振り子（力学）

振り子とは、固定された支点から吊り下げられ、重力の影響を受けて自由に前後に揺れる物体です。振り子が静止した平衡位置から横方向にずれると、重力による復元力が働き、平衡位置に向かって加速されます。振り子を放すと、その質量に働く復元力によって、平衡位置を中心に振動し、前後に揺れ動きます。振り子の運動方程式は一般的に非常に複雑です。単純振り子の場合、小角振動であれば運動方程式を解析的に解くことができるような簡略化された仮定を用いることができます。

単純重力振り子^{[ 1 ]}は、実際の振り子の理想化された数学モデルです。^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}これは、摩擦のない支点から吊り下げられた質量のない紐の端にある重り（またはおもり）です。このモデルでは摩擦によるエネルギー損失がないため、初期変位が与えられると、一定の振幅で前後に揺れます。このモデルは、次の仮定に基づいています。

• その棒や紐は質量がなく、伸び縮みせず、常に張力がかかっている。
• おもりは点質量である。
• この運動は二次元で起こる。
• この運動は、外部摩擦や空気抵抗によってエネルギーを失わない。
• 重力場は一様である。
• 支持部は固定されている。

単振り子の運動を支配する微分方程式は

ここで、 gは重力場の大きさ、ℓは棒または紐の長さ、θは鉛直方向から振り子までの角度である。

（式1）の「力」による導出

右側の図 1 は、単振り子に作用する力を示しています。振り子の軌跡は円弧を描くことに注意してください。角度θはラジアンで測定され、これはこの式にとって重要です。青い矢印はおもりに作用する重力であり、紫色の矢印は、おもりの瞬間的な動きに平行および垂直な成分に分解された同じ力です。おもりの瞬間的な速度の方向は常に赤い軸に沿っており、その方向は常に円に接しているため、接線軸とみなされます。ニュートンの第 2 法則を考えてみましょう。 $${\displaystyle F=ma}$$ ここで、Fは物体にかかる力の合計、mは質量、aは加速度です。ニュートンの法則は接線軸にのみ適用できます。これは、速度の変化のみが問題であり、おもりは円軌道上に留まるように強制されているためです。短い紫色の矢印は、接線軸における重力の成分を表しており、三角法を使用してその大きさを求めることができます。したがって、 $${\displaystyle {\begin{aligned}F&=-mg\sin \theta =ma,\qquad {\text{so}}\\a&=-g\sin \theta ,\end{aligned}}}$$ ここで、gは地球表面付近の重力加速度です。右辺の負の符号は、θとaが常に反対方向を向いていることを意味します。これは、振り子が左に振れると、右方向へ加速して戻ることが予想されるため、理にかなっています。

赤軸に沿ったこの線形加速度a は、弧長の公式によって角度θの変化と関連付けることができます。ここでsは弧長です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}s&=\ell \theta ,\\v&={\frac {ds}{dt}}=\ell {\frac {d\theta }{dt}},\\a&={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}=\ell {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}},\end{aligned}}}$$ したがって： $${\displaystyle {\begin{aligned}\ell {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}&=-g\sin \theta ,\\{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta &=0.\end{aligned}}}$$

（式1）の「エネルギー」による導出

また、力学的エネルギー保存の法則によっても得られます。垂直に落下する物体は、${\displaystyle h}$落下によって失ったエネルギーと等しい運動エネルギーを獲得する。言い換えれば、重力ポテンシャルエネルギーが運動エネルギーに変換される。ポテンシャルエネルギーの変化は次式で表される。 $${\displaystyle \Delta U=mgh.}$$

運動エネルギーの変化（物体は静止状態から動き出す）は次のように表される。 $${\displaystyle \Delta K={\tfrac {1}{2}}mv^{2}.}$$

エネルギー損失がないため、一方の利得は他方の損失と等しくなければならない。 $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}=mgh.}$$

