サイクロイド

幾何学において、サイクロイドとは、円上の点が滑ることなく直線上を転がる際に描く曲線のことである。サイクロイドはトロコイドの一種であり、ルーレットの一例でもある。ルーレットとは、ある曲線が別の曲線上を転がることで生成される曲線である。

尖点が上向きのサイクロイドは、一様な重力下での最速降下曲線（最速降下曲線）です。また、単振動（繰り返し上下に転がる）する物体の周期が、その物体の開始位置に依存しない曲線（等時曲線）の形でもあります。物理学では、静止した荷電粒子を互いに垂直な一様な電場と磁場の下に置くと、粒子の軌跡はサイクロイドを描きます。

サイクロイドは、トロイのヘレンのように、17世紀の数学者の間で頻繁に論争を引き起こしたため、 「幾何学者のヘレン」と呼ばれてきました。サラ・ハートは、この曲線の性質が非常に美しいため、このように名付けられたと考えています。^{[ 1 ] [ 2 ]}

数学史家は、サイクロイドの発見者としていくつかの候補を挙げている。数学史家のポール・タンネリーは、イアンブリコスが記述したアンティオキアのカルプスの同様の研究を引用し、このような単純な曲線は古代の人々に知られていたに違いないと推測した。^{[ 3 ]} 1679年に執筆した イギリスの数学者ジョン・ウォリスは、この発見をニコラウス・クザーヌスに帰したが、^{[ 4 ]}その後の研究によると、ウォリスが間違っていたか、彼が使用した証拠が現在失われていることが示されている。^{[ 5 ]} 19世紀末にはガリレオ・ガリレイの名前が挙げられた^{[ 6 ]} 。また、少なくとも1人の著者は、マラン・メルセンヌに功績が帰せられたと報告している。^{[ 7 ]}モーリッツ・カントール^{[ 8 ]}とジークムント・ギュンター^{[ 9 ]}の研究に始まり、現在では学者たちはフランスの数学者シャルル・ド・ボヴェル^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}に優先権を与えている。これは、1503 年に出版された彼の著書『幾何学入門』におけるサイクロイドの記述に基づいている。 ^{[ 13 ]} この著作の中で、ボヴェルは転がる車輪によって描かれる弧を、小さな車輪よりも半径が 125% 大きい大きな円の一部と誤解している。^{[ 5 ]}

ガリレオはサイクロイドという用語を考案し、この曲線を本格的に研究した最初の人物でした。^{[ 5 ]} 彼の弟子であるエヴァンジェリスタ・トリチェリによれば、^{[ 14 ]} 1599年にガリレオは、生成円と結果として得られるサイクロイドの両方を金属板にトレースし、切り出して重さを量るという、異例の経験的なアプローチでサイクロイドの求積（サイクロイドの下の面積を求めること）を試みました。彼はその比率がおよそ3:1であることを発見しましたが、これは真の値であるものの、彼はその比率が無理数であると誤って結論付け、求積が不可能になると考えました。^{[ 7 ]} 1628年頃、ジル・ペルソン・ド・ロベルヴァルは、ペール・マラン・メルセンヌから求積問題を知った可能性が高く、1634年にカヴァリエリの定理を用いて求積を行いました。^{[ 5 ]} しかし、この研究は1693年まで出版されなかった（彼の『不可分なもの論』の中で）。^{[ 15 ]}

サイクロイドの接線の構築は、1638年8月にメルセンヌがロベルヴァル、ピエール・ド・フェルマー、ルネ・デカルトから独自の方法を受け取ったことに遡ります。メルセンヌはこれらの結果をガリレオに伝え、ガリレオはそれを弟子のトリチェリとヴィヴィアーニに伝え、彼らは求積法を作成することができました。この結果と他の結果は、1644年にトリチェリによって発表されました^{[ 14 ]}。これはサイクロイドに関する最初の印刷物でもあります。これにより、ロベルヴァルはトリチェリを盗作で告発しましたが、論争は1647年のトリチェリの早すぎる死によって終結しました^{[ 15 ]。}

