅や揺れ幅にほぼ依存しないことを発見した。[ 38 ]また、周期は振り子のおもりの質量に依存せず、振り子の長さの平方根に比例することも発見した。ガリレオは、自由振動する振り子を単純な計時用途に初めて使用した。1602年、サントリオ・サントリは、患者の脈拍を振り子の長さで測定する装置、すなわちパルスロギウムを発明した。[ 39 ] 1641年、ガリレオは息子のヴィンチェンツォに、振り子を揺らし続ける機構の設計を口述した。これは最初の振り子時計として知られている。[ 38 ]ヴィンチェンツォは製作を開始したが、1649年に亡くなるまで完成させることはできなかった。[ 40 ]
1656年、オランダの科学者クリスティアーン・ホイヘンスが最初の振り子時計を製作した。[ 41 ] これは既存の機械式時計に比べて大きな進歩であり、その最高の精度は1日あたり約15分の誤差から約15秒の誤差に改善された。[ 42 ]振り子は既存の時計に後付けされる ことでヨーロッパ中に広まった。[ 43 ]
イギリスの科学者ロバート・フックは、1666年頃に円錐振り子を研究しました。これは、振り子が2次元で自由に揺れ、おもりが円または楕円を描いて回転するものです。[ 44 ] 彼はこの装置の動きをモデルとして惑星の軌道運動を分析しました。[ 45 ]フックは1679年にアイザック・ニュートンに、軌道運動の成分は接線方向の慣性運動と半径方向の引力運動から成ると提案しました。これはニュートンの万有引力の法則の定式化に一役買いました。[ 46 ] [ 47 ]ロバート・フックはまた、1666年という早い時期に、振り子を使って重力の力を測定できると提案した人物でもあります。[ 44 ]
1671年にフランス領ギアナのカイエンヌへの探検中に、ジャン・リシェは、振り子時計がパリよりもカイエンヌでは1日あたり2分半遅れていることを発見した。このことから、彼はカイエンヌでは重力が弱いと推論した。[ 48 ] [ 49 ] 1687年、アイザック・ニュートンは『プリンキピア・マテマティカ』で、これは地球が真の球体ではなく、自転による遠心力の影響でわずかに扁平（極が平ら）になっているためであり、重力は緯度とともに増加するためであることを示した。[ 50 ]携帯用振り子は、地球上のさまざまな地点での重力加速度を測定する精密重力計 として、遠方の地への航海に持ち込まれるようになり、最終的には地球の形状の正確なモデルにつながった。[ 51 ]
1673年、振り子時計を発明してから17年後、クリスティアーン・ホイヘンスは振り子の理論『Horologium Oscillatorium sive de motu pendulorum』を出版した。[ 52 ] [ 53 ]マリン・メルセンヌとルネ・デカルトは1636年頃、振り子は完全な等時性ではなく、周期が振幅とともにやや長くなることを発見していた。[ 54 ] ホイヘンスはこの問題を、出発点に関係なく、重力によって同じ時間間隔で同じ地点に落下する物体がたどらなければならない曲線、いわゆる等時曲線を決定することによって分析した。微積分学の初期の使用例である複雑な方法により、彼はこの曲線が振り子の円弧ではなくサイクロイドであることを示し、[ 55 ]振り子は等時性ではなく、ガリレオの等時性の観察は小さな揺れに対してのみ正確であることを確認した。[ 56 ]ホイヘンスはまた、任意の形状の振り子（複合振り子と呼ばれる） の周期を計算する方法という問題も解決し、振動中心と支点との互換性を発見した。[ 57 ]
既存の時計機構である脱進機では、振り子が約 100° という非常に広い弧を描いて揺れていた。[ 58 ]ホイヘンスは、これが不正確さの原因であり、時計の駆動力の避けられない小さな変動によって生じる振幅の変化によって周期が変動することを示した。[ 59 ] 周期を等時性にするために、ホイヘンスは時計の支点の横にサイクロイド形状の金属製ガイドを取り付け、吊り下げ紐を拘束して振り子がサイクロイド弧をたどるように強制した（サイクロイド振り子を参照）。[ 60 ]この解決策は、振り子の揺れを数度の小さな角度に制限するほど実用的ではなかった。小さな揺れだけが等時性に なるという認識が、 1670 年頃のアンカー脱進機 の開発を促し、時計の振り子の揺れを 4°～6° に縮小した。[ 58 ] [ 61 ]これは振り子時計で使用される標準的な脱進機となった。
18 世紀から 19 世紀にかけて、振り子時計は最も正確な計時装置としての役割を果たし、振り子の改良に関する多くの実用的な研究を促しました。主な誤差の原因は、振り子の棒が周囲温度の変化によって膨張・収縮し、揺れの周期が変わることであることがわかりました。[ 8 ] [ 62 ]これは、温度補償振り子、1721 年の水銀振り子[ 63 ]および1726 年の格子振り子 の発明によって解決され、精密振り子時計の誤差は 1 週間あたり数秒にまで減少しました。[ 60 ]
振り子を用いた重力測定の精度は、その振動中心の位置を見つけるのが難しいことによって制限されていた。ホイヘンスは1673年に、振り子は振動中心から吊るした場合と支点から吊るした場合で周期が同じであることを発見し[ 19 ]、2点間の距離は同じ周期の単純な重力振り子の長さに等しいことを発見した[ 16 ] 。 1818年、イギリスのヘンリー・ケイター大尉はこの原理を利用した可逆ケイター振り子[ 64 ]を発明し、重力の非常に正確な測定を可能にした。次の世紀には、可逆振り子は絶対重力加速度を測定する標準的な方法であった。