高さの変化に対する速度の変化は次のように表すことができます。 $${\displaystyle v={\sqrt {2gh}}.}$$

上記の弧長公式を用いると、この式は⁠ dθ / dt ⁠を用いて次のように書き換えることができます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}v=\ell {\frac {d\theta }{dt}}&={\sqrt {2gh}},\quad {\text{so}}\\{\frac {d\theta }{dt}}&={\frac {\sqrt {2gh}}{\ell }},\end{aligned}}}$$ ここで、 hは振り子が落下した垂直距離です。図 2 は、単振り子の三角法を示しています。振り子が初期角度θ ₀から振り始めると、ねじからの垂直距離y ₀は次のように表されます。 $${\displaystyle y_{0}=\ell \cos \theta _{0}.}$$

同様に、y _{1 の}場合、 $${\displaystyle y_{1}=\ell \cos \theta .}$$

そしてhは2つの差である $${\displaystyle h=\ell \left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right).}$$

dθ / dtに関して言えば、

この方程式は運動の第一積分として知られており、位置に関する速度を表し、初期変位（θ₀ ）に関連する積分定数を含んでいます。次に、連鎖律を適用して時間に関して微分し、加速度を求めます _。$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}{\frac {d\theta }{dt}}&={\frac {d}{dt}}{\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}\left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right)}},\\{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}&={\frac {1}{2}}{\frac {-{\frac {2g}{\ell }}\sin \theta }{\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}(\cos \theta -\cos \theta _{0})}}}{\frac {d\theta }{dt}}\\&={\frac {1}{2}}{\frac {-{\frac {2g}{\ell }}\sin \theta }{\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}(\cos \theta -\cos \theta _{0})}}}{\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}(\cos \theta -\cos \theta _{0})}}=-{\frac {g}{\ell }}\sin \theta ,\\{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}&+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta =0,\end{aligned}}}$$

これは、力解析によって得られた結果と同じである。

（式1）の「ラグランジュ」による導出

式 1 は、ラグランジュ力学によっても得られます。より具体的には、オイラー・ラグランジュ方程式(または第 2 種のラグランジュ方程式) を使用して、システムのラグランジアン (${\displaystyle {\mathcal {L}}}$）、制約（${\displaystyle q}$）そして、以下の連立方程式を解く

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q_{j}}}}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{j}}}.}$$

デカルト座標系の原点を吊り下げ点（または単に支点）と定義すると、おもりは

$${\displaystyle x=\ell \sin {\theta },}$$$${\displaystyle y=-\ell \cos {\theta },}$$

そして、座標を時間に関して微分することによって計算されるおもりの速度（時間微分を表すためにドット表記を使用）

$${\displaystyle {\dot {x}}=\ell {\dot {\theta }}\cos {\theta },}$$$${\displaystyle {\dot {y}}=\ell {\dot {\theta }}\sin {\theta }.}$$

したがって、ラグランジアンは次のようになる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}&=E_{k}-E_{p}\\&={\frac {1}{2}}mv^{2}-mgh\\&={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})-mg\ell (1-\cos {\theta })\\&={\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}-mg\ell +mg\ell \cos {\theta }.\end{aligned}}}$$

オイラー・ラグランジュ方程式（制約条件が1つしかないため特異）${\displaystyle q=\theta }$）はしたがって

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}}}\right)&={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \theta }}\\{\frac {d}{dt}}(m\ell ^{2}{\dot {\theta }})&=-mg\ell \sin {\theta }\\m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}&=-mg\ell \sin {\theta }\\{\ddot {\theta }}&=-{\frac {g}{\ell }}\sin {\theta }.\\\end{aligned}}}$$

