ケイターの振り子

地球の表面で重力が変化するということを最初に発見したのは、フランスの科学者ジャン・リシェでした。彼は1671年にフランス科学アカデミーによってフランス領ギアナのカイエンヌへの探検に派遣され、振り子時計で測定を行う任務を与えられました。翌年に彼が行った観測を通して、時計はパリよりも1日あたり2 + 1/2分遅れている、つまり1秒間に揺れる振り子の長さがパリよりも1 + 1/4パリ線、つまり2.6 mm短いことをリシェは判断しました。^{[ 4 ] [ 5 ]}当時の科学者たちは、これが地球が完全な球体ではなくわずかに扁平であること、地球の自転のために赤道付近が厚くなっていることが原因であると認識し、1687年にアイザック・ニュートンによって証明されました。カイエンヌの地表はパリよりも地球の中心から遠いため、重力は弱かった。この発見の後、自由振動式振り子が精密重力計として用いられるようになり、世界各地への航海に持ち込まれ、各地の重力加速度が測定された。地理的な重力データの蓄積により、地球全体の形状に関するより正確なモデルが次々と構築されていった。 

振り子は重力を測定するために広く用いられていたため、ケイターの時代には、重力の局所的な強さは、現在用いられている加速度gの値ではなく、その場所での秒振り子（周期が2秒の振り子、つまり1回の振り子の揺れに1秒かかる）の長さで表されることが一般的でした。式(1)から、秒振り子の場合、長さは単純にgに比例することがわかります。

${\displaystyle g=\pi ^{2}L\,}$

ケーターの時代には、振り子の周期T は、頭上の星の通過によって設定された精密時計で時間を計ることで非常に正確に測定することができました。ケーターの発見以前は、g測定の精度は、もう 1 つの要素L、つまり振り子の長さを正確に測定することが困難であったため制限されていました。上記の式 (1) のL は、質量のない紐の端で揺れる点質量からなる理想的な数学的「単振り子」の長さでした。しかし、実際の振り子、つまり力学で複合振り子として知られる揺れる剛体の「長さ」を定義することはより困難です。 1673年、オランダの科学者クリスティアーン・ホイヘンスは、振り子の数学的分析である『振動時計』の中で、実際の振り子は、支点と振動中心と呼ばれる点（振り子の重心の真下に位置し、振り子の長さに沿った質量分布に依存する）との間の距離に等しい長さを持つ単純振り子と同じ周期を持つことを示した。問題は、実際の振り子の振動中心の位置を正確に見つける方法がなかったことである。理論的には、金属部品の密度が均一であれば、振り子の形状から計算できるはずだったが、当時の冶金技術と数学的能力では、正確な計算を行うことはできなかった。

この問題を解決するため、ジャン・ピカール（1669年）、シャルル・マリー・ド・ラ・コンダミーヌ（1735年）、ジャン＝シャルル・ド・ボルダ（1792年）といった初期の重力研究者の多くは、軽いワイヤーで吊るされた金属球を用いて単純振り子を近似した。ワイヤーの質量が無視できるほど小さければ、振動の中心は球の重心に近い位置にあった。しかし、球の重心を正確に求めることさえ困難だった。さらに、このタイプの振り子は本質的に精度が低かった。球は揺れるたびにわずかな角運動量を得るため、球とワイヤーは一体となって前後に揺れることはなかった。また、振り子の揺れの間、ワイヤーは弾性的に伸び、周期中にLがわずかに変化した。

しかし、ホイヘンスは『振動時計』の中で、支点と振動中心が交換可能であることも証明している。つまり、振り子を振動中心から逆さまに吊るしても、その周期は変わらず、新しい振動中心は元の支点となる。この2つの共役点間の距離は、同じ周期を持つ単振り子の長さに等しい。

1816年に王立協会によって任命された英国の測定法改革委員会の一員として、ケイターは下院からロンドンの秒振り子の長さを正確に測定するよう依頼されていた。^{[ 6 ]}彼は、ホイヘンスの原理が剛性（複合）振り子の振動中心、ひいてはその長さLを見つけるために使用できることに気づいた。振り子を振り子の棒上で上下に調整できる2番目の支点から逆さまに吊り下げ、振り子が最初の支点から正立して振れているときと同じ周期になるまで2番目の支点を調整すると、2番目の支点が振動中心になり、2つの支点間の距離がLになる。

このアイデアを最初に思いついたのはケイターではなかった。^{[ 7 ] [ 8 ]}フランスの数学者ガスパール・ド・プロニーは1800年に可逆振り子を初めて提案したが、彼の研究は1889年まで発表されなかった。1811年にフリードリヒ・ボーネンベルガーが再びそれを発見したが、ケイターは独自にそれを発明し、最初にそれを実用化した。