1851年、ジャン・ベルナール・レオン・フーコーは、振り子の振動面はジャイロスコープのように支点の動きに関係なく一定に保たれる傾向があり、これを利用して 地球の自転を実証できることを示した。彼はパリのパンテオンのドームから、 2次元で自由に揺れる振り子（後にフーコー振り子と呼ばれる）を吊り下げた。紐の長さは67メートル（220フィート）だった。振り子が動き出すと、振動面は約32時間で時計回りに360°回転することが観察された。 [ 65 ]これ は天体観測に依存しない地球の自転の最初の実証であり、[ 66 ]多くの都市でフーコー振り子が展示され、大勢の人々が集まったため、「振り子マニア」が起こった。[ 67 ] [ 68 ]
1900 年頃、最高精度の時計やその他の計器の振り子棒に低熱膨張材料が使用されるようになり、最初はニッケル鋼合金のインバー、後に溶融石英が使用され、温度補償が容易になった。[ 69 ]精密振り子は低圧タンクに収容され、気圧の変化による振り子の浮力 の変化による周期の変化を防ぐために空気圧が一定に保たれた。[ 69 ] 最高の振り子時計は、年間約 1 秒の精度を達成した。[ 70 ] [ 71 ]
振り子の計時精度は、1921年に発明された水晶発振器によって凌駕され、1927年に発明された水晶時計が振り子時計に代わって世界最高の計時装置となった。[ 2 ] 振り子時計は第二次世界大戦まで時間基準として使用されていたが、フランス時間局は1954年まで公式の時間基準装置として使い続けた。[ 72 ] 振り子重力計は1950年代に「自由落下」重力計に取って代わられたが、[ 73 ]振り子計器は1970年代まで使用され続けた。
1582年頃の発見から1930年代のクォーツ時計の開発までの300年間、振り子は正確な時刻計測の世界標準でした。[ 2 ] [ 74 ] 時計の振り子に加えて、自由振動する秒振り子は17世紀と18世紀の科学実験で精密タイマーとして広く使用されました。振り子には高い機械的安定性が必要であり、振り子時計の振り子で長さがわずか0.02%（0.2mm）変化すると 、1週間に1分の誤差が生じます。[ 75 ]
時計の振り子（右の例を参照）は通常、 木または金属の棒（a）で吊り下げられた重りまたはおもり（b）でできています。[ 8 ] [ 76 ]空気抵抗（精密時計のエネルギー損失の大部分を占める）を 減らすため[ 77 ]、 おもりは伝統的にレンズ状の断面を持つ滑らかな円盤ですが、アンティーク時計では時計の種類に特有の彫刻や装飾が施されていることがよくありました。高品質の時計では、時計の調整（下記の精度を参照）を改善するため、おもりはサスペンションが支え、ムーブメントが駆動できる重さで作られています。秒振り子のおもりの一般的な重さは15ポンド（6.8kg ）です。[ 78 ]時計の振り子は、支点 から吊り下げられる代わりに、通常は柔軟な金属リボンの短いまっすぐなバネ（d）で支えられています。これにより、支点によって生じる摩擦や「遊び」が回避され、バネのわずかな曲げ力は振り子の復元力に加わるだけです。最高精度の時計は、瑪瑙板の上に置かれた「ナイフ」の刃の支点を持っています。振り子を揺らし続けるための推進力は、振り子の後ろに吊り下げられた「杖」（e）と呼ばれるアームによって供給され、その先端はフォーク（f）になっており、その先端が振り子の棒を包み込みます。杖は時計の脱進機（g、h）によって前後に押されます。
振り子が中央位置を通過するたびに、脱進機（g）の歯が1つずつ外れます。時計の主ゼンマイ、または滑車から吊り下げられた駆動重りの力が、時計の歯車列を通して伝達され、脱進機が回転します。すると、歯がパレット（h）の1つに押し付けられ、振り子に短い推進力が加わります。脱進機に連動する時計の歯車は、振り子が振れるたびに一定量ずつ前進し、時計の針を一定の速度で進めます。
振り子には必ず周期を調整する手段があり、通常は振り子の下にある調整ナット（c）で振り子をロッド上で上下に動かします。 [ 8 ] [ 79 ] 振り子を上に動かすと振り子の長さが短くなり、振り子の揺れが速くなり、時計が進みます。精密時計の中には、より細かい調整ができるように、振り子のねじ付きシャフトに小さな補助調整ウェイトが付いているものもあります。塔時計や精密時計の中には、振り子ロッドの中間点近くにトレイが取り付けられており、そこに小さなウェイトを追加または取り外すことができるものがあります。これにより、振動の中心が効果的に移動し、時計を止めずに速度を調整できます。[ 80 ] [ 81 ]
振り子は、しっかりとした支持具から吊り下げなければなりません。[ 8 ] [ 82 ] 動作中、支持具にわずかな弾力性があると、目に見えないほどの小さな揺れが生じ、時計の周期が乱れて誤差が生じます。振り子時計は、頑丈な壁にしっかりと固定する必要があります。
高品質の時計で最も一般的な振り子の長さは、常にグランドファーザー時計で使用される秒振り子で、長さは約1 メートル (39 インチ)です。マントルクロックでは、長さ25 cm (9.8インチ)またはそれより短い半秒振り子が使用されます。より長い振り子、長さ2.25 m (7.4フィート)の 1.5 秒振り子、またはまれにビッグベンで使用されている4 m (13フィート) [ 8 ] [ 83 ]の 2 秒振り子を使用する大型の塔時計はごくわずかです。[ 84 ]