そして、これを変形することで、力解析によって得られた式1と一致するようにすることができる。

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\sin {\theta }=0.}$$

ラグランジュ力学による導出は、単一の振り子では過剰ですが、二重振り子のようなより複雑でカオス的なシステムには役立ちます。

上記の微分方程式は簡単に解くことができず、初等関数で表せる解もありません。しかし、振動の振幅の大きさに制限を加えると、解が容易に得られる形式になります。角度が 1ラジアンよりはるかに小さい(0.1 ラジアン、約 6° 未満とよく言われる) と仮定すると、   $${\displaystyle \theta \ll 1,}$$ 次に、小角近似を用いて式1にsin θを代入すると、 $${\displaystyle \sin \theta \approx \theta ,}$$調和振動子 の式が得られる。 $${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\theta =0.}$$

近似による誤差は、θ ^{3 の}オーダーである（sin θのテイラー展開による）。

開始角度をθ₀とする_。振り子が角速度ゼロで解放されると仮定すると、解は次のようになる。

この運動は単振動であり、 θ₀_は振動の振幅（つまり、振り子の棒と垂直方向との間の最大角度）である。対応する運動のおおよその周期は次のようになる。

これは周期に関するクリスティアーン・ホイヘンスの法則として知られています。小角近似の下では、周期は振幅θ₀に依存しないことに注意してください_。これはガリレオが発見した等時性の性質です。

$${\displaystyle T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}}$$与える$${\displaystyle \ell ={\frac {g}{\pi ^{2}}}{\frac {T_{0}^{2}}{4}}.}$$

SI単位系（メートルと秒で測定）を使用し、測定が地球表面で行われていると仮定すると、g ≈ 9.81 m/s ²、g / π ² ≈ 1 m/s ²（0.994は小数点以下3桁までの近似値）となります。

したがって、長さと周期の比較的妥当な近似値は次のとおりである。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\ell &\approx {\frac {T_{0}^{2}}{4}},\\T_{0}&\approx 2{\sqrt {\ell }}\end{aligned}}}$$ ここで、T ₀は2 つの拍の間隔 (スイングの左右それぞれに 1 つの拍) を秒単位で表し、 lはメートル単位で測定されます。

小角近似を超える振幅の場合、エネルギー法から得られた角速度の式（式2）を最初に反転することで正確な周期を計算できます。 $${\displaystyle {\frac {dt}{d\theta }}={\sqrt {\frac {\ell }{2g}}}{\frac {1}{\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}}$$ そして、1サイクル全体にわたって積分すると、 $${\displaystyle T=t(\theta _{0}\rightarrow 0\rightarrow -\theta _{0}\rightarrow 0\rightarrow \theta _{0}),}$$ または半周期の2倍 $${\displaystyle T=2t(\theta _{0}\rightarrow 0\rightarrow -\theta _{0}),}$$ または四半期周期の4倍 $${\displaystyle T=4t(\theta _{0}\rightarrow 0),}$$ これは $${\displaystyle T=4{\sqrt {\frac {\ell }{2g}}}\int _{0}^{\theta _{0}}{\frac {d\theta }{\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}.}$$

これは、被積分関数に特異点があるため、広義積分であることに注意してください。${\displaystyle \theta =\pm \theta _{0}+2\pi \mathbb {Z} }$しかし、これらの特異点は、${\displaystyle 0<\theta _{0}<\pi }$。 で${\displaystyle \theta _{0}=\pm \pi }$特異点は非積分可能となり、最大スイング角度が垂直に近づくにつれて積分の値が発散することを意味する。 $${\displaystyle \lim _{\theta _{0}\to \pi }T=\infty ,}$$ そのため、垂直に上がるのにちょうど良いエネルギーを持つ振り子は、実際には決して垂直には達しない。（逆に、最大高さに近い振り子は、落下するまでにいくらでも長い時間がかかる可能性がある。）

この積分は楕円積分を用いて次のよう に書き換えることができる。$${\displaystyle T=4{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}F\left({\frac {\pi }{2}},\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}\right)}$$ ここで、Fは次のように定義される 第 1 種の不完全楕円積分である。$${\displaystyle F(\varphi ,k)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {du}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}u}}}\,.}$$

