量子振り子

量子振り子は、化学における妨害された内部回転、散乱原子の量子特性、その他多数の量子現象を理解する上で基礎となります。小角近似の対象とならない振り子は固有の非線形性を持ちますが、量子化されたシステムのシュレーディンガー方程式は比較的簡単に解くことができます。

古典力学のラグランジアン力学を用いて、システムのハミルトニアンを構築することができる。単振り子には、1つの一般化座標（角度変位）と2つの制約（弦の長さと運動面）がある。システムの運動エネルギーと位置エネルギーは、次のように求められる。 ${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\phi }}^{2},}$

${\displaystyle U=mcl(1-\cos \phi ).}$

この結果、ハミルトニアン

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2ml^{2}}}+mgl(1-\cos \phi ).}$

この系の 時間依存シュレーディンガー方程式は

${\displaystyle i\hbar {\frac {d\Psi }{dt}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2ml^{2}}}{\frac {d^{2}\Psi }{d\phi ^{2}}}+mgl(1-\cos \phi )\Psi .}$

エネルギーレベルとそれに対応する固有状態を見つけるには、時間に依存しないシュレーディンガー方程式を解く必要があります。これは、独立変数を次のように変更することで最もよく達成されます。

${\displaystyle \eta =\phi +\pi ,}$

${\displaystyle \Psi =\psi e^{-iEt/\hbar },}$

${\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2ml^{2}}}{\frac {d^{2}\psi }{d\eta ^{2}}}+ mgl(1+\cos \eta )\psi .}$

これは単純にマシューの微分方程式である

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{d\eta ^{2}}}+\left({\frac {2mEl^{2}}{\hbar ^{2}}}-{\frac {2m^{2}gl^{3}}{\hbar ^{2}}}-{\frac {2m^{2}gl^{3}}{\hbar ^{2}}}\cos \eta \right)\psi =0,}$

その解はマシュー関数である。

が与えられ、 の可算な数の特別な値（特性値と呼ばれる）に対して、マシュー方程式は周期 で周期的な解を許容します。マシューの余弦関数、正弦関数の特性値はそれぞれ と書きます。ここで、は自然数です。マシューの余弦関数と正弦関数の周期的な特別なケースはそれぞれ と書かれることが多いですが、伝統的に異なる正規化（つまり、ノルムが に等しい）が与えられています。 ${\displaystyle q}$${\displaystyle a}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle a_{n}(q),b_{n}(q)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle CE(n,q,x),SE(n,q,x)}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle \pi}$

量子振り子の境界条件は、与えられた に対して が次のようになることを意味します。 ${\displaystyle a_{n}(q),b_{n}(q)}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{d\eta ^{2}}}+\left({\frac {2mEl^{2}}{\hbar ^{2}}}-{\frac {2m^{2}gl^{3}}{\hbar ^{2}}}-{\frac {2m^{2}gl^{3}}{\hbar ^{2}}}\cos \eta \right)\psi =0,}$

${\displaystyle a_{n}(q),b_{n}(q)={\frac {2mEl^{2}}{\hbar ^{2}}}-{\frac {2m^{2}gl^{3}}{\hbar ^{2}}}.}$

システムのエネルギーは、それぞれ偶数/奇数解に対して、マシュー方程式を解くことによって見つかった特性値に基づいて量子化されます。 ${\displaystyle E=mgl+{\frac {\hbar ^{2}a_{n}(q),b_{n}(q)}{2ml^{2}}}}$

有効潜在深度は次のように定義される。

${\displaystyle q={\frac {m^{2}gl^{3}}{\hbar ^{2}}}.}$

深いポテンシャルでは、独立したポテンシャル内の粒​​子のダイナミクスが得られます。対照的に、浅いポテンシャルでは、ブロッホ波と量子トンネル効果が重要になります。

与えられたaとqの値に対する上記の微分方程式の一般解は、それぞれ偶数解と奇数解である、線形独立な Mathieu 余弦と Mathieu 正弦の集合です。一般に、Mathieu 関数は非周期的ですが、 の特性値に対して、Mathieu 余弦と正弦は の周期で周期的になります。 ${\displaystyle a_{n}(q),b_{n}(q)}$${\displaystyle 2\pi }$

qの値が正の場合、次のことが当てはまります。

${\displaystyle C(a_{n}(q),q,x)={\frac {CE(n,q,x)}{CE(n,q,0)}},}$

${\displaystyle S(b_{n}(q),q,x)={\frac {SE(n,q,x)}{SE'(n,q,0)}}.}$

以下は、 の最初のいくつかの周期的な Mathieu 余弦関数です。 ${\displaystyle q=1}$

たとえば、(緑) はコサイン関数に似ていますが、丘がより平らで谷がより浅いことに注意してください。 ${\displaystyle CE(1,1,x)}$

• 量子調和振動子

• ブランスデン、BH; ジョアチェイン、CJ (2000)。量子力学（第2版）。エセックス：ピアソンエデュケーション。ISBN 0-582-35691-1。
• デイヴィス、ジョン H. (2006)。『低次元半導体の物理学：入門』（第 6 版再版）。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-48491-X。
• グリフィス、デイビッド・J. (2004)。量子力学入門（第2版）。プレンティス・ホール。ISBN 0-13-111892-7。
• ムハンマド・アユーブ、「原子光学量子振り子」、2011 年、イスラマバード、パキスタン、https://arxiv.org/abs/1012.6011