ハーモノグラフ

ハーモノグラフは、振り子を使って幾何学的な図形を作成する機械装置です。作成される図形は、通常リサジュー曲線、またはそれに関連するより複雑な図形です。19世紀半ばに登場し、1890年代に人気がピークに達したこの装置は、特定の人物に明確に帰属させることはできませんが、グラスゴー大学の数学教授であるヒュー・ブラックバーンが公式の発明者であると一般的に考えられています。^{[ 1 ]}

いわゆる「横型」ハーモノグラフと呼ばれるシンプルな装置は、2つの振り子を使って描画面に対するペンの動きを制御します。一方の振り子はペンを一方の軸に沿って前後に動かし、もう一方の振り子は描画面を垂直な軸に沿って前後に動かします。振り子の周波数と位相を互いに変化させることで、さまざまなパターンを作り出すことができます。このようにシンプルなハーモノグラフでも、楕円、螺旋、8の字、その他のリサジュー図形を描くことが可能です。

より複雑なハーモノグラフは、3つ以上の振り子、または連結された振り子（例えば、一方の振り子をもう一方の振り子に吊り下げるなど）を組み合わせたり、回転運動を利用したりします。回転運動では、1つ以上の振り子がジンバルに取り付けられ、あらゆる方向に動くことができます。

ハーモノグラフの一種であるピントグラフは、以下のリンク先に示すように、2枚の回転ディスクの相対運動に基づいています。（ピントグラフは、図形を拡大するために使用される機械装置であるパントグラフと混同しないように注意してください。）

1870年代には、AEドンキンとサミュエル・チャールズ・ティスリーが製作した装置に関連して、ハーモノグラフという用語が確認されている。 ^{[ 2 ]}

ブラックバーン振り子は、単振動を実演するための装置で、1844 年にそれを記述したヒュー・ブラックバーンにちなんで名付けられました。これは、1815 年にジェームズ・ディーンによって初めて議論され、同年、ナサニエル・ボウディッチによって数学的に分析されました。 ^{[ 3 ]}おもりは、V 字型の一対の紐から吊り下げられた紐から吊り下げられており、振り子は異なる周期で 2 つの直交する方向に同時に振動します。その結果、おもりはリサジュー曲線に似た軌跡を描きます。これは、ハーモノグラフとして知られる機械装置のファミリーに属します。^{[ 4 ]}

20世紀半ばの物理学の教科書では、このタイプの振り子を二重振り子と呼ぶことがある。^{[ 5 ]}

ハーモノグラフは、減衰振り子の動きを利用して図形を生成します。減衰振り子の動きは次の式で表されます。

${\displaystyle x(t)=A\sin(tf+p)e^{-dt},}$

その中で${\displaystyle f}$周波数を表す、${\displaystyle p}$位相を表す、${\displaystyle A}$振幅を表す、${\displaystyle d}$減衰を表し、${\displaystyle t}$は時間を表します。その振り子が2つの軸を中心に（円形または楕円形で）動くことができる場合、重ね合わせの原理により、振り子の下部に接続された棒の1つの軸に沿った動きは次の式で表されます。

${\displaystyle x(t)=A_{1}\sin(tf_{1}+p_{1})e^{-d_{1}t}+A_{2}\sin(tf_{2}+p_{2})e^{-d_{2}t}.}$

典型的なハーモノグラフは、このように動く2つの振り子と、これらの振り子に接続された2本の垂直な棒によって動かされるペンで構成されています。したがって、ハーモノグラフ図形の軌跡は、パラメトリック方程式によって記述されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=A_{1}\sin(tf_{1}+p_{1})e^{-d_{1}t}+A_{2}\sin(tf_{2}+p_{2})e^{-d_{2}t},\\y(t)&=A_{3}\sin(tf_{3}+p_{3})e^{-d_{3}t}+A_{4}\sin(tf_{4}+p_{4})e^{-d_{4}t}.\end{aligned}}}$

適切なコンピュータプログラムを使用すれば、これらの数式をハーモノグラフを模倣したグラフに変換できます。各数式に最初の数式をもう一度適用すると、動く紙片を模倣できます（下図参照）。

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  オーストラリア、キャンベラのクエストコンにあるハーモノグラフ
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  単純な横方向ハーモノグラフによって生成された図
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  単純な横方向ハーモノグラフによって生成された図
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  ピントグラフで作成された図
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  コンピューターで生成されたハーモノグラフの図

• スピログラフ

• 独自の単一振り子設計を備えた複雑なハーモノグラフ
• ハーモノグラフの背景、方程式、および図解
• 3つの振り子を持つ回転式ハーモグラフの作り方
• 3つの振り子を持つ回転式ハーモグラフのインタラクティブなJavaScriptシミュレーション
• HTML5アニメーションハーモノグラフ
• 仮想ハーモノグラフWebアプリケーション
• MS Excelで作成したアニメーション付きハーモノグラフモデル
• iOS向けのインタラクティブなピントグラフ
• ハーモノグラフ、ピントグラフ、およびExcelモデル