初期の振り子の最大の誤差の原因は、周囲温度の変化に伴う振り子棒の熱膨張と収縮による長さのわずかな変化でした。[ 85 ] これは、振り子時計が夏に週に最大1分遅く進むことに人々が気づいたときに発見されました[ 62 ] [ 86 ]（最初の1人はゴドフロワ・ウェンデリンで、1658年にホイヘンスによって報告されています）。[ 87 ] 振り子棒の熱膨張は、1669年にジャン・ピカールによって初めて研究されました。 [ 88 ] [ 89 ]鋼鉄製の棒を持つ振り子は、摂氏1度上昇するごとに約11.3ppm膨張し、摂氏1度上昇するごとに1日あたり約0.27秒、または33 ℃（59 °F）の変化で1日あたり9秒の遅れが生じます。木製の振り子棒は膨張が少なく、 33 ℃（59 °F）の温度変化で1日に約6秒しか遅れないため、高級時計には木製の振り子棒がよく使われていました。湿度変化も振り子の長さに影響するため、水蒸気が内部に入り込まないように木材にはニスを塗る必要がありました。
この誤差を補正する最初の装置は、1721 年にジョージ・グラハム[ 63 ]が発明した水銀振り子でした。 [ 8 ] [ 86 ] 液体金属の水銀は温度とともに体積が膨張します。水銀振り子では、振り子の重り (おもり) は水銀の容器です。温度が上昇すると、振り子の棒は長くなりますが、水銀も膨張し、容器内の水銀面がわずかに上昇するため、重心が振り子の支点に近づきます。容器内の水銀の高さを正しくすることで、これら 2 つの効果が相殺され、振り子の重心と周期は温度によって変化しなくなります。主な欠点は、温度が変化すると、棒はすぐに新しい温度に達しますが、水銀の質量が新しい温度に達するまでに 1 日か 2 日かかる場合があり、その間に速度がずれることです。[ 90 ] 熱的適合性を向上させるために、金属製の薄い容器がしばしば複数使用された。水銀振り子は、20世紀まで精密レギュレーター時計で標準的に使用されていた。[ 91 ]
最も広く使われている補償振り子は、1726 年にジョン・ハリソンによって発明されたグリッドアイアン振り子です。[ 8 ] [ 86 ] [ 90 ]これは、熱膨張率 ( CTE ) が低い鋼鉄と、熱膨張率が高い亜鉛または真鍮の 2 種類の金属の棒を交互に並べたものです。棒は右の図に示すようにフレームで接続されており、亜鉛棒の長さが増加するとおもりが押し上げられ、振り子が短くなります。温度が上昇すると、熱膨張率の低い鋼鉄棒が振り子を長くし、熱膨張率の高い亜鉛棒が振り子を短くします。棒を適切な長さにすることで、亜鉛の膨張率が高いことで、合計の長さが長くなる鋼鉄棒の膨張が相殺され、振り子は温度変化に関わらず同じ長さを保ちます。
亜鉛鋼製のグリッドアイアン振り子は5本の棒で作られますが、真鍮の熱膨張は鋼鉄に近いので、真鍮鋼製のグリッドアイアン振り子は通常9本の棒が必要です。グリッドアイアン振り子は水銀振り子よりも温度変化に早く適応しますが、フレームの穴の中で棒が滑る摩擦によってグリッドアイアン振り子が一連の小さなジャンプで適応することを発見しました。[ 90 ]高精度時計では、このためジャンプごとに時計の速度が急激に変化しました。後に亜鉛はクリープを起こしやすいことが分かりました。これらの理由から、水銀振り子は最高精度の時計に使用され、グリッドアイアンは品質調整時計に使用されました。
格子状の振り子は高品質の象徴として広く認識されるようになったため、今日でも多くの一般的な時計の振り子には、実際には温度補正機能を持たない装飾的な「偽の」格子状の格子が用いられている。
1900年頃、複雑な温度補償を不要にするために振り子棒として使用できる低熱膨張材料が開発されました。[ 8 ] [ 86 ]これらは、振り子が時間基準として時代遅れになる前に、ごく少数の最高精度時計にのみ使用されました。1896年、シャルル・エドゥアール・ギヨームはニッケル鋼合金インバーを発明しました。これは約0.9 ppm /°C (0.5 ppm/°F ) となり、 22 °C (71 °F)を超える振り子の温度誤差は1 日あたりわずか 1.3秒となり、この残差誤差は振り子のおもりの下に数センチメートルのアルミニウムを挟むことでゼロに補正できます[ 2 ] [ 90 ] (これは上記のリーフラー時計の画像で確認できます)。インバー振り子は 1898 年にリーフラーレギュレータ時計[ 92 ]で初めて使用され、1 日あたり 15 ミリ秒の精度を達成しました。エリンバー製のサスペンションスプリングを使用して、振り子に対するスプリングの復元力の温度変動を排除しました。後に、さらに CTE が低い溶融石英が使用されました。これらの材料は、現代の高精度振り子の選択肢となっています。[ 93 ]
周囲の空気が動いている振り子に及ぼす影響は複雑で、正確に計算するには流体力学が必要ですが、ほとんどの場合、周期への影響は 3 つの効果で説明できます。[ 69 ] [ 94 ]
