倒立振子

振り子の支点が空間内で固定されている構成では、運動方程式は倒立していない振り子の運動方程式と類似しています。以下の運動方程式は、摩擦やその他の運動に対する抵抗がなく、質量のない剛体棒であり、運動が2次元に限定されていることを前提としています。

${\displaystyle {\ddot {\theta }}-{g \over \ell }\sin \theta =0}$

どこ${\displaystyle {\ddot {\theta }}}$は振り子の角加速度であり、${\displaystyle g}$は地球表面の標準重力です。${\displaystyle \ell }$は振り子の長さであり、${\displaystyle \theta }$は平衡位置からの角度変位を表します。

いつ${\displaystyle {\ddot {\theta }}}$両辺に加えると、角加速度の項と同じ符号になる。

${\displaystyle {\ddot {\theta }}={g \over \ell }\sin \theta }$

したがって、倒立振り子は、最初に変位した方向に向かって垂直な不安定平衡点から加速し、その加速度は長さに反比例する。長い振り子は短い振り子よりもゆっくりと落下する。

トルクと慣性モーメントを用いた導出：

振り子は質量が点質量で構成されていると仮定する${\displaystyle m}$質量のない剛性の棒の端に固定され、長さは${\displaystyle \ell }$点質量とは反対側の端にある支点に取り付けられている。

システムの正味トルクは、慣性モーメントと角加速度の積に等しくなければならない。

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }=I{\ddot {\theta }}}$

重力によるトルクが正味トルクを生み出す。

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }=mg\ell \sin \theta \,\!}$

どこ${\displaystyle \theta \ }$これは、倒立した平衡位置から測定した角度で​​す。

結果として得られる方程式：

${\displaystyle I{\ddot {\theta }}=mg\ell \sin \theta \,\!}$

質点の慣性モーメント：

${\displaystyle I=mR^{2}}$

倒立振子の場合、半径は棒の長さです。${\displaystyle \ell }$。

代入すると${\displaystyle I=m\ell ^{2}}$

${\displaystyle m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}=mg\ell \sin \theta \,\!}$

大量および大量$\displaystyle \ell ^{2}}$両側から分割され、結果として次のようになる。

${\displaystyle {\ddot {\theta }}={g \over \ell }\sin \theta }$

台車に取り付けられた倒立振子は質量で構成されています${\displaystyle m}$長さの棒の先端に${\displaystyle \ell }$隣の画像に示すように、水平方向に移動するベースを支点として回転する。カートは直線運動に制限され、運動を促進または阻害する力の影響を受ける。

倒立振子を安定させるための基本は、定性的に3つのステップにまとめることができる。

1.傾斜角が${\displaystyle \theta }$が右方向であれば、カートは右方向に加速しなければならず、その逆もまた同様である。

2. カートの位置${\displaystyle x}$軌道中心に対する相対的な位置は、カートの位置によってヌル角（制御システムがゼロにしようとする角度誤差）をわずかに調整することによって安定化される。つまり、ヌル角${\displaystyle =\theta +kx}$どこ${\displaystyle k}$が小さいため、ポールはわずかにトラックの中心に向かって傾き、傾斜角が垂直になるトラックの中心で安定します。傾斜センサーやトラックの傾斜における、本来であれば不安定性を引き起こすようなオフセットは、安定した位置オフセットに変換されます。さらにオフセットを追加することで、位置制御が可能になります。

3. クレーンで持ち上げられる荷物などの可動支点を持つ通常の振り子は、振り子の角周波数でピーク応答を示します。${\displaystyle \omega _{p}={\sqrt {g/\ell }}}$制御不能な揺れを防ぐため、支点運動の周波数スペクトルは、$\displaystyle \omega _{p}}$倒立振子も安定性を得るためには、同様の抑制フィルタを必要とする。

ヌル角変調方式の結果として、位置フィードバックは正となり、すなわち、右方向への急な移動指令によって、カートはまず左方向に動き、その後振り子のバランスを取り戻すために右方向に移動する。振り子の不安定性と正の位置フィードバックの不安定性が相互作用して安定したシステムを生み出すという特徴は、数学的な解析を興味深く、かつやりがいのある問題にしている。

運動方程式はラグランジュ方程式を用いて導出できる。右の図を参照する。$\displaystyle \theta (t)$長さの振り子の角度は${\displaystyle l}$垂直方向に関して、作用する力は重力とx方向の外力Fである。${\displaystyle x(t)}$カートの位置を示す。

運動エネルギー${\displaystyle T}$システムの特徴は次のとおりです。

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}Mv_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}mv_{2}^{2},}$

どこ${\displaystyle v_{1}}$はカートの速度であり、${\displaystyle v_{2}}$は点質量の速度です${\displaystyle m}$。 ${\displaystyle v_{1}}$そして${\displaystyle v_{2}}$xとで表すことができる${\displaystyle \theta }$速度を位置の1階微分として表すことによって。

${\displaystyle v_{1}^{2}={\dot {x}}^{2},}$

${\displaystyle v_{2}^{2}=\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}{\left(x-\ell \sin \theta \right)}\right)^{2}+\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}{\left(\ell \cos \theta \right)}\right)^{2}.}$