ケイターは、長さ約2メートル、幅1と1/2インチ、厚さ1/8インチの真鍮棒と、その片端に重り(d)を取り付けた振り子を製作した。 ^{[ 1 ] [ 9 ]}摩擦の少ない支点として、棒に取り付けた短い三角形の「ナイフ」ブレードを2枚使用した。使用時には、振り子は壁のブラケットから吊り下げられ、平らな瑪瑙板に接するナイフブレードの縁で支えられた。振り子には、互いに向き合う2つのナイフブレード支点(a)があり、約1メートル(40インチ)離れているため、各支点から吊り下げると、振り子の1回の揺れに約1秒かかった。 

ケイターは、支点の一方を調整可能にすると不正確さが生じ、両方の支点の軸を正確に平行に保つのが難しくなることを発見した。そこで彼は、ナイフの刃を棒に固定し、振り子の軸に取り付けた小さな可動式の重り（b、c）で振り子の周期を調整することにした 。地球上の重力は最大でも0.5%しか変化せず、ほとんどの場所ではそれよりもはるかに小さいため、重りの調整はわずかに行うだけで済んだ。重りを一方の支点の方に動かすと、その支点に吊るしたときの周期は短くなり、もう一方の支点に吊るしたときの周期は長くなった。この方法には、支点間の距離を精密に測定する作業を一度だけ行えばよいという利点もあった。

使用する際は、振り子を壁のブラケットに吊り下げ、ナイフの刃の支点を2枚の小さな水平な瑪瑙板で支え、周期を計測するために精密振り子時計の前に置いた。まず一方の支点から振り子を振り、振動を計測し、次に上下を逆にしてもう一方の支点から振り、再び振動を計測した。小さな重り(b)を調整ネジで調整し、振り子がそれぞれの支点から振り子を振ったときの周期が同じになるまでこのプロセスを繰り返した。計測した周期Tと支点の刃間の距離Lを周期の式(1)に代入することで、 gを非常に正確に計算することができた。

ケイターは12回の試行を行った。^{[ 1 ]}彼は時計の振り子を用いて、2つの振り子が同期して揺れているときの同期間の間隔を計測する一致法によって、振り子の周期を非常に正確に測定した。彼は顕微鏡比較器を用いて、 ^10⁻⁴インチ（2.5μm）の精度でピボットブレード間の距離を測定した。他の振り子重力測定と同様に、彼はいくつかの変動要因に対して結果に小さな補正を適用する必要があった。

• 振り子の振幅の幅がゼロでないことで周期が長くなった。
• 温度変化により、熱膨張によって棒の長さが変化する。
• 大気圧によって、押し出された空気の浮力により振り子の実効質量が減少し、周期が長くなる。
• 高度は、地球の中心からの距離に応じて重力を減少させる。重力の測定値は常に海面を基準とする。

彼はその結果を秒振り子の長さとして示した。補正後、ロンドンの海面、華氏62度（摂氏17度）で真空中で揺れる太陽秒振り子の平均長さは39.1386インチであることがわかった。これは9.81158 m/s²^の重力加速度に相当する。彼の結果の平均値からの最大変動は0.00028インチ（7.1 μm）であった。これは0.7× ^10⁻⁵（7ミリガル）の重力測定精度を表している。     

1824年、英国議会は、ヤードの原型が破壊された場合にヤードを定義するための公式のバックアップ長さ基準として、ケイターによる秒振り子の測定値を採用した。 ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}

ケーターの振り子によって重力測定精度が大幅に向上したことで、重力測定は測地学の重要な一部となった。重力測定を実用的に行うには、測定地点の正確な位置（緯度と経度）を特定する必要があったため、振り子による測定は測量の一部となった。ケーターの振り子は、19世紀に世界各地で行われた大規模な測地測量で用いられた。特に、ケーターの振り子はインドの大三角測量で使用された。

可逆振り子は、 1950年代に自由落下重力計に取って代わられるまで、絶対重力測定に使用される標準的な方法であり続けた。 ^{[ 14 ]}

ケーター振り子の各周期を繰り返し計測し、重りが等しくなるまで調整することは、時間がかかり、誤差が生じやすかった。フリードリヒ・ベッセルは1826年に、これは不要であることを示した。各_支点から計測された周期T1とT2_の値が近い限り、等価な単純振り子の周期Tはそれらから計算できる。^{[ 15 ]}

$${\displaystyle T^{2}={\frac {T_{1}^{2}+T_{2}^{2}}{2}}+{\frac {T_{1}^{2}-T_{2}^{2}}{2}}\left({\frac {h_{1}+h_{2}}{h_{1}-h_{2}}}\right)\,\qquad \qquad \qquad (2)}$

