ハーモノグラフ

ハーモノグラフは、振り子を使って幾何学的な図を描く機械装置である。描かれる図は、典型的にはリサジュー曲線か、それと関連したより複雑な図である。19世紀半ばに登場し、1890年代に人気がピークに達したこの装置は、グラスゴー大学の数学教授ヒュー・ブラックバーンが公式の発明者であると一般に信じられているものの、特定の人物によるものと断定することはできない。^[1]

単純な、いわゆる「横方向」ハーモノグラフは、2 つの振り子を使用して描画面に対するペンの動きを制御します。1 つの振り子はペンを 1 つの軸に沿って前後に動かし、もう 1 つの振り子は描画面を垂直軸に沿って前後に動かします。振り子の周波数と位相を互いに変化させることで、さまざまなパターンが作成されます。説明した単純なハーモノグラフでも、楕円、螺旋、8 の字、その他のリサジュー図形を作成できます。

より複雑なハーモノグラフには、3 つ以上の振り子または連結された振り子 (たとえば、1 つの振り子を別の振り子から吊るす) が組み込まれているか、または回転運動が組み込まれており、1 つ以上の振り子がジンバルに取り付けられて任意の方向に移動できます。

ハーモノグラフの一種であるピントグラフは、以下のリンクに示されているように、2 つの回転ディスクの相対的な動きに基づいています。(ピントグラフは、数字を拡大するために使用される機械装置である パンタグラフと混同しないでください。)

1870年代には、ハーモノグラフという用語がAEドンキンとサミュエル・チャールズ・ティズリーが作った装置に関連して使われたことが証明されている。^[2]

ブラックバーン振り子は単振動を説明する装置で、1844年にこれを説明したヒュー・ブラックバーンにちなんで名付けられました。これは1815年にジェームズ・ディーンによって初めて議論され、同年にナサニエル・ボウディッチによって数学的に分析されました。 ^[3]錘は弦から吊り下げられ、弦はV字型の2本の弦から吊り下げられ、振り子は異なる周期で2つの垂直方向に同時に振動します。その結果、錘はリサジュー曲線に似た経路をたどります。これはハーモノグラフと呼ばれる機械装置のファミリーに属します。^[4]

20世紀半ばの物理学の教科書では、このタイプの振り子を二重振り子と呼ぶことがある。^[5]

ハーモノグラフは減衰振り子の動きを利用して図形を作成します。減衰振り子の動きは次の式で表されます。

${\displaystyle x(t)=A\sin(tf+p)e^{-dt},}$

ここで、は周波数、は位相、は振幅、は減衰、は時間を表します。振り子が2つの軸（円形または楕円形）の周りを動くことができる場合、重ね合わせの原理により、振り子の底部に接続された棒の1つの軸に沿った動きは、次の式で表されます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle A}$${\displaystyle d}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle x(t)=A_{1}\sin(tf_{1}+p_{1})e^{-d_{1}t}+A_{2}\sin(tf_{2}+p_{2})e^{-d_{2}t}.}$

典型的なハーモノグラフは、このような動きをする2つの振り子と、これらの振り子に接続された2本の垂直な棒によって動かされるペンから構成されます。したがって、ハーモノグラフ図形の軌跡は、次のパラメトリック方程式によって記述されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=A_{1}\sin(tf_{1}+p_{1})e^{-d_{1}t}+A_{2}\sin(tf_{2}+p_{2})e^{-d_{2}t},\\y(t)&=A_{3}\sin(tf_{3}+p_{3})e^{-d_{3}t}+A_{4}\sin(tf_{4}+p_{4})e^{-d_{4}t}.\end{aligned}}}$

適切なコンピュータ プログラムを使用すると、これらの方程式をハーモノグラフをエミュレートするグラフに変換できます。最初の方程式を各方程式にもう一度適用すると、動いている紙をエミュレートできます (下の図を参照)。

• 
  オーストラリア、キャンベラのクエスタコンにあるハーモノグラフ
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  単純な横波動関数によって生成された図
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  単純な横波動関数によって生成された図
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  ピントグラフで作成された図形
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  コンピュータで生成されたハーモノグラフ図

• スピログラフ

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