あるいは、より簡潔に代入すると$${\displaystyle \sin {u}={\frac {\sin {\frac {\theta }{2}}}{\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}}}}$$θをuで 表すと、

ここで、Kは次のように定義される第 1 種の完全楕円積分である。

$${\displaystyle K(k)=F\left({\frac {\pi }{2}},k\right)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {du}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}u}}}\,.}$$

 近似値と完全解との比較のために、地球上での長さ 1 m の振り子の周期( g =9.806 65  m/s ² ) 初速度 10 度の角度では $${\displaystyle 4{\sqrt {\frac {1{\text{ m}}}{g}}}\ K\left(\sin {\frac {10^{\circ }}{2}}\right)\approx 2.0102{\text{ s}}.}$$ 線形近似では

$${\displaystyle 2\pi {\sqrt {\frac {1{\text{ m}}}{g}}}\approx 2.0064{\text{ s}}.}$$

両者の値の差は0.2%未満であり、地理的な位置によるgの値の変動によって生じる差よりもはるかに小さい。

ここから楕円積分を計算する方法は数多く存在する。

正確な期間は${\displaystyle T}$任意の有限振幅に対して決定できる${\displaystyle \theta _{0}<\pi }$ラジアン、対応する完全楕円積分を評価することによって${\displaystyle K(k)}$、 どこ${\displaystyle k\equiv \sin(\theta _{0}/2)}$、この積分を初等関数で閉じた形で表現することはできないため、応用上、この方法はしばしば避けられます。このため、振幅による振り子周期の増加に関する単純な近似式の研究が進められてきました（入門物理学実験、古典力学、電磁気学、音響学、電子工学、超伝導などで有用です） ^{[ 9 ]}さまざまな著者によって発見された近似式は、次のように分類できます。

• 「それほど大きな角度ではない」式、つまり以下の振幅に対して良好な推定値を与える式${\displaystyle \pi /2}$ラジアン（柔軟な弦の端にあるおもりの自然な限界）ですが、正確な周期に対するずれは振幅とともに単調に増加し、振幅が に近い場合には不向きです。${\displaystyle \pi }$rad。文献に見られる最も単純な公式の1つは、Lima (2006) による次の式です。${\textstyle T\approx -\,T_{0}\,{\frac {\ln {a}}{1-a}}}$、 どこ${\displaystyle a\equiv \cos {(\theta _{0}/2)}}$[ ^{10 ]​}
• 「非常に大きな角度」の公式、つまり振幅が に近い場合に正確な周期を漸近的に近似する公式${\displaystyle \pi }$rad であり、振幅が小さいほど誤差が単調に増加する（つまり、振幅が小さい場合には不向きである）。そのような式の中でより良いものの 1 つは Cromer によるもので、次のとおりである。^{[ 11 ]}${\textstyle T\approx {\frac {2}{\pi }}\,T_{0}\,\ln {(4/a)}}$。

もちろん、増加は${\displaystyle T}$振幅が大きくなると、${\displaystyle \pi /2<\theta _{0}<\pi }$これは、剛体棒または円盤を使用した多くの実験で観察されているとおりです。^{[ 12 ]}現在では、初級物理学実験室でも高精度のタイマーとセンサーが利用できるため、「非常に大きな角度」の実験で見つかった実験誤差は、正確な周期と比較できるほど小さく、摩擦が無視できる場合の理論と実験の間には非常に良い一致が見つかっています。この活動は多くの指導者によって奨励されているため、実験データと比較できる、すべての可能な振幅に対して有効な振り子の周期の単純な近似式が求められました。2008年に、Limaはこの特性を持つ加重平均式を導出しました。^{[ 9 ]}$${\displaystyle T\approx {\frac {r\,a^{2}\,T_{\text{Lima}}+k^{2}\,T_{\text{Cromer}}}{r\,a^{2}+k^{2}}},}$$ どこ${\displaystyle r=7.17}$最大誤差はわずか0.6%（${\displaystyle \theta _{0}=95^{\circ }}$)