ここ${\displaystyle h_{1}\,}$そして${\displaystyle h_{2}\,}$は、振り子の重心から2つの支点までの距離です。支点間の距離は、${\displaystyle h_{1}+h_{2}\,}$非常に高い精度で測定できる。 ${\displaystyle h_{1}\,}$そして${\displaystyle h_{2}\,}$それによって違いが生じる${\displaystyle h_{1}-h_{2}\,}$は、同等の精度で測定することはできません。これらは、振り子をナイフの刃の上にバランスさせて重心を見つけ、各支点から重心までの距離を測定することによって求められます。しかし、${\displaystyle T_{1}^{2}-T_{2}^{2}\,}$よりずっと小さい${\displaystyle T_{1}^{2}+T_{2}^{2}\,}$上記の式の右辺の第２項は第１項に比べて小さいので、${\displaystyle h_{1}-h_{2}\,}$高い精度で決定する必要はなく、上述のバランス調整手順で十分な精度が得られる。

したがって、振り子は調整可能である必要はなく、単に2つの支点を持つ棒でよい。各支点がもう一方の支点の振動中心に近ければ、2つの周期は近くなり、等価な単純振り子の周期Tは式(2)で計算でき、重力はTとLから式(1)で計算できる。

さらに、ベッセルは、振り子を左右対称の形状にし、片方の端に内部的に重りを付ければ、空気抵抗の影響による誤差が相殺されることを示した。また、支点となる刃の半径がゼロでないことによって生じる別の誤差も、刃を入れ替えることで相殺できることを示した。

ベッセル自身はそのような振り子を製作しなかったが、1864年にアドルフ・レプソルドはスイス測地委員会の委託を受けて、 長さ56cm、軸羽根の交換が可能な対称振り子を開発し、周期は約3/4秒であった。レプソルド振り子はスイスとロシアの測地機関、そしてインド測量局で広く使用された。この設計の他の広く使用された振り子は、チャールズ・パースとC・デフォージュによって製作された。

1875 年のヨーロッパ弧測定会議では、 重力測定に使用する最適な機器について議論されました。協会は反転振り子を支持することを決定し、アメリカの学者チャールズ・サンダース・パースが参加した詳細な議論の後、フリードリヒ・ヴィルヘルム・ベッセルが有名な測定を行ったベルリンの観測所で、さまざまな国で使用されているさまざまな種類の装置を使用して重力測定をやり直し、それらを比較してスケールの等式を得ることを決定しました。^{[ 16 ]}実際、地球の形状は秒振り子の長さの変化から推測できるため、米国沿岸測量局は、1875 年春にチャールズ・サンダース・パースに、この種の作業の主要な初期観測所で振り子実験を行う目的でヨーロッパに向かい、アメリカでの重力の測定結果を世界の他の地域での測定結果と関連付けるように指示しました。また、ヨーロッパのさまざまな国でこれらの研究を進める方法を綿密に研究する目的でもある。^{[ 17 ]}

可逆振り子による重力測定には、2 種類の誤差があった。一つは空気抵抗、もう一つは振り子の振動によってその懸架面に生じる動きである。これらの動きは、ベッセルの指示に基づいてレプソルド兄弟が設計した装置では特に重要であった。なぜなら、振り子は空気の粘性の影響を打ち消すために大きな質量を持っていたからである。エミール・プランタムールがこの装置で一連の実験を行っていた間、アドルフ・ヒルシュは、独創的な光学増幅法によって振り子の懸架面の動きを実証する方法を発見した。ジュネーブの数学者アイザック＝シャルル・エリゼ・セレリエとチャールズ・サンダース・パースは、この種の重力計で得られた観測結果を利用できるように、それぞれ独立に補正式を開発した。^{[ 18 ] [ 19 ]}

1874年から1886年まで欧州弧測量常設委員会の委員長を務めたカルロス・イバニェス・イバニェス・デ・イベロは、ヨハン・ヤコブ・バイヤーの死後、国際測地協会の初代会長（1887年～1891年）となった。イバニェスの会長在任中、国際測地協会は米国、メキシコ、チリ、アルゼンチン、日本の加盟により、世界的な規模となった。国際測地協会の活動の結果、1901年にフリードリヒ・ロベルト・ヘルメルトは、主に重力測定により、現実と驚くほど近い楕円体のパラメータを発見した。^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}