気圧の上昇は、最初の 2 つの効果により振り子の周期をわずかに増加させ、1 キロパスカルあたり 1 日あたり約 0.11 秒 (水銀柱インチあたり1日あたり 0.37秒、トルあたり 1 日あたり 0.015 秒)増加します。[ 69 ]重力加速度を測定するために振り子を使用する研究者は、測定高度の気圧に合わせて周期を補正し、真空中で振子が振れる場合の等価周期を計算する必要がありました。振り子時計は、1865 年にベルリン天文台でフリードリヒ・ティーデによって初めて定圧タンク内で動作しました。[ 95 ] [ 96 ] 1900年までに、最高精度の時計は、大気圧の変化を排除するために一定圧力に保たれたタンク内に設置されました。あるいは、一部の振り子では、この効果を補償するために、小さなアネロイド気圧計機構が振り子に取り付けられていました。
振り子は重力加速度の変化の影響を受けやすく、地球上の場所によって最大0.5%も変動するため、精密な振り子時計は移動後に再調整が必要です。振り子時計を高層ビルの屋上に移動させるだけでも、重力の減少によって測定可能な時間のずれが生じる可能性があります。
振り子、テンプ、クォーツ時計で使用される水晶振動子、さらには原子時計の振動する原子など、すべての時計の計時要素は、物理学では調和振動子と呼ばれます。時計に調和振動子が使用される理由は、特定の共振周波数または周期で振動し、他の速度での振動に抵抗するからです。ただし、共振周波数は無限に「鋭い」わけではありません。共振周波数の周りには、共振幅または帯域幅と呼ばれる狭い周波数（または周期）の自然な帯域があり、その中で調和振動子は振動します。[ 97 ] [ 98 ] 時計では、外乱に応じて、この共振幅内で振り子の実際の周波数がランダムに変化する可能性がありますが、この帯域外の周波数では、時計は全く機能しません。共振幅は、振り子の1回の振動あたりの摩擦エネルギー損失である減衰によって決まります。
調和振動子の振動周期に対する外乱への耐性の尺度は、共振周波数を共振幅で割った値に等しい無次元パラメータであるQ係数である。[ 98 ] [ 99 ] Q 値が高いほど共振幅は小さくなり、特定の外乱に対する振動子の周波数または周期はより一定になる。[ 100 ] Q値の逆数は、調和振動子を時間標準として用いることで達成できる限界精度にほぼ比例する。[ 101 ]
Q値は、振動子の振動が消滅するまでにかかる時間に関係しています。振り子のQ値は、振り子の振幅が初期振幅の1/ e = 36.8%まで減衰するのにかかる振動数を数え、πを掛けることで測定できます。
時計では、振り子が揺れ続けるためには、時計のムーブメントから押しを受ける必要があります。これは、振り子が摩擦によって失うエネルギーを補うためです。脱進機と呼ばれる機構によって加えられるこれらの押しは、振り子の運動に対する主な擾乱源です。Qは、振り子に蓄えられたエネルギーの2π倍を、各振動周期中に摩擦によって失われるエネルギーで割った値に等しく、これは脱進機によって各周期に加えられるエネルギーと同じです。振り子のエネルギーのうち摩擦によって失われる割合が小さいほど、加えるエネルギーが少なくなり、脱進機による擾乱も少なくなり、振り子は時計の機構からより「独立」し、周期もより一定になることがわかります。振り子の Qは次のように表されます。 ここで、Mは振り子の質量、 ω = 2 π / Tは振り子の振動のラジアン周波数、Γは単位速度あたりの振り子にかかる摩擦減衰力である。
ωは振り子の周期によって決まり、Mはサスペンションの耐荷重と剛性によって制限されます。したがって、時計の振り子のQ は摩擦損失 (Γ) を最小限に抑えることで増加します。精密振り子は、瑪瑙板の上に置かれた三角形の「ナイフ」エッジで構成される低摩擦ピボットに吊り下げられています。自由振動する振り子のエネルギー損失の約 99% は空気摩擦によるものであるため、振り子を真空タンクに取り付けるとQが 100 倍になり、精度も向上します。[ 102 ]
振り子のQ値は、通常の時計では数千から、真空中で揺れる精密レギュレータ振り子では数十万まであります。[ 103 ] 高品質の家庭用振り子時計は、Q 値が 10,000 で、月精度が 10 秒である場合があります。市販されている振り子時計の中で最も精度が高いのは、1921 年に発明されたShortt-Synchronome フリー振り子時計です。 [ 2 ] [ 70 ] [ 104 ] [ 105 ] [ 106 ]真空タンク内で揺れる そのInvarマスター振り子のQ 値は110,000 [ 103 ]で、誤差率は年間約 1 秒でした。[ 70 ]
振り子のQ値が10 3～ 10 5である ことは、振り子が時計のテンプ（ Q値は約100～300）よりも正確な計時装置である理由の1つですが、クォーツ時計の水晶振動子（ Q値は10 5～ 10 6）よりは精度が劣ります。[ 2 ] [ 103 ]
振り子は（例えば水晶とは異なり）Q値が低いため、振り子を動かし続けるためのインパルスによって生じる擾乱が、一般的にその計時精度を制限する要因となります。したがって、これらのインパルスを与える機構である脱進機の設計は、時計の振り子の精度に大きな影響を与えます。脱進機が振り子に与えるインパルスが毎回完全に同一であれば、振り子の応答は同一になり、周期は一定になります。しかし、これは実現不可能です。時計のアンクルの摩擦、潤滑油のばらつき、時計の動力源が停止するにつれて発生するトルクの変化などによる力の避けられないランダムな変動により、脱進機によって加えられるインパルスの力は変化します。