フーリエ級数展開${\displaystyle \theta (t)}$^{[ 13 ] [ 14 ]}によって与えられる。

$${\displaystyle \theta (t)=8\sum _{n\geq 1{\text{ odd}}}{\frac {(-1)^{\left\lfloor {n/2}\right\rfloor }}{n}}{\frac {q^{n/2}}{1+q^{n}}}\cos(n\omega t)}$$

どこ${\displaystyle q}$は楕円ノームです。${\displaystyle q=\exp \left({-\pi K{\bigl (}{\sqrt {\textstyle 1-k^{2}}}{\bigr )}{\big /}K(k)}\right),}$${\displaystyle k=\sin(\theta _{0}/2),}$そして${\displaystyle \omega =2\pi /T}$角周波数。

定義するならば $${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-{\sqrt {\cos(\theta _{0}/2)}}}{1+{\sqrt {\cos(\theta _{0}/2)}}}}}$$${\displaystyle q}$展開式を用いて近似することができる $${\displaystyle q=\varepsilon +2\varepsilon ^{5}+15\varepsilon ^{9}+150\varepsilon ^{13}+1707\varepsilon ^{17}+20910\varepsilon ^{21}+\cdots }$$ （OEIS：A002103 を参照）。${\displaystyle \varepsilon <{\tfrac {1}{2}}}$のために${\displaystyle \theta _{0}<\pi }$したがって、この近似は大きな振幅に対しても適用可能である。

同様に、角度はヤコビ楕円関数を用いて表すことができる。${\displaystyle \operatorname {cd} }$モジュラス付き${\displaystyle k}$^{[ 15 ]}$${\displaystyle \theta (t)=2\arcsin \left(k\operatorname {cd} \left({\sqrt {\frac {g}{\ell }}}t;k\right)\right),\quad k=\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}.}$$

小規模向け${\displaystyle x}$、${\displaystyle \sin x\approx x}$、${\displaystyle \arcsin x\approx x}$そして${\displaystyle \operatorname {cd} (t;0)=\cos t}$、したがって、この解は振り子（力学）#小角近似で与えられた解によってよく近似されます。

以下の動画は、振り子の重りの初期変位量（または初期速度）を増加させた場合の、単純な（摩擦のない）振り子の動きを示しています。各振り子の上にある小さなグラフは、対応する位相平面図です。横軸は変位、縦軸は速度を表しています。初期速度が十分に大きい場合、振り子は往復振動するのではなく、支点を中心に完全に回転します。

• 
  初期角度0°、安定した平衡状態
• 
  初期角度45°
• 
  初期角度90°
• 
  初期角度135°
• 
  初期角度170°
• 
  初期角度180°、不安定な平衡状態
• 
  振り子は、かろうじてフルスイングできるだけのエネルギーしか持っていない。
• 
  振り子が十分に揺れるだけのエネルギーを持っている

複合振り子（または物理振り子）とは、棒が質量を持たないわけではなく、長さが変化することもある振り子のことです。つまり、任意の形状の剛体が支点を中心に回転する振り子です。${\displaystyle O}$この場合、振り子の周期はその慣性モーメントに依存する。${\displaystyle I_{O}}$支点の周り。

トルクの式は次のようになる。 $${\displaystyle \tau =I\alpha }$$ どこ： ${\displaystyle \alpha }$は角加速度です。 ${\displaystyle \tau }$トルクは

トルクは重力によって発生するので、次のようになります。 ${\displaystyle \tau =-mgr_{\oplus }\sin \theta }$ どこ：

• ${\displaystyle m}$は剛体（棒と振り子）の総質量です。
• ${\displaystyle r_{\oplus }}$は、支点からシステムの重心までの距離です。
• ${\displaystyle \theta }$垂直からの角度