1658年、ブレーズ・パスカルは数学を諦めて神学に転向したが、歯痛に苦しんでいた時に、サイクロイドに関するいくつかの問題について考え始めた。歯痛が治まったので、彼はこれを研究を続けるための天の兆しと捉えた。8日後、彼は論文を完成させ、その成果を公表するためにコンテストを提案した。パスカルはサイクロイドの重心、面積、体積に関する3つの問題を提案し、優勝者には20と40のスペイン・ダブロンの賞金が贈られることとした。審査員はパスカル、ロベルヴァル、カルカヴィ上院議員で、提出された2つの論文（ジョン・ウォリスとアントワーヌ・ド・ラルーヴェールによるもの）はどちらも不十分と判断された。^{[ 16 ]： 198} コンテストが進行中に、クリストファー・レンはパスカルにサイクロイドの修正の証明案を送った。ロベルヴァルはすぐに、自分は何年も前からその証明を知っていたと主張した。ウォリスはレンの証明を（レンの功績として）ウォリスの『Tractatus Duo』に掲載し、最初の出版証明の優先権をレンに与えた。^{[ 15 ]}

15年後、クリスティアーン・ホイヘンスはサイクロイド振り子をクロノメーターの改良に用い、粒子が開始点に関係なく、逆サイクロイド弧のセグメントを同じ時間で通過することを発見した。1686年、ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツは解析幾何学を用いて、単一の方程式で曲線を記述した。1696年、ヨハン・ベルヌーイは最速降下曲線問題を提起し、その解はサイクロイドである。^{[ 15 ]}

原点を通るサイクロイドは、半径rの円がx軸上を正の側 ( y ≥ 0 ) で転がることによって生成され、点( x , y )から構成され、 $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(t-\sin t)\\y&=r(1-\cos t),\end{aligned}}}$$ ここで、 tは回転する円が回転した角度に対応する実数パラメータです。与えられたtに対して、円の中心は( x , y ) = ( rt , r )にあります。^{[ 17 ]}

デカルト方程式は、 y方程式をtについて解き、それをx方程式に代入することによって得られます。$${\displaystyle x=r\cos ^{-1}\left(1-{\frac {y}{r}}\right)-{\sqrt {y(2r-y)}},}$$または、多値逆余弦を消去する：

${\displaystyle r\cos \!\left({\frac {x+{\sqrt {y(2r-y)}}}{r}}\right)+y=r.}$

y をxの関数として考えると、サイクロイドはx軸上の尖点を除いてあらゆる場所で微分可能であり、導関数は に近づく。${\displaystyle \infty }$または${\displaystyle -\infty }$尖点（y=0 ）付近。tから( x , y )への写像は微分可能であり、実際にはC∞^級で、尖点では導関数は0である。

点におけるサイクロイドの接線の傾き${\displaystyle (x,y)}$は$\textstyle {\frac {dy}{dx}}=\cot({\frac {t}{2}})}$。

1 つの尖点から次の尖点までのサイクロイド線分は、サイクロイドの弧と呼ばれます。たとえば、${\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi }$そして${\displaystyle 0\leq x\leq 2\pi }$。

サイクロイドを関数のグラフと考える${\displaystyle y=f(x)}$、微分方程式を満たす：^{[ 18 ]}

${\displaystyle \left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}={\frac {2r}{y}}-1.}$

定義すると${\displaystyle h=2r-y=r(1+\cos t)}$サイクロイドの頂点（水平接線と${\displaystyle \cos t=-1}$)すると、次のようになります。

$\displaystyle \left({\frac {dx}{dh}}\right)^{2}={\frac {2r}{h}}-1.}$

サイクロイドのインボリュートは、それが由来するサイクロイドと全く同じ形状をしています。これは、最初にサイクロイドの半円弧上に置かれていたワイヤーの先端が描く軌跡として視覚化できます。ワイヤーが元のサイクロイドに接したまま展開していくと、新しいサイクロイドを描きます（サイクロイド振り子と弧長も参照）。

デモンストレーション

このデモンストレーションでは、サイクロイドの転がる車輪の定義と、移動点の軌跡に接する瞬間速度ベクトルを使用します。隣の図では、${\displaystyle P_{1}}$そして${\displaystyle P_{2}}$は、2 つの回転する円に属する 2 つの点であり、最初の円の底辺は 2 番目の円の頂点のすぐ上にあります。最初は、 ${\displaystyle P_{1}}$そして${\displaystyle P_{2}}$2 つの円の交点で一致する。円が同じ速度で水平方向に転がるとき、${\displaystyle P_{1}}$そして${\displaystyle P_{2}}$2つのサイクロイド曲線をたどります。赤い線で結ばれた曲線を考慮に入れます。${\displaystyle P_{1}}$そして${\displaystyle P_{2}}$ある時点では、線分は常に下側の弧に接していることが証明される。${\displaystyle P_{2}}$そして、上部の弧に直交する${\displaystyle P_{1}}$。 させて${\displaystyle Q}$与えられた時刻において、上側の円と下側の円の共通点をとする。すると、次のようになる。