脱進機の力の変動が振り子の振幅（振り幅）の変化を引き起こすと、周期にもわずかな変化が生じます。これは、（冒頭で述べたように）有限の振り幅を持つ振り子は厳密には等時性ではないためです。したがって、従来の脱進機設計の目標は、適切なプロファイルで、かつ振り子の周期の正しいタイミングで力を加えることで、力の変動が振り子の振幅に影響を与えないようにすることです。これを等時性脱進機と呼びます。
時計職人は、振り子が最下点の平衡位置を通過する際に短いインパルスとして与えられる場合、脱進機の駆動力が振り子の周期に及ぼす影響が最小になることを何世紀にもわたって知っていました。[ 2 ] インパルスが振り子が最下点に達する前に下降中に発生すると、振り子の固有周期を短くする効果があるため、駆動力が増加すると周期は短くなります。インパルスが振り子が最下点に達した後に上昇中に発生すると、周期が長くなるため、駆動力が増加すると振り子の周期は長くなります。1826年にイギリスの天文学者ジョージ・エアリーがこれを証明しました。具体的には、振り子が最下点の平衡位置に関して対称なインパルスによって駆動される場合、振り子の周期は駆動力の変化の影響を受けないことを証明しました。[ 107 ]デッドビート などの最も正確な脱進機は、この条件をほぼ満たしています。[ 108 ]
振り子の周期方程式(1)に重力加速度gが含まれているということは、振り子の周期から地球の局所的な重力加速度を計算できることを意味します。したがって、振り子は重力計として、地球表面全体で0.5%以上変化する局所的な重力を測定するために使用できます。 [ 109 ] [注2 ]時計の振り子は時計のムーブメントから受ける力によって乱されるため、自由振動振り子が使用され、 1930年代までは重力測定の標準的な機器でした。
時計の振り子と重力計の振り子の違いは、重力を測定するには、振り子の長さと周期の両方を測定する必要がある点です。自由に揺れる振り子の周期は、頭上の星の通過によって正確な時間を刻むように調整された精密時計との揺れを比較することで、非常に高い精度で求めることができました。初期の測定では、時計の振り子の前に紐で重りを吊るし、2つの振り子が完全に同期して揺れるまで紐の長さを調整しました。次に、紐の長さを測定しました。長さと周期から、式(1)を用いてgを計算することができました。
秒振り子は、周期が2秒で、1回の振り子の揺れに1秒かかる振り子で、その周期は秒振り子を備えた精密なレギュレーター時計と比較することで容易に測定できたため、重力の測定に広く用いられました。17世紀後半には、秒振り子の長さが、ある場所における重力加速度の強さを測る標準的な尺度となりました。1700年までに、ヨーロッパのいくつかの都市で、秒振り子の長さがミリメートル以下の精度で測定されました。秒振り子の場合、重力加速度gは、その長さに比例します。
上記の初期の重力測定の精度は、振り子の長さLを測定することの難しさによって制限されていました。Lは、すべての質量が紐の端の 1 点に集中している理想化された単純重力振り子 (上部で説明) の長さでした。1673 年にホイヘンスは、剛体棒振り子 (複合振り子と呼ばれる) の周期は、支点と、振り子に沿った質量分布に依存する重心の下に位置する振動中心と呼ばれる点との間の距離に等しい長さの単純振り子の周期に等しいことを示しました。しかし、実際の振り子の振動中心を正確に決定する方法はありませんでした。ホイヘンスの発見は、ホイヘンスの (サイクロイド) 振り子の法則と呼ばれることもあります。[ 116 ]
この問題を解決するため、前述の初期の研究者たちは、軽いワイヤーや紐で吊るした金属球を用いることで、理想的な単振り子をできる限り忠実に再現しようと試みました。ワイヤーが十分に軽ければ、振動の中心は球の重心、つまり幾何学的中心に近くなりました。しかし、この「球とワイヤー」型の振り子は、剛体のように揺れるわけではなく、ワイヤーの弾性によって振り子が揺れる際に長さがわずかに変化するため、精度はあまり高くありませんでした。
しかし、ホイヘンスは、振り子の支点と振動中心は交換可能であることも証明した。[ 19 ] つまり、振り子を逆さまにして振動中心から吊るすと、以前の位置と同じ周期を持ち、古い支点が新しい振動中心になるということである。
1817年、イギリスの物理学者で陸軍大尉のヘンリー・ケイターは、ホイヘンスの原理を用いて、実際の振り子と同じ周期を持つ単振り子の長さを求めることができることに気づいた。 [ 64 ] 振り子を底部近くに調整可能な第2の支点を設けて逆さまに吊るし、両方の支点から吊るしたときの周期が同じになるまで第2の支点を調整すると、第2の支点が振動の中心となり、2つの支点間の距離が同じ周期を持つ単振り子の長さLとなる。
ケーターは、両端近くに短い三角形の「ナイフ」状の刃（a）でできた2つの対向する支点を持つ真鍮製の棒からなる可逆振り子（図を参照）を製作した。ナイフ状の刃は瑪瑙の板で支えられており、どちらの支点からも振り子を振ることができた。彼は支点を1つだけ調整可能にするのではなく、支点を1メートル離して取り付け、振り子棒（b、c）に取り付けた可動式の重りで周期を調整した。動作時には、振り子を精密時計の前に吊るし、周期を計測した後、振り子を上下逆さまにして再び周期を計測する。周期が等しくなるまで調整ネジで重りを調整する。そして、この周期と支点間の距離を式（1）に代入すると、重力加速度gが非常に正確に求められる。