したがって、小角近似の下では、${\displaystyle \sin \theta \approx \theta }$（または同等に、${\displaystyle \theta _{\mathrm {max} }\ll 1}$) $${\displaystyle \alpha ={\ddot {\theta }}={\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}\sin \theta \approx -{\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}\theta }$$ どこ${\displaystyle I_{O}}$は、支点周りの物体の慣性モーメントです。${\displaystyle O}$。

表現${\displaystyle \alpha }$これは従来の単純振り子と同じ形状で、周期は^{[ 2 ]です。}$${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I_{O}}{mgr_{\oplus }}}}}$$

そして周波数 $${\displaystyle f={\frac {1}{T}}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}}}$$

初期角度を考慮に入れると（振幅が大きい場合）、次の式が得られます。${\displaystyle \alpha }$になる: $${\displaystyle \alpha ={\ddot {\theta }}=-{\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}\sin \theta }$$ そして、以下の期間を示します。 $${\displaystyle T=4\operatorname {K} \left(\sin ^{2}{\frac {\theta _{\mathrm {max} }}{2}}\right){\sqrt {\frac {I_{O}}{mgr_{\oplus }}}}}$$ どこ${\displaystyle \theta _{\mathrm {max} }}$は（垂直方向に対する）最大振動角であり、${\displaystyle \operatorname {K} (k)}$これは第一種完全楕円積分です。

重要な概念は等価長さです。${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }}$同じ角周波数を持つ単純振り子の長さ${\displaystyle \omega _{0}}$複合振り子として： ${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}={\frac {g}{\ell ^{\mathrm {eq} }}}:={\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}\implies \ell ^{\mathrm {eq} }={\frac {I_{O}}{mr_{\oplus }}}}$

以下のケースを検討してください。

• 単純振り子は、質量のすべてが振り子のおもりに集中し、離れた場所で揺れる特殊なケースです。${\displaystyle \ell }$支点から。したがって、${\displaystyle r_{\oplus }=\ell }$そして${\displaystyle I_{O}=m\ell ^{2}}$したがって、式は次のように簡略化されます。${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}={\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}={\frac {mg\ell }{m\ell ^{2}}}={\frac {g}{\ell }}}$。 知らせ${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }=\ell }$予想通り（等価長さの定義）。
• 質量が均質な棒${\displaystyle m}$長さ${\displaystyle \ell }$端からぶら下がっている${\displaystyle r_{\oplus }={\frac {1}{2}}\ell }$そして${\displaystyle I_{O}={\frac {1}{3}}m\ell ^{2}}$したがって、式は次のように簡略化されます。${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}={\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}={\frac {mg\,{\frac {1}{2}}\ell }{{\frac {1}{3}}m\ell ^{2}}}={\frac {g}{{\frac {2}{3}}\ell }}}$。 知らせ${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }={\frac {2}{3}}\ell }$均質な棒は、その長さの3分の2の長さの単純振り子であるかのように振動する。
• 重い単振り子：均質な質量の棒の組み合わせ${\displaystyle m_{\mathrm {rod} }}$長さ${\displaystyle \ell }$端からぶら下がり、そして揺れる${\displaystyle m_{\mathrm {bob} }}$もう一方の端では、システムの総質量は${\displaystyle m_{\mathrm {bob} }+m_{\mathrm {rod} }}$、その他のパラメータは${\displaystyle mr_{\oplus }=m_{\mathrm {bob} }\ell +m_{\mathrm {rod} }{\frac {\ell }{2}}}$（重心の定義により）${\displaystyle I_{O}=m_{\mathrm {bob} }\ell ^{2}+{\frac {1}{3}}m_{\mathrm {rod} }\ell ^{2}}$したがって、式は次のように簡略化されます。