式を簡略化すると${\displaystyle v_{2}}$結果として以下につながる：

${\displaystyle v_{2}^{2}={\dot {x}}^{2}-2\ell {\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}.}$

運動エネルギーは次のように表されます。

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\left(M+m\right){\dot {x}}^{2}-m\ell {\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta +{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}.}$

システムの一般化座標は${\displaystyle \theta }$そして${\displaystyle x}$それぞれに一般化された力があります。${\displaystyle x}$軸、一般化された力${\displaystyle Q_{x}}$仮想仕事を通して計算できる

${\displaystyle Q_{x}\delta x=F\delta x,\quad Q_{x}=F,}$

で${\displaystyle \theta }$軸、一般化された力${\displaystyle Q_{\theta }}$仮想仕事を通して計算することもできる

${\displaystyle Q_{\theta }\delta \theta =mgl\sin \theta \delta \theta ,\quad Q_{\theta }=mgl\sin \theta .}$

ラグランジュ方程式によれば、運動方程式は次のようになる。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\partial {T} \over \partial {\dot {x}}}-{\partial {T} \over \partial x}=F,}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\partial {T} \over \partial {\dot {\theta }}}-{\partial {T} \over \partial \theta }=mgl\sin \theta ,}$

置換${\displaystyle T}$これらの式を簡略化すると、倒立振子の運動を表す式が得られます。

${\displaystyle \left(M+m\right){\ddot {x}}-m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta +m\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta =F,}$

${\displaystyle \ell {\ddot {\theta }}-g\sin \theta ={\ddot {x}}\cos \theta .}$

これらの式は非線形ですが、制御システムの目標は振り子を直立状態に保つことなので、式は の周りで線形化できます。${\displaystyle \theta \approx 0}$。

一般化された力は、位置エネルギーとして記述することもできます。${\displaystyle V_{x}}$そして${\displaystyle V_{\theta }}$、

ダランベールの原理によれば、一般化された力と位置エネルギーは次のように結びついている。

${\displaystyle Q_{j}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}\,,}$

しかし、特定の状況下では、位置エネルギーは利用できず、一般化された力のみが利用可能となる。

ラグランジアンを取得した後${\displaystyle L=T-V}$また、オイラー・ラグランジュ方程式を用いて運動方程式を解くこともできます。

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)=0}$、

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \theta }}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}\right)=0}$。

唯一の違いは、一般化された力をポテンシャルエネルギーに組み込むかどうかである。${\displaystyle V_{j}}$または明示的に次のように記述します${\displaystyle Q_{j}}$右側の式はすべて、最終的には同じ方程式にたどり着きます。

振り子と台車の間の接合部における反力はニュートンの方程式によって与えられるため、ラグランジュ方程式の代わりにニュートンの第二法則を用いる方が有利な場合が多い。これらの方程式から、各物体について、x方向とy方向の2つの方程式が得られる。台車の運動方程式は以下のとおりである。左辺は物体にかかる力の合計、右辺は加速度を表す。

${\displaystyle F-R_{x}=M{\ddot {x}}}$

${\displaystyle F_{N}-R_{y}-Mg=0}$

上記の式において${\displaystyle R_{x}}$そして${\displaystyle R_{y}}$これらは関節部における反力である。${\displaystyle F_{N}}$は台車に作用する垂直抗力です。この2番目の式は垂直反力のみに依存するため、この式を用いて垂直抗力を求めることができます。最初の式は水平反力を求めるために使用できます。運動方程式を完成させるには、振り子に取り付けられた質点の加速度を計算する必要があります。質点の位置は慣性座標で次のように表すことができます。

${\displaystyle {\vec {r}}_{P}=(x-\ell \sin \theta ){\hat {x}}_{I}+\ell \cos \theta {\hat {y}}_{I}}$

2つの微分をとると、慣性座標系における加速度ベクトルが得られる。

${\displaystyle {\vec {a}}_{P/I}=({\ddot {x}}+\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta -\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta ){\hat {x}}_{I}+(-\ell {\dot {\theta }}^{2}\cos \theta -\ell {\ddot {\theta }}\sin \theta ){\hat {y}}_{I}}$

次に、ニュートンの第二法則を用いて、x方向とy方向の2つの式を記述します。振り子に作用する反力は正、台車に作用する反力は負となることに注意してください。これはニュートンの第三法則によるものです。

${\displaystyle R_{x}=m({\ddot {x}}+\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta -\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta )}$

${\displaystyle R_{y}-mg=m(-\ell {\dot {\theta }}^{2}\cos \theta -\ell {\ddot {\theta }}\sin \theta )}$

最初の式は、加えられた力が水平反力を計算するもう1つの方法を提供する。${\displaystyle F}$は不明です。2番目の式は、垂直反力を求めるために使用できます。最初の運動方程式は、代入によって導出されます。${\displaystyle F-R_{x}=M{\ddot {x}}}$の中へ${\displaystyle R_{x}=m({\ddot {x}}+\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta -\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta )}$それによって