ケーターは「一致法」を用いて振り子の揺れを計測し、マイクロメーターで2つの支点間の距離を測定した。振り子の有限振幅、おもりの浮力、気圧と高度、温度に対する補正を適用した後、 ロンドン、真空、海面、華氏62 度で秒振り子の値を39.13929インチと得た。12回の観測の平均値からの最大変動は0.00028インチであった[ 117 ] 。これは重力測定の精度が7×10⁻⁶ （ 7ミリガルまたは70μm/s² ）であることを示している。ケーターの測定値は、 1824年から1855年までイギリスの公式長さの標準として使用された（下記参照）。
ケーターの原理を利用した可逆振り子（専門的には「変換可能」振り子と呼ばれる）は、1930年代まで絶対重力測定に用いられていた。
ケーターの振り子によって精度が向上したことで、重力測定は測地学の標準的な手法となった。重力測定が行われた「観測点」の正確な位置（緯度と経度）が必要となったため、重力測定は測量の一部となり、18世紀の大規模な測地測量、特にインドの大三角測量では振り子が用いられた。
相対振り子重力計は、1934 年にLucien LaCosteによって発明された、より単純な LaCoste ゼロ長ばね重力計に取って代わられた。[ 123 ]絶対（可逆）振り子重力計は、1950 年代に自由落下重力計に置き換えられた。自由落下重力計では、重りを真空タンク内で落下させ、その加速度を光学干渉計 で測定する。[ 73 ]
地球上の特定の地点では重力加速度が一定であるため、ある場所における単振り子の周期は振り子の長さにのみ依存します。さらに、重力は場所によってわずかにしか変化しません。振り子が発見されてから19世紀初頭まで、この性質から科学者たちは、一定の周期を持つ振り子を長さの基準として用いることを提案しました。
19 世紀まで、各国は長さの測定システムをプロトタイプ、つまり金属棒の一次標準に基づいていました。例えば、イギリスでは国会議事堂に保管されている標準ヤード、フランスではパリに保管されている標準トワーズなどです。これらは長年の間に損傷や破壊を受けやすく、プロトタイプを比較するのが難しいため、同じ単位でも遠く離れた町では長さが異なることが多く、不正行為の機会を生み出していました。[ 128 ]啓蒙 時代には、科学者たちは測定によって決定できる自然の性質に基づいた長さの標準を主張し、破壊不可能な普遍的な標準を作り出しました。振り子の周期は、星によって設定された時計で時間を計ることで非常に正確に測定できました。振り子標準は、長さの単位を地球の重力によって定義し、これは事実上一定であり、秒は地球の自転速度によって定義され、これも一定であることを意味します。そのアイデアは、地球上のどこにいても、誰でも定められた周期で揺れる振り子を作り、その長さを測定することで、標準を再現できるというものだった。
提案されたほとんどすべてのものは秒振り子に基づいていた。秒振り子では、1回の振り子運動（半周期）に1秒かかり、その 長さは約1メートル（39インチ）である。これは、17世紀後半までに秒振り子が重力測定の標準となっていたためである（前のセクションを参照）。18世紀までには、ヨーロッパや世界中の多くの都市で、秒振り子の長さがミリメートル以下の精度で測定されていた。
振り子の長さの標準が当初魅力的だったのは、（ホイヘンスやレンなどの初期の科学者によって）地球の表面では重力が一定であると信じられていたため、振り子の周期は地球上のどの地点でも同じだったからである。[ 128 ] そのため、標準振り子の長さはどの場所でも測定でき、特定の国や地域に縛られることなく、真に民主的な世界標準となるはずだった。1672年にリッヒャーが地球上のさまざまな地点で重力が変化することを発見したが、重力は緯度によってのみ変化することがわかったため、振り子の長さの標準という考え方は依然として人気があった。地球が扁平な形状をしているため、重力加速度は赤道から極に向かって滑らかに増加するので、任意の緯度（東西線）では、18世紀の測定能力の範囲内で秒振り子の長さが同じになるほど重力は一定だった。したがって、長さの単位は特定の緯度で定義され、その緯度に沿った任意の地点で測定することができた。例えば、よく用いられる北緯45度を基準点とする振り子標準は、フランス、イタリア、クロアチア、セルビア、ルーマニア、ロシア、カザフスタン、中国、モンゴル、アメリカ合衆国、カナダの一部地域で測定することができる。さらに、重力加速度が正確に測定された場所であれば、どこでも再現可能である。
19世紀半ばまでに、エドワード・サビンとトーマス・ヤングによる振り子の測定精度が向上し、重力、ひいては振り子の標準の長さが、山や地中の岩盤などの局所的な地質学的特徴によって測定可能なほど変化することが明らかになった。[ 129 ] そのため、振り子の長さの標準は地球上の1点で定義されなければならず、そこでしか測定できなかった。このため、振り子の標準という概念の魅力は大きく損なわれ、振り子の標準を採用しようとする試みは放棄された。