${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}={\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}={\frac {\left(m_{\mathrm {bob} }\ell +m_{\mathrm {rod} }{\frac {\ell }{2}}\right)g}{m_{\mathrm {bob} }\ell ^{2}+{\frac {1}{3}}m_{\mathrm {rod} }\ell ^{2}}}={\frac {g}{\ell }}{\frac {m_{\mathrm {bob} }+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{2}}}{m_{\mathrm {bob} }+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{3}}}}={\frac {g}{\ell }}{\frac {1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{2m_{\mathrm {bob} }}}}{1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{3m_{\mathrm {bob} }}}}}}$ どこ${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }=\ell {\frac {1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{3m_{\mathrm {bob} }}}}{1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{2m_{\mathrm {bob} }}}}}}$。これらの式は、棒またはおもりの質量をそれぞれゼロと考えるだけで、以前に検討した 2 つのケースに具体的に適用できることに注意してください。また、この式はおもりと棒の両方の質量に依存するのではなく、実際にはそれらの比率に依存することにも注意してください。${\displaystyle {\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}}$近似値として、${\displaystyle {\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}\ll 1}$:

${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}\approx {\frac {g}{\ell }}\left(1+{\frac {1}{6}}{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}+\cdots \right)}$

有効質量を持つバネ-質量系の角周波数と非常によく似ていることに注目してください。

上記の議論は、重力のみが作用する振り子のおもりに焦点を当てています。空気抵抗などの減衰力と正弦波状の駆動力が物体に作用すると仮定します。このシステムは減衰駆動振動子であり、カオス的です。

式（１）は次のように書ける。

$${\displaystyle ml^{2}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-mgl\sin \theta }$$

（上記の式（1）のトルクの導出を参照）。

減衰項と強制項を右辺に加えると、

$${\displaystyle ml^{2}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-mgl\sin \theta -b{\frac {d\theta }{dt}}+a\cos(\Omega t)}$$

ここで減衰は角速度に直接比例すると仮定します（これは低速空気抵抗の場合に当てはまります。抗力（物理学）も参照してください）。${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$はそれぞれ、強制力の振幅と減衰の度合いを定義する定数である。${\textstyle \Omega }$は駆動振動の角周波数です。

で割ると${\textstyle ml^{2}}$:

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {b}{ml^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}}+{\frac {g}{l}}{\sin \theta }-{\frac {a}{ml^{2}}}\cos(\Omega t)=0.}$$

物理振り子の場合：

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {b}{I}}{\frac {d\theta }{dt}}+{\frac {mgr_{\oplus }}{I}}{\sin \theta }-{\frac {a}{I}}\cos(\Omega t)=0.}$$

この方程式はカオス的な挙動を示します。この振り子の正確な運動は数値的にしか求めることができず、初期条件、例えば初期速度や初期振幅に大きく依存します。しかし、上記で概説した小角近似は、必要な条件下では近似的な解析解を得るために依然として使用できます。

振り子の位置を時間の関数として表すヤコビ楕円関数は、実周期と虚周期を持つ二重周期関数です。実周期は、もちろん、振り子が1サイクルを完了するのにかかる時間です。ポール・アペルは虚周期の物理的解釈を指摘しました。^{[ 16 ]} θ ₀が一方の振り子の最大角度で、180° − θ ₀がもう一方の振り子の最大角度である場合、それぞれの実周期は、もう一方の虚周期の大きさになります。

連結された振り子は、方向的な接続（例えば、おもりをつなぐバネ）または支持構造（例えば、テーブルトップ）の動きを通して、互いの動きに影響を与える可能性があります。おもりをつなぐバネで連結された2つの同一の単純振り子の運動方程式は、ラグランジュ力学を用いて求めることができます。

システムの運動エネルギーは次のとおりです。 $${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}mL^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}\right)}$$ どこ${\displaystyle m}$はおもりの質量です。${\displaystyle L}$は弦の長さであり、${\displaystyle \theta _{1}}$、${\displaystyle \theta _{2}}$これらは、2つの振り子が平衡位置からどれだけ角変位しているかを示す値である。

システムのポテンシャルエネルギーは次のとおりです。 $${\displaystyle E_{\text{p}}=mgL(2-\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2})+{\frac {1}{2}}kL^{2}(\theta _{2}-\theta _{1})^{2}}$$

