弾性振り子

バネには静止時の長さがある$\displaystyle \ell _{0}}$長さを伸ばすことができる${\displaystyle x}$振り子の振動角は${\displaystyle \theta }$。

ラグランジアン​${\displaystyle L}$は： $${\displaystyle L=TV}$$ どこ${\displaystyle T}$運動エネルギーと${\displaystyle V}$は位置エネルギーです。

フックの法則は、バネ自体の持つ位置エネルギーを表す。 $${\displaystyle V_{k}={\frac {1}{2}}kx^{2}}$$ どこ${\displaystyle k}$はばね定数です。

一方、 重力による位置エネルギーは、質量の高さによって決まります。与えられた角度と変位に対して、位置エネルギーは次のようになります。$${\displaystyle V_{g}=-gm(\ell _{0}+x)\cos \theta }$$ どこ${\displaystyle g}$は重力加速度です。

運動エネルギーは次のように表されます。 $${\displaystyle T={\frac {1}{2}}mv^{2}}$$ どこ${\displaystyle v}$は質量の速度です。${\displaystyle v}$他の変数に関して言えば、速度はバネに沿った動きとバネに垂直な動きの組み合わせとして表される。 $${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+\left(\ell _{0}+x\right)^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)}$$

したがって、ラグランジアンは次のようになります。^{[ 1 ]}$${\displaystyle L=T-V_{k}-V_{g}}$$$${\displaystyle L[x,{\dot {x}},\theta ,{\dot {\theta }}]={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+\left(\ell _{0}+x\right)^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)-{\frac {1}{2}}kx^{2}+gm\left(\ell _{0}+x\right)\cos \theta }$$

自由度が2つあるので、${\displaystyle x}$そして${\displaystyle \theta }$運動方程式は、2つのオイラー・ラグランジュ方程式を用いて求めることができる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial L}{\partial x}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}&=0\\[1ex]{\frac {\partial L}{\partial \theta }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}&=0\end{aligned}}}$$

のために${\displaystyle x}$: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle m\left(\ell _{0}+x\right){\dot {\theta }}^{2}-kx+gm\cos \theta -m{\ddot {x}}=0}$$${\displaystyle {\ddot {x}}}$隔離された: $${\displaystyle {\ddot {x}}=(\ell _{0}+x){\dot {\theta }}^{2}-{\frac {k}{m}}x+g\cos \theta }$$

そして、${\displaystyle \theta }$: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle -gm\left(\ell _{0}+x\right)\sin \theta -m\left(\ell _{0}+x\right)^{2}{\ddot {\theta }}-2m\left(\ell _{0}+x\right){\dot {x}}{\dot {\theta }}=0}$$${\displaystyle {\ddot {\theta }}}$隔離された: $${\displaystyle {\ddot {\theta }}=-{\frac {g}{\ell _{0}+x}}\sin \theta -{\frac {2{\dot {x}}}{\ell _{0}+x}}{\dot {\theta }}}$$

これらは長さをスケーリングすることでさらに単純化できる${\textstyle s={x}/{\ell _{0}}}$そして時間${\textstyle \tau =t{\sqrt {{g}/{\ell _{0}}}}}$システムを次のように表現する${\displaystyle s}$そして${\displaystyle \tau }$結果として無次元の運動方程式が得られる。残りの無次元パラメータは${\displaystyle \Omega ^{2}={\frac {k\ell _{0}}{mg}}}$システムの特徴を記述する。 $${\displaystyle {\frac {d^{2}s}{d\tau ^{2}}}=\left(s+1\right)\left({\frac {d\theta }{d\tau }}\right)^{2}-\Omega ^{2}s+\cos \theta }$$$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{d\tau ^{2}}}=-{\frac {\sin \theta }{s+1}}-{\frac {2}{1+s}}{\frac {ds}{d\tau }}{\frac {d\theta }{d\tau }}}$$

弾性振り子は、2つの連立常微分方程式で記述されます。これらは数値的に解くことができます。さらに、パラメータのさまざまな値に対して、このシステムにおける秩序-カオス-秩序^{[ 7 ]}という興味深い現象を解析的手法を用いて研究することができます。${\displaystyle \Omega ^{2}}$および初期条件${\displaystyle s}$そして${\displaystyle \theta }$。

もう一つの例があります 。二重弾性振り子です。^{[ 8 ]を参照してください。}