フルタ振り子

図1に示すように、 DCモーターに取り付けられた回転倒立振子を考えます。DCモーターはトルクを加えるために使用されます。$\displaystyle \tau _{1}}$アーム1へ。アーム1とアーム2の間のリンクは作動せず、自由に回転します。2つのアームの長さは ${\displaystyle L_{1}}$ そして ${\displaystyle L_{2}}$腕には質量がある ${\displaystyle m_{1}}$そして ${\displaystyle m_{2}}$所在地は${\displaystyle l_{1}}$ そして${\displaystyle l_{2}}$ それぞれ、腕の回転点から重心までの長さである。腕には慣性テンソルがある。 ${\displaystyle {\boldsymbol {J}}_{1}}$そして${\displaystyle {\boldsymbol {J}}_{2}}$（それぞれ腕の重心付近）。各回転関節は、減衰係数で粘性減衰される。 ${\displaystyle b_{1}}$そして ${\displaystyle b_{2}}$、 どこ ${\displaystyle b_{1}}$モーターベアリングによって提供される減衰と ${\displaystyle b_{2}}$これは、アーム1とアーム2間のピン結合から生じる減衰です。

入力、状態、およびデカルト座標系1と2を定義するために、右手座標系が使用されています。アーム1とアーム2の座標軸は主軸であり、慣性テンソルは対角化されます。

アーム1の角度回転、$\displaystyle \theta _{1}}$は水平面内で測定され、反時計回りの方向（上から見た場合）が正となる。アーム2の角度回転は、$\displaystyle \theta _{2}}$は垂直面で測定され、正面から見た場合、反時計回りの方向が正となります。腕が安定した平衡位置で垂れ下がっているとき、$\displaystyle \theta _{2}=0}$。

サーボモーターがアーム1に加えるトルク、$\displaystyle \tau _{1}}$は、（上から見た場合）反時計回りの方向が正です。外乱トルクは、 $\displaystyle \tau _{2}}$は、アーム2で経験され、正面から見た場合の反時計回りの方向が正となります。

システムの動態を導出する前に、いくつかの仮定を置く必要があります。それらは以下のとおりです。

• モーターシャフトとアーム1は、剛体的に結合されており、無限に剛性があると仮定する。
• アーム2は無限に剛性があると仮定する。
• Arm1とArm2の座標軸は、慣性テンソルが対角化されるような主軸である。
• モーターローターの慣性モーメントは無視できるものと仮定する。ただし、この項はアーム1の慣性モーメントに容易に加算することができる。
• 粘性減衰のみを考慮しています。クーロン減衰など、その他の減衰はすべて無視されていますが、最終的な支配微分方程式にこれらを追加するのは簡単な作業です。

非線形運動方程式は^{[ 15 ]で与えられる。}

${\displaystyle {\ddot {\theta }}_{1}\left(J_{1zz}+m_{1}l_{1}^{2}+m_{2}L_{1}^{2}+(J_{2yy}+m_{2}l_{2}^{2})\sin ^{2}(\theta _{2})+J_{2xx}\cos ^{2}(\theta _{2})\right)+{\ddot {\theta }}_{2}m_{2}L_{1}l_{2}\cos(\theta _{2})-m_{2}L_{1}l_{2}\sin(\theta _{2}){\dot {\theta }}_{2}^{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\sin(2\theta _{2})(m_{2}l_{2}^{2}+J_{2yy}-J_{2xx})+b_{1}{\dot {\theta }}_{1}=\tau _{1}}$

そして

${\displaystyle {\ddot {\theta }}_{1}m_{2}L_{1}l_{2}\cos(\theta _{2})+{\ddot {\theta }}_{2}(m_{2}l_{2}^{2}+J_{2zz})+1/2{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin(2\theta _{2})(-m_{2}l_{2}^{2}-J_{2yy}+J_{2xx})+b_{2}{\dot {\theta }}_{2}+gm_{2}l_{2}\sin(\theta _{2})=\tau _{2}}$

フルタ振り子の多くは、細長いアームを持つため、アームの軸方向の慣性モーメントは無視できるほど小さい。さらに、ほとんどのアームは 回転対称性を持ち、2つの主軸の慣性モーメントは等しい。したがって、慣性テンソルは次のように近似できる。

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}_{1}=diag[J_{1xx},J_{1yy},J_{1zz}]=diag[0,J_{1},J_{1}]}$

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}_{2}=diag[J_{2xx},J_{2yy},J_{2zz}]=diag[0,J_{2},J_{2}]}$

さらに簡略化するには、以下の置換を行う。アーム1の支点周りの全慣性モーメント（平行軸の定理を使用）は${\displaystyle {\hat {J_{1}}}=J_{1}+m_{1}l_{1}^{2}}$アーム2の支点周りの全慣性モーメントは${\displaystyle {\hat {J_{2}}}=J_{2}+m_{2}l_{2}^{2}}$最後に、振り子（アーム2）が平衡位置（垂直に下向きに垂れ下がっている状態）にあるときにモーターローターが受ける全慣性モーメントを定義します。${\displaystyle {\hat {J_{0}}}={\hat {J}}_{1}+m_{2}L_{1}^{2}=J_{1}+m_{1}l_{1}^{2}+m_{2}L_{1}^{2}}$。

前述の定義を支配方程式に代入すると、より簡潔な形式が得られる。

${\displaystyle {\ddot {\theta }}_{1}\left({\hat {J_{0}}}+{\hat {J_{2}}}\sin ^{2}(\theta _{2})\right)+{\ddot {\theta }}_{2}m_{2}L_{1}l_{2}\cos(\theta _{2})-m_{2}L_{1}l_{2}\sin(\theta _{2}){\dot {\theta }}_{2}^{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\sin(2\theta _{2}){\hat {J_{2}}}+b_{1}{\dot {\theta }}_{1}=\tau _{1}}$

そして

${\displaystyle {\ddot {\theta }}_{1}m_{2}L_{1}l_{2}\cos(\theta _{2})+{\ddot {\theta }}_{2}{\hat {J_{2}}}-1/2{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin(2\theta _{2}){\hat {J_{2}}}+b_{2}{\dot {\theta }}_{2}+gm_{2}l_{2}\sin(\theta _{2})=\tau _{2}}$