どこ${\displaystyle g}$は重力加速度であり、${\displaystyle k}$はばね定数です。変位${\displaystyle L(\theta _{2}-\theta _{1})}$バネが平衡位置からずれる場合、小角近似を仮定します。

ラグランジアンは次のようになる。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}mL^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}\right)-mgL(2-\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2})-{\frac {1}{2}}kL^{2}(\theta _{2}-\theta _{1})^{2}}$$ これにより、以下の連立微分方程式が得られる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\theta }}_{1}+{\frac {g}{L}}\sin \theta _{1}+{\frac {k}{m}}(\theta _{1}-\theta _{2})&=0\\{\ddot {\theta }}_{2}+{\frac {g}{L}}\sin \theta _{2}-{\frac {k}{m}}(\theta _{1}-\theta _{2})&=0\end{aligned}}}$$

これら2つの式を順に足し引きして、小角近似を適用すると、変数に関する2つの調和振動子方程式が得られる。${\displaystyle \theta _{1}+\theta _{2}}$そして${\displaystyle \theta _{1}-\theta _{2}}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\theta }}_{1}+{\ddot {\theta }}_{2}+{\frac {g}{L}}(\theta _{1}+\theta _{2})&=0\\{\ddot {\theta }}_{1}-{\ddot {\theta }}_{2}+\left({\frac {g}{L}}+2{\frac {k}{m}}\right)(\theta _{1}-\theta _{2})&=0\end{aligned}}}$$ 対応する解とともに $${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}+\theta _{2}&=A\cos(\omega _{1}t+\alpha )\\\theta _{1}-\theta _{2}&=B\cos(\omega _{2}t+\beta )\end{aligned}}}$$ どこ $${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{1}&={\sqrt {\frac {g}{L}}}\\\omega _{2}&={\sqrt {{\frac {g}{L}}+2{\frac {k}{m}}}}\end{aligned}}}$$

そして${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \beta }$は積分定数です。

解を次のように表現する${\displaystyle \theta _{1}}$そして${\displaystyle \theta _{2}}$一人で： $${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}&={\frac {1}{2}}A\cos(\omega _{1}t+\alpha )+{\frac {1}{2}}B\cos(\omega _{2}t+\beta )\\\theta _{2}&={\frac {1}{2}}A\cos(\omega _{1}t+\alpha )-{\frac {1}{2}}B\cos(\omega _{2}t+\beta )\end{aligned}}}$$

ボブに最初の押し込みが与えられない場合、条件${\displaystyle {\dot {\theta }}_{1}(0)={\dot {\theta }}_{2}(0)=0}$必要${\displaystyle \alpha =\beta =0}$（いくつかの式を整理すると）次のようになる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\theta _{1}(0)+\theta _{2}(0)\\B&=\theta _{1}(0)-\theta _{2}(0)\end{aligned}}}$$

• ハーモノグラフ
• 円錐振り子
• サイクロイド振り子
• 二重振り子
• 倒立振子
• カピッツァの振り子
• レイリー・ローレンツ振り子
• 弾性振り子
• マチュー関数
• 振り子の運動方程式（ソフトウェア）

• ベイカー、グレゴリー L.、ブラックバーン、ジェームズ A. (2005).振り子：物理学の事例研究(PDF) . オックスフォード大学出版局.
• Ochs, Karlheinz (2011). "非線形振り子の包括的な解析解". European Journal of Physics . 32 (2): 479–490 . Bibcode : 2011EJPh...32..479O . doi : 10.1088/0143-0807/32/2/019 . S2CID 53621685 . 
• Sala, Kenneth L. (1989). "ヤコビ振幅関数の変換と算術幾何平均によるその計算". SIAM J. Math. Anal . 20 (6): 1514–1528 . doi : 10.1137/0520100 .

• Mathworldの記事：マチュー関数について