球状振り子

物理学において、球状振り子は振り子の高次元版である。これは、質量mの物体が球面上を摩擦なく運動するものである。物体に作用する力は、球面からの反作用と重力のみである。

質量の位置を記述するには、球面座標を用いると便利です。${\displaystyle (r,\theta ,\phi )}$ここで、rは次のように固定される。${\displaystyle r=l}$。

日常的に、運動エネルギーを書き留めるために${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}mv^{2}}$そして可能性${\displaystyle V}$ラグランジュ関数の一部${\displaystyle L=TV}$任意の一般化座標では、質量の位置はデカルト座標軸に沿って表されます。ここでは、図に示されている慣例に従い、

${\displaystyle x=l\sin \theta \cos \phi }$

${\displaystyle y=l\sin \theta \sin \phi }$

${\displaystyle z=l(1-\cos \theta )}$。

次に、これらの座標の時間微分を計算して、軸に沿った速度を求めます。

${\displaystyle {\dot {x}}=l\cos \theta \cos \phi \,{\dot {\theta }}-l\sin \theta \sin \phi \,{\dot {\phi }}}$

${\displaystyle {\dot {y}}=l\cos \theta \sin \phi \,{\dot {\theta }}+l\sin \theta \cos \phi \,{\dot {\phi }}}$

${\displaystyle {\dot {z}}=l\sin \theta \,{\dot {\theta }}}$。

したがって、

${\displaystyle v^{2}={\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}=l^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}^{2}\right)}$

そして

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}mv^{2}={\tfrac {1}{2}}ml^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}^{2}\right)}$

${\displaystyle V=mg\,z=mg\,l(1-\cos \theta )}$

定数部分を除いたラグランジアンは^{[ 1 ]}

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}ml^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \ {\dot {\phi }}^{2}\right)+mgl\cos \theta .}$

極角を含むオイラー・ラグランジュ方程式${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {\theta }}}}L-{\frac {\partial }{\partial \theta }}L=0}$

与える

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(ml^{2}{\dot {\theta }}\right)-ml^{2}\sin \theta \cdot \cos \theta \,{\dot {\phi }}^{2}+mgl\sin \theta =0}$

そして

${\displaystyle {\ddot {\theta }}=\sin \theta \cos \theta {\dot {\phi }}^{2}-{\frac {g}{l}}\sin \theta }$

いつ${\displaystyle {\dot {\phi }}=0}$この方程式は、単純な重力振り子の運動に関する微分方程式に帰着する。

同様に、方位角を含むオイラー・ラグランジュ方程式${\displaystyle \phi }$、

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {\phi }}}}L-{\frac {\partial }{\partial \phi }}L=0}$

与える

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(ml^{2}\sin ^{2}\theta \cdot {\dot {\phi }}\right)=0}$。

最後の式は、垂直軸周りの角運動量を示しています。${\displaystyle |\mathbf {L} _{z}|=l\sin \theta \times ml\sin \theta \,{\dot {\phi }}}$ 保存される。${\displaystyle ml^{2}\sin ^{2}\theta }$これは、以下のハミルトニアンの定式化において重要な役割を果たす。

進化を決定する2階微分方程式${\displaystyle \phi }$したがって

${\displaystyle {\ddot {\phi }}\,\sin \theta =-2\,{\dot {\theta }}\,{\dot {\phi }}\,\cos \theta }$。

方位角${\displaystyle \phi }$ラグランジアンに存在しないため、は周期座標であり、その共役運動量は運動の保存量であることを意味します。

円錐振り子は、次のような特殊な解を指します。${\displaystyle {\dot {\theta }}=0}$そして${\displaystyle {\dot {\phi }}}$は時間に依存しない定数である。

ハミルトニアンは

${\displaystyle H=P_{\theta }{\dot {\theta }}+P_{\phi }{\dot {\phi }}-L}$

ここで共役運動量は

${\displaystyle P_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=ml^{2}\cdot {\dot {\theta }}}$

そして

${\displaystyle P_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=ml^{2}\sin ^{2}\!\theta \cdot {\dot {\phi }}}$。

座標と運動量の観点からは、次のように表される。

$${\displaystyle H=\underbrace {\left[{\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}ml^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2}\right]} _{T}+\underbrace {{\bigg [}-mgl\cos \theta {\bigg ]}} _{V}={P_{\theta }^{2} \over 2ml^{2}}+{P_{\phi }^{2} \over 2ml^{2}\sin ^{2}\theta }-mgl\cos \theta }$$

ハミルトンの方程式は、座標と運動量の時間発展を4つの1階微分方程式で表す。

${\displaystyle {\dot {\theta }}={P_{\theta } \over ml^{2}}}$

${\displaystyle {\dot {\phi }}={P_{\phi } \over ml^{2}\sin ^{2}\theta }}$

${\displaystyle {\dot {P_{\theta }}}={P_{\phi }^{2} \over ml^{2}\sin ^{3}\theta }\cos \theta -mgl\sin \theta }$

${\displaystyle {\dot {P_{\phi }}}=0}$

モメンタム${\displaystyle P_{\phi }}$は運動の保存量である。これは、系が垂直軸を中心に回転対称であることの結果である。

球面上における質量の軌跡は、全エネルギーの式から得られる。

${\displaystyle E=\underbrace {\left[{\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}ml^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2}\right]} _{T}+\underbrace {{\bigg [}-mgl\cos \theta {\bigg ]}} _{V}}$

角運動量の垂直成分に注目することで${\displaystyle L_{z}=ml^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\phi }}}$は運動の定数であり、時間に依存しない。^{[ 1 ]}これは、重力も球からの反作用も、角運動量のこの成分に影響を与える方向には作用しないためである。

したがって

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}-mgl\cos \theta }$

${\displaystyle \left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}={\frac {2}{ml^{2}}}\left[E-{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}+mgl\cos \theta \right]}$

これは、第1種楕円積分^{[ 1 ]}につながる。${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle t(\theta )={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}ml^{2}}}\int \left[E-{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}+mgl\cos \theta \right]^{-{\frac {1}{2}}}\,d\theta }$

そして、第3種の楕円積分は${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi (\theta )={\frac {L_{z}}{l{\sqrt {2m}}}}\int \sin ^{-2}\theta \left[E-{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}+mgl\cos \theta \right]^{-{\frac {1}{2}}}\,d\theta }$。

角度${\displaystyle \theta }$2つの緯線の間に位置します。^{[ 1 ]}

${\displaystyle E>{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}-mgl\cos \theta }$。

• フーコーの振り子
• 円錐振り子
• ニュートンの運動の3法則
• 振り子
• 振り子（数学）
• ルーシアン力学

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