• ${\displaystyle P_{1},Q,P_{2}}$それらは同一直線上にある。実際、同じ回転速度は同じ角度を生み出す。${\displaystyle {\widehat {P_{1}O_{1}Q}}={\widehat {P_{2}O_{2}Q}}}$それで${\displaystyle {\widehat {O_{1}QP_{1}}}={\widehat {O_{2}QP_{2}}}}$要点${\displaystyle Q}$線上に横たわる${\displaystyle O_{1}O_{2}}$したがって${\displaystyle {\ワイドハット {P_{1}QO_{1}}}+{\ワイドハット {P_{1}QO_{2}}}=\pi }$そして同様に${\displaystyle {\ワイドハット {P_{2}QO_{2}}}+{\ワイドハット {P_{2}QO_{1}}}=\pi }$平等から${\displaystyle {\widehat {O_{1}QP_{1}}}}$そして${\displaystyle {\widehat {O_{2}QP_{2}}}}$それも持っている ${\displaystyle {\ワイドハット {P_{1}QO_{2}}}={\ワイドハット {P_{2}QO_{1}}}}$続いて${\displaystyle {\ワイドハット {P_{1}QO_{1}}}+{\ワイドハット {P_{2}QO_{1}}}=\pi }$。
• もし${\displaystyle A}$は、${\displaystyle P_{1}}$線分へ${\displaystyle O_{1}O_{2}}$そして円の接線は${\displaystyle P_{2}}$すると三角形${\displaystyle P_{1}AP_{2}}$作図から容易にわかるように、二等辺三角形である。${\displaystyle {\widehat {QP_{2}A}}={\tfrac {1}{2}}{\widehat {P_{2}O_{2}Q}}}$そして${\displaystyle {\widehat {QP_{1}A}}={\tfrac {1}{2}}{\widehat {QO_{1}R}}=}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\widehat {QO_{1}P_{1}}}}$前述の等式については、${\displaystyle {\widehat {P_{1}O_{1}Q}}}$そして${\displaystyle {\ワイドハット {QO_{2}P_{2}}}}$それから${\displaystyle {\widehat {QP_{1}A}}={\widehat {QP_{2}A}}}$そして${\displaystyle P_{1}AP_{2}}$二等辺三角形です。
• から${\displaystyle P_{2}}$直交するセグメント${\displaystyle O_{1}O_{2}}$、 から${\displaystyle P_{1}}$上側の円に接する直線、そして${\displaystyle B}$会合地点では、${\displaystyle P_{1}AP_{2}B}$平行線間の角度に関する定理を用いると、これはひし形になります。
• 次に速度について考えてみましょう${\displaystyle V_{2}}$の${\displaystyle P_{2}}$これは、転がり速度という2つの要素の合計として考えることができる。${\displaystyle V_{a}}$そしてドリフト速度${\displaystyle V_{d}}$円は滑らずに転がるため、弾性係数は等しくなります。${\displaystyle V_{d}}$と並行しています${\displaystyle P_{1}A}$、 その間${\displaystyle V_{a}}$は下の円に接している${\displaystyle P_{2}}$したがって、${\displaystyle P_{2}A}$ひし形は、以下の構成要素から構成される。${\displaystyle V_{d}}$そして${\displaystyle V_{a}}$したがって、ひし形と相似（同じ角度）である。$BP_1AP_2$なぜなら、それらは平行な辺を持っているからです。${\displaystyle V_{2}}$、全速度${\displaystyle P_{2}}$は、${\displaystyle P_{2}P_{1}}$どちらも平行な辺を持つ2つのひし形の対角線であり、共通点がある。${\displaystyle P_{1}P_{2}}$接点${\displaystyle P_{2}}$したがって、速度ベクトルは${\displaystyle V_{2}}$延長の上に横たわる${\displaystyle P_{1}P_{2}}$。 なぜなら${\displaystyle V_{2}}$はサイクロイドに接している${\displaystyle P_{2}}$したがって、${\displaystyle P_{1}P_{2}}$下側のサイクロイドの接線と一致する。${\displaystyle P_{2}}$。
• 同様に、${\displaystyle P_{1}P_{2}}$は直交する${\displaystyle V_{1}}$（ひし形のもう一方の対角線）
• これは、最初に下側のサイクロイドの半円弧上に張られ、上側の円に固定されたワイヤーの先端が、${\displaystyle P_{1}}$先端の速度が常にワイヤに直交しているため（伸縮しない）、ワイヤは長さを変えずにその経路に沿って点を追従します。ワイヤは同時に接線になります。${\displaystyle P_{2}}$張力と上記の事実により、下側の弧に接線が引かれます。（接線でなければ、不連続点が生じます。）${\displaystyle P_{2}}$（結果として張力のバランスが崩れる。）