振り子で長さを定義することを最初に提案した人物の一人は、フランドルの科学者アイザック・ベークマン[ 130 ]で、 1631年に秒振り子を「あらゆる場所、あらゆる時間、あらゆる人々のための不変の尺度」にすることを推奨した[ 131 ] 。1644年に初めて秒振り子を測定したマリン・メルセンヌもそれを提案した。振り子の標準に関する最初の公式な提案は、1660年に英国王立協会によって行われ、クリスティアーン・ホイヘンスとオーレ・レーマーがメルセンヌの研究に基づいて提唱し[ 132 ] 、ホイヘンスは『Horologium Oscillatorium』で秒振り子の1/3として定義される「ホラリー・フット」を提案した。 クリストファー・レンも初期の支持者の一人だった。振り子の長さの基準という考え方は、1663年頃には人々に知られていたに違いない。なぜなら、サミュエル・バトラーが『ヒューディブラス』でそれを風刺しているからである。[ 133 ]
1671年、ジャン・ピカールは影響力のある著書『地球の測定』の中で、振り子で定義される「普遍フィート」を提案した。[ 134 ] 1670年頃、ガブリエル・ムートンは、トワーズを秒振り子または地球度分で定義することを提案した。振り子に基づく完全な単位系の計画は、1675年にイタリアの博学者ティト・リヴィオ・ブラティーニによって提唱された。1747年、フランスの地理学者シャルル・マリー・ド・ラ・コンダミーヌは、赤道で振り子の揺れが地球の自転によって歪められないため、赤道で秒振り子によって長さを定義することを提案した。ジェームズ・スチュアート（1780年）とジョージ・スキーン・キースも支持者であった。
18 世紀末、多くの国が度量衡制度を改革していた頃、秒振り子は長さの新しい定義として有力な選択肢となり、いくつかの主要国の著名な科学者によって提唱された。1790 年、当時の米国国務長官トーマス・ジェファーソンは、米国の平均緯度である北緯 38 度での秒振り子に基づく包括的な十進法の米国の「メートル法」を議会に提案した。[ 135 ] この提案は実行されなかった。英国では、振り子の主要な提唱者は政治家のジョン・リッグス・ミラーであった。[ 136 ] 1790 年に英国・フランス・米国共同のメートル法を推進する彼の努力が失敗に終わると、彼はロンドンでの秒振り子の長さに基づく英国のシステムを提案した。この基準は 1824 年に採用された (下記)。
1791年にフランスがメートル法を採用するまでの議論において、新しい長さの単位であるメートルの定義の有力候補は、北緯45度の秒振り子でした。これは、フランスの政治家タレーランと数学者アントワーヌ・ニコラ・カリタ・ド・コンドルセが率いるグループによって提唱されました。これは、フランス科学アカデミー委員会が検討した3つの最終選択肢の1つでした。しかし、1791年3月19日、委員会は代わりにパリを通る子午線の長さをメートルの基準とすることを選択しました。振り子による定義は、場所によって変動すること、そして長さを時間の単位で定義することから却下されました。（ただし、1983年以降、メートルは秒の長さと光速に基づいて公式に定義されています。）考えられるもう一つの理由は、急進的なフランス科学アカデミーが、アンシャン・レジームの伝統的な非十進単位である秒を新しいシステムの基準としたくなかったことです。
振り子によって定義されたわけではないが、メートルに最終的に採用された長さ、すなわち極から赤道までの経線弧の10⁻⁷は、秒振り子の長さ（0.9937m）と0.63%以内の誤差で非常に近い値であった。当時、この特定の選択の理由は明らかにされなかったが、公式文書で提案されたように、秒振り子を二次的な標準として使用することを容易にするためであったと考えられる。したがって、現代世界の長さの標準単位は、歴史的に秒振り子と密接に結びついていることは間違いない。
イギリスとデンマークは、（短期間ではあったが）振り子に基づいて長さの単位を定めた唯一の国であると思われる。1821年、デンマークインチは、スカーゲン子午線上の北緯45度、海面、真空中での平均太陽秒振り子の長さの1/38と定義された。[ 137 ] [ 138 ] イギリス議会は1824年に帝国度量衡法を可決した。これはイギリスの標準システムの改革であり、原型となる標準ヤードが破壊された場合、ロンドン、海面、真空中、華氏62度で太陽秒振り子の長さが39.1393インチになるようにインチを定義することで復元すると宣言した。 [ 139 ] これは、当時アメリカがイギリスの尺度を使用していたため、アメリカの標準にもなった。しかし、 1834年の国会議事堂火災で試作ヤードが焼失したため、振り子の定義から正確に再現することは不可能であることが判明し、1855年にイギリスは振り子基準を廃止し、試作ヤード基準に戻した。
マグネティック・シグナル・カンパニー（MSC）によって開発され、その後様々な企業が追随した振り子式信号機は、ウィグワグ、あるいはあまり知られていないマグネティック・フラッグマンと呼ばれ、かつては一般的な鉄道信号機であったが、現在では世界中で稼働しているものはごくわずかで、特にカリフォルニア州で使用されている。
初期の地震計では、地盤の揺れを測定するために、棒が垂直ではなくほぼ水平になっている振り子が使用されていた。振り子の重りは、取り付け部分が動いても動かず、その動きの差がドラムチャートに記録される。
マクシミリアン・シューラーが1923年の論文で初めて説明したように、地球表面のすぐ上を周回する仮想衛星の軌道周期（約84分）と正確に等しい周期を持つ振り子は、支持点が突然ずれても地球の中心を指し続ける傾向があります。この原理はシューラーチューニングと呼ばれ、地球表面で運用される船舶や航空機の慣性誘導システムに利用されています。実際の振り子は使用されていませんが、ジャイロスコープを搭載した慣性プラットフォームを安定させる制御システムが改良され、あたかも振り子に取り付けられているかのように動作し、車両が地球の曲面上を移動する際にプラットフォームが常に下向きになるように制御されます。
