円錐振り子

円錐振り子は、軸から吊り下げられた紐または棒の端に固定された重り（または錘）で構成されています。その構造は普通の振り子に似ていますが、円弧に沿って前後に揺れるのではなく、円錐振り子の錘は、紐（または棒）が円錐を描きながら、円または楕円上を一定の速度で動きます。円錐振り子は、1660年頃にイギリスの科学者ロバート・フックによって初めて研究されました^{[1] 。}惑星の軌道運動のモデルとして。^[2] 1673年にオランダの科学者クリスティアーン・ホイヘンスは、著書「振動する時計」で、遠心力の新しい概念を使用してその周期を計算しました。後に、いくつかの機械式時計やその他の時計仕掛けの計時装置の計時要素として使用されました。^{[3] [4]}

1800年代には、通常の振り子では避けられないぎくしゃくした動きではなく、滑らかな動きが求められるいくつかの時計仕掛けの計時機構の計時要素として円錐振り子が使用されました。^{[4] 2つの例としては、}灯台 のレンズを回転させて海に光を当てる機構と、地球が回転するにつれて望遠鏡が空を横切る星を滑らかに追跡できるようにする赤道儀 望遠鏡の位置検出装置が挙げられます。 ^[3]

円錐振り子の最も重要な用途の 1 つは、 1800 年代の蒸気時代に蒸気機関の速度を調節した、1788 年にジェームズ・ワットによって発明されたフライボール調速機 (遠心調速機) でした。

トーテムテニスやテザーボールなどの遊び場のゲームでは、コードでポールに取り付けられたボールが円錐振り子として機能しますが、テザーボールでは、コードがポールに巻き付くにつれて振り子が短くなります。遊園地の乗り物の中にも円錐振り子として機能するものがあります。

質量mの錘が、垂直から 角度θで長さLの弦の上を一定の速度vで摩擦なしに円周上を回転する円錐振り子を考えます。

振り子には 2 つの力が作用します。

• 弦の張力T は弦の線に沿って作用し、吊り下げ点に向かって作用します。
• 下向きの錘の重さ mg。ここで、mは錘の質量、gは局所的な重力加速度です。

弦によって及ぼされる力は、円の中心に向かう水平成分T  sin( θ ) と、上方向の垂直成分T  cos( θ ) に分解できます。ニュートンの第 2 法則から、弦の張力の水平成分によって、おもりは円の中心に向かう 求心加速度を持ちます。

${\displaystyle T\sin \theta ={\frac {mv^{2}}{r}}\,}$

垂直方向には加速がないので、弦の張力の垂直成分はおもりの重さと等しく、反対になります。

${\displaystyle T\cos \theta =mg\,}$

これら 2 つの方程式をT / mについて解いて等しくすると、Tとm が消去され 、求心加速度が得られます。

${\displaystyle {g\tan \theta }={\frac {v^{2}}{r}}}$

少し整理すると次のようになります。

${\displaystyle {\frac {g}{\cos \theta }}={\frac {v^{2}}{r\sin \theta }}}$

振り子の速度は一定なので、円周 2 πr を振り子の 1 回転に必要な 時間tで割ったものとして表すことができます。

${\displaystyle v={\frac {2\pi r}{t}}}$

この式の右辺を前の式の vに代入すると、次のようになります。

${\displaystyle {\frac {g}{\cos \theta }}={\frac {({\frac {2\pi r}{t}})^{2}}{r\sin \theta }}={\frac {(2\pi )^{2}r}{t^{2}\sin \theta }}}$

三角関数の等式 tan( θ ) = sin( θ ) / cos( θ ) を用いてtについて解くと、おもりが1回転するのに必要な時間は

${\displaystyle t=2\pi {\sqrt {\frac {r}{g\tan \theta }}}}$

実際の実験では、r は変化し、一定の弦の長さLほど簡単には測定できません。 r、h、L が直角三角形を形成し、θ が辺hと斜辺Lの間の角度であることに注目すると、 r を方程式から削除できます(図を参照)。したがって、

${\displaystyle r=L\sin \theta \,}$

この値をrに代入すると、唯一の可変パラメータが吊り下げ角度θである式が得られる 。^[5]

角度θが小さい場合、cos( θ )≈1となる。この場合、

${\displaystyle t\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}$

そのため、小さな角度では、円錐振り子の周期tは同じ長さの通常の振り子の周期と等しくなります。また、小さな角度の周期は、角度θの変化にほぼ依存しません。つまり、回転周期は、回転を維持するために加えられる力にほぼ依存しません。この特性は等時性と呼ばれ、通常の振り子にも共通しており、どちらのタイプの振り子も計時に役立ちます。

• ニュートンの運動の3つの法則
• 振り子
• 振り子（数学）

• 円錐振り子のインタラクティブな Java シミュレーション