単純振り子を逆サイクロイドの尖点から吊り下げ、糸がその弧の1つに接するように拘束し、振り子の長さLがサイクロイドの弧長の半分（すなわち、生成円の直径の2倍、L = 4r ）に等しい場合、振り子の重りもサイクロイドの軌跡を描きます。このような振り子は等時性であり、振幅に関係なく、一定の時間間隔で揺れます。尖点の位置を中心とする座標系を導入すると、運動方程式は次のようになります 。$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r[2\theta (t)+\sin 2\theta (t)]\\y&=r[-3-\cos 2\theta (t)],\end{aligned}}}$$ どこ${\displaystyle \theta }$は弦の直線部分が垂直軸となす角度であり、次式で与えられる。 $${\displaystyle \sin \theta (t)=A\cos(\omega t),\omega ^{2}={\frac {g}{L}}={\frac {g}{4r}},}$$ ここで、A < 1は「振幅」であり、${\displaystyle \omega }$は振り子の角周波数、gは重力加速度である。

17世紀のオランダの数学者クリスティアーン・ホイヘンスは、航海で使用するためのより正確な振り子時計の設計を探求している際に、サイクロイドのこれらの性質を発見し証明した。^{[ 20 ]}

サイクロイドにはいくつかの曲線が関連している。

• トロコイド：曲線を描く点が回転円の内側（縮円）または外側（長円）にあるサイクロイドの一般化。
• ハイポサイクロイド：サイクロイドの一種で、直線ではなく円の内側を円が転がる形。
• エピサイクロイド：サイクロイドの一種で、直線ではなく別の円の外側を円が転がる形。
• ハイポトロコイド：生成点が回転円の端にない場合もある、ハイポサイクロイドの一般化。
• エピトロコイド：エピサイクロイドの一般化であり、生成点が回転円の端にない場合もある。

これらの曲線はすべて、均一な曲率を持つ別の曲線に沿って転がる円を持つルーレットです。サイクロイド、エピサイクロイド、ハイポサイクロイドはそれぞれ、そのエボリュートと相似であるという性質を持っています。qがその曲率と円の半径の積であり、エピサイクロイドの場合は正、ハイポサイクロイドの場合は負の符号が付く場合、曲線とエボリュートの相似比は1 + 2 qです。  

古典的なスピログラフのおもちゃは、ハイポトロコイド曲線とエピトロコイド曲線を描くことができる。

サイクロイドアーチは、建築家ルイス・カーンがテキサス州フォートワースのキンベル美術館の設計に使用した。また、ウォレス・K・ハリソンもニューハンプシャー州ハノーバーのダートマス大学ホプキンスセンターの設計に使用した。^{[ 21 ]}

初期の研究では、黄金時代のバイオリンの板の横方向のアーチ状の曲線の一部は、短縮サイクロイド曲線によってよくモデル化されることが示されました。^{[ 22 ]}その後の研究では、短縮サイクロイドはこれらの曲線の一般的なモデルとして機能しないことが示され、曲線はかなり変化します。^{[ 23 ]}

• サイクロゴン
• サイクロイドギア
• 周期関数のリスト
• 等時曲線
• トロコイド曲線（円の外側にある点の場合）

• 物理学からの応用例：Ghatak, A. & Mahadevan, L.「クラックストリート：シートを突き破る円柱のサイクロイド状後流」Physical Review Letters、91、（2003） 。link.aps.org
• エドワード・カスナー＆ジェームズ・ニューマン（1940）『数学と想像力』、196 ～ 200ページ、サイモン＆シュスター。
• ウェルズ D ( 1991). 『ペンギン版 奇妙で興味深い幾何学辞典』 ニューヨーク：ペンギンブックス。445–47頁。ISBN  0-14-011813-6。

• オコナー、ジョン・J.、ロバートソン、エドモンド・F.、「サイクロイド」、マックチューター数学史アーカイブ、セント・アンドリュース大学
• ワイススタイン、エリック・W. 「サイクロイド」 . MathWorld .2007年4月27日に取得。
• サイクロイド（切断結び目）
• サイクロイドおよびあらゆる形態のサイクロイド曲線に関する論文、リチャード・A・プロクター（文学士）によるモノグラフ、コーネル大学図書館により掲載。
• サイクロイド曲線（Sean Madsen 著、David von Seggern 氏、 Wolfram Demonstrations Projectによる寄稿）
• PlanetPTC (Mathcad) 上のサイクロイド
• トム・アポストル著『微積分問題への視覚的アプローチ』