1665年、ホイヘンスは振り子時計について興味深い観察を行った。彼の暖炉の棚に2つの時計が置かれており、それらが反対方向に動いていることに気づいた。つまり、振り子は同期して振動しているが、方向は逆で、位相が180°ずれていた。2つの時計がどのように始動されたかに関わらず、最終的にはこの状態に戻ることを発見し、結合振動子の最初の記録された観察を行った。[ 140 ]
この現象の原因は、支持マントルピースのわずかな動きによって2つの振り子が互いに影響し合っていたことにある。このプロセスは物理学では同調またはモード同期と呼ばれ、他の結合振動子でも観察されている。同期振り子は時計に使用されており、 20世紀初頭には重力計で広く使用されていた。ホイヘンスは逆位相同期のみを観察したが、最近の研究では同位相同期の存在や、一方または両方の時計が停止する「停止」状態も示されている。[ 141 ] [ 142 ]
振り子の動きは宗教儀式にも見られます。香炉（せんべいとも呼ばれる）と呼ばれる揺れる香炉は振り子の一例です。[ 143 ]また、メキシコ東部の多くの集会でも振り子が見られ、潮が最も満ちる日に潮の変わり目を知らせるために使われます。振り子はダウジングにも使用されることがあります。
振り子は、調和振動子の例として、力学や振動運動を教えるために、科学教育で広く使用されています。用途の 1 つは、エネルギー保存の法則を実証することです。[ 144 ] [ 145 ]ボウリングのボール[ 146 ]や解体用鉄球[ 144 ]のような重い物体が紐に取り付けられます。次に、重りをボランティアの顔から数インチ以内まで動かし、放して振り子を振り子に戻し、戻します。ほとんどの場合、重りは方向を反転し、元の放した位置 (ボランティアの顔からわずかな距離) と (ほぼ) 同じ位置に戻るため、ボランティアは無傷です。ボランティアがじっとしていない[ 147 ]か、振り子を最初に押して放した場合 (戻ってきたときに放した位置を超えてしまうため) は、ボランティアが怪我をすることがあります。別の実証は振り子の波です。
18世紀、スペイン異端審問所では振り子が拷問や処刑の道具として使われていたという主張がある[ 148 ] 。この主張は 、スペインの司祭、歴史家、自由主義活動家であるフアン・アントニオ・ジョレンテによる1826年の著書『スペイン異端審問の歴史』に記されている[ 149 ]。 刃先がナイフになっている振り子が、縛られた囚人の体に切り込むまでゆっくりと下降する[ 150 ] 。この拷問方法は、アメリカの作家エドガー・アラン・ポーによる 1842年の短編小説「落とし穴と振り子」によって広く知られるようになった[ 151 ]。
知識のある情報源のほとんどは、この拷問が実際に使用されたことがあるかどうかについて懐疑的である。[ 152 ] [ 153 ] [ 154 ]使用された唯一の証拠は、リョレンテの1826年の歴史 の序文にある1つの段落[ 149 ]で、1820年に異端審問所のマドリードの地下牢から釈放された1人の囚人による二次的な証言が、振り子拷問法について説明したとされている。現代の情報源は、イエスが流血を戒めたため、異端審問官は流血を伴わない拷問方法のみを使用することが許されており、振り子法はこの厳格な規定に違反していたと指摘している。1つの説は、リョレンテが聞いた話を誤解したというもので、囚人は実際には異端審問所の別の一般的な拷問であるストラッパド（ガルチャ）について言及していた。これは、囚人の両手を後ろ手に縛り、手に結び付けたロープで床から吊り上げる拷問である。[ 154 ]この方法は「振り子」とも呼ばれていました。ポーの人気ホラー小説や、異端審問の他の残虐な方法に対する世間の認識により、この手の込んだ拷問方法の神話は生き続けています。
振り子の周期によって表される重力加速度gの値は、場所によって異なります。重力は地球の中心からの距離、つまり高度によって変化します。また、地球の形状が扁平であるため、gは緯度によっても変化します。赤道付近でgが減少するより重要な原因は、赤道が1日に1回転しているため、重力による加速度が遠心力によって部分的に相殺されることです。
![{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\left(2n\right)!}{2^{2n}\left(n!\right)^{2}}}\right)^{2}\sin ^{2n}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\right]=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3072}}\theta _{0}^{4}+\cdots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8421cbd1dd0d5564c5f84120bb9f8a68e7e6312)
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