${\displaystyle \left(M+m\right){\ddot {x}}-m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta +m\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta =F}$

目視で確認すると、この方程式はラグランジュ法の結果と同一である。2番目の方程式を得るには、振り子の運動方程式に、常に振り子に垂直な単位ベクトル（通常は物体座標系のx座標で表される）の内積を付ける必要がある。慣性座標系では、このベクトルは単純な2次元座標変換を用いて表すことができる。

${\displaystyle {\hat {x}}_{B}=\cos \theta {\hat {x}}_{I}+\sin \theta {\hat {y}}_{I}}$

振り子の運動方程式をベクトル形式で表すと次のようになる。${\displaystyle \sum {\vec {F}}=m{\vec {a}}_{P/I}}$ドット${\displaystyle {\hat {x}}_{B}}$両辺に を適用すると、左辺に次の式が得られます（転置は内積と同じであることに注意してください）。

${\displaystyle ({\hat {x}}_{B})^{T}\sum {\vec {F}}=({\hat {x}}_{B})^{T}(R_{x}{\hat {x}}_{I}+R_{y}{\hat {y}}_{I}-mg{\hat {y}}_{I})=({\hat {x}}_{B})^{T}(R_{p}{\hat {y}}_{B}-mg{\hat {y}}_{I})=-mg\sin \theta }$

上記の式では、反力の物体座標系成分と慣性座標系成分の関係が用いられています。質点と台車をつなぐ棒が質量を持たないという仮定は、この棒が棒に垂直な方向に荷重を伝達できないことを意味します。したがって、反力の慣性座標系成分は次のように簡単に表すことができます。${\displaystyle R_{p}{\hat {y}}_{B}}$これは、棒が荷重を棒自身の軸方向にのみ伝達できることを意味します。これにより、棒自体の張力を求めるために使用できる別の方程式が得られます。

${\displaystyle R_{p}={\sqrt {R_{x}^{2}+R_{y}^{2}}}}$

式の右辺は、同様にドット計算によって求められます。${\displaystyle {\hat {x}}_{B}}$振り子の加速度によって生じる。その結果（若干の簡略化後）を以下に示す。

${\displaystyle m({\hat {x}}_{B})^{T}({\vec {a}}_{P/I})=m({\ddot {x}}\cos \theta -\ell {\ddot {\theta }})}$

左辺と右辺を組み合わせ、mで割ると、

${\displaystyle \ell {\ddot {\theta }}-g\sin \theta ={\ddot {x}}\cos \theta }$

これはラグランジュ法の結果と全く同じである。ニュートン法を用いる利点は、すべての反作用力が明らかになり、損傷がないことを保証できる点にある。

^{上記のように、シンボリック数学ツールボックス[ 4 ]}およびその中の参考文献を使用して、ニュートンの第二法則から運動方程式を導出します。

支点が上下に急速に振動する倒立振り子は、倒立した状態で安定することができます。これは、最初に解析を行ったロシアの物理学者ピョートル・カピッツァにちなんで、カピッツァの振り子と呼ばれています。質量のない振動する台座に接続された振り子の運動方程式は、台車上の振り子の場合と同じ方法で導出されます。質点の位置は、次のように表されます。

${\displaystyle \left(-\ell \sin \theta ,y+\ell \cos \theta \right)}$

そして、速度は位置の1階微分によって求められます。

${\displaystyle v^{2}={\dot {y}}^{2}-2\ell {\dot {y}}{\dot {\theta }}\sin \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}.}$

このシステムのラグランジアンは次のように表すことができます。

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}m\left({\dot {y}}^{2}-2\ell {\dot {y}}{\dot {\theta }}\sin \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)-mg\left(y+\ell \cos \theta \right)}$

そして運動方程式は以下から導かれる。

${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial {L} \over \partial {\dot {\theta }}}-{\partial {L} \over \partial \theta }=0}$

その結果：

${\displaystyle \ell {\ddot {\theta }}-{\ddot {y}}\sin \theta =g\sin \theta .}$

yが単振動を表す場合、${\displaystyle y=A\sin \omega t}$すると、次の微分方程式が得られます。

${\displaystyle {\ddot {\theta }}-{g \over \ell }\sin \theta =-{A \over \ell }\omega ^{2}\sin \omega t\sin \theta .}$

この方程式には基本的な閉形式解はありませんが、さまざまな方法で調べることができます。たとえば、振動の振幅が小さい場合、マチュー方程式によって近似されます。解析によると、振り子は高速振動では直立状態を維持します。最初のグラフは、${\displaystyle y}$ゆっくりとした振動で、振り子は直立位置から外れる際にすぐに倒れます。${\displaystyle \theta }$短時間で90°を超えた場合、振り子が地面に落ちたことを意味します。 ${\displaystyle y}$は高速振動であり、振り子は垂直位置の周りで安定させることができます。2 番目のグラフは、垂直位置から外乱を受けたときに、振り子が垂直位置の周りで振動を開始することを示しています (${\displaystyle \theta =0}$垂直位置からのずれは小さく、振り子は倒れません。