Q係数

物理学と工学において、品質係数またはQ係数は、発振器または共振器の減衰不足を表す無次元パラメータです。これは、共振器に蓄えられた初期エネルギーと、振動サイクルの1ラジアンで失われるエネルギーの比として定義されます。 ^[1] Q係数は、振動駆動力がかかったときの共振器の中心周波数と帯域幅の比として定義されることもあります。これら2つの定義は、数値的には類似していますが、同一ではありません。^[2] Qが高いほど、エネルギー損失率が低く、振動がゆっくり消えることを示します。高品質のベアリングから吊り下げられ、空中で振動する振り子はQが高くなりますが、オイルに浸された振り子はQが低くなります。品質係数の高い共振器は減衰が低いため、より長く鳴ったり振動したりします。

Q 係数は、減衰不足の高調波発振器(共振器)の共振動作を表すパラメータです。正弦波駆動の共振器はQ係数が高く、 (共振周波数で) より大きな振幅で共振しますが、共振する周波数の周囲の周波数範囲は狭くなります。発振器が共振する周波数範囲は帯域幅と呼ばれます。したがって、ラジオ受信機の高Q調整回路は調整が難しくなりますが、選択性は高くなります。つまり、スペクトル上で近くにある他の局からの信号をより適切にフィルタリングできます。高Q発振器は、より狭い範囲の周波数で発振し、より安定しています。

発振器の品質係数は、その構造によってシステムごとに大きく異なります。ダンピングが重要なシステム（ドアがバタンと閉まらないようにするダンパーなど）のQ は1 ⁄ 2近くになります。強い共鳴または高周波安定性を必要とする時計、レーザー、その他の共振システムは高い品質係数を持ちます。音叉の品質係数は約 1000 です。原子時計、加速器で使用される超伝導 RF空洞、一部の高Q レーザーの品質係数は 10 ^{11 [3]}以上に達することもあります。^[4]

物理学者やエンジニアは、発振器の減衰度合いを表すために、さまざまな代替量を使用します。重要な例としては、減衰比、相対帯域幅、線幅、オクターブ単位で測定される帯域幅などがあります。

Qの概念は、ウェスタン・エレクトリック社のエンジニアリング部門のKSジョンソンがコイル（インダクタ）の品質を評価していたときに生まれました。彼がQという記号を選んだのは、当時アルファベットの他の文字がすべて使われていたからに過ぎません。この用語は「品質」や「品質係数」の略語として意図されたものではありません。しかし、これらの用語はQと関連付けられるようになりました。^{[5] [6] [7]}

Qの定義は1914年に初めて使用されて以来、コイルやコンデンサー、共振回路、共振装置、共振伝送線路、空洞共振器^[5]に一般化され、電子工学の分野を超えて、機械的共振器や音響共振器、物質Q、スペクトル線や粒子共鳴などの量子システムなど、一般的な力学システムに適用されるようになりました。

共振器の文脈では、Qには2つの一般的な定義がありますが、これらは完全に同じではありません。Q が大きくなると、共振器の減衰が少なくなり、ほぼ同等になります。これらの定義の1つは、共振器の周波数対帯域幅比です。^[5]

${\displaystyle Q\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\frac {f_{r}}{\Delta f}}={\frac {\omega _{r}}{\Delta \omega }},}$

ここで、f _rは共振周波数、Δ fは共振幅または半値全幅(FWHM)、つまり振動のパワーが共振周波数でのパワーの半分を超える帯域幅、ω _r  = 2π f _rは角共振周波数、Δ ω は角半値帯域幅です。

この定義によれば、Q は分数帯域幅の逆数です。

Qのもう1つの一般的なほぼ同等の定義は、振動共振器に蓄えられたエネルギーと減衰プロセスによってサイクルごとに消散されるエネルギーの比である：^{[8] [9] [5]}

${\displaystyle Q\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} 2\pi \times {\frac {\text{energy stored}}{\text{energy dissipated per cycle}}}=2\pi f_{r}\times {\frac {\text{energy stored}}{\text{power loss}}}.}$

係数 2π により、Q は、電気または機械のほとんどの共振システムを記述する 2 次微分方程式の係数のみを含む、より単純な言葉で表現できるようになります。電気システムでは、蓄積エネルギーは、損失のないインダクタとコンデンサに蓄積されたエネルギーの合計です。失われたエネルギーは、サイクルごとに抵抗器で消費されるエネルギーの合計です。機械システムでは、蓄積エネルギーはある時点での位置エネルギーと運動エネルギーの合計です。失われたエネルギーは、振幅を維持するためにサイクルごとに外部の力によって行われた仕事です。

より一般的には、リアクタンス部品の仕様（特にインダクタ）の文脈では、周波数に依存するQの定義が使用される：^{[8] [10] [検証失敗–議論を参照] [9]}

${\displaystyle Q(\omega )=\omega \times {\frac {\text{maximum energy stored}}{\text{power loss}}},}$

ここで、ω は蓄積エネルギーと電力損失が測定される角周波数です。この定義は、単一のリアクタンス素子 (コンデンサまたはインダクタ) を持つ回路を説明する際に使用される定義と一致しており、リアクタンスは無効電力と有効電力の比に等しいことが示されます。( 「個々のリアクタンス素子」を参照)

Q係数は、単純な減衰振動子の定性的な動作を決定します。(これらのシステムとその動作に関する数学的な詳細については、「調和振動子と線形時不変 (LTI) システム」を参照してください。)

• 品質係数が低い( Q  <  1 ⁄ 2 )システムは、過剰に減衰していると言われています。このようなシステムはまったく振動しませんが、平衡定常状態出力から変位すると、指数関数的に減少して定常状態の値に漸近的に近づきます。このシステムのインパルス応答は、減衰率の異なる 2 つの減衰指数関数の合計です。品質係数が減少するにつれて、より遅い減衰モードが高速モードに対して強くなり、システムの応答を支配するため、システムが遅くなります。品質係数が非常に低い 2 次ローパス フィルタは、ほぼ 1 次のステップ応答を示します。システムの出力は、漸近線に向かってゆっくりと上昇することでステップ入力に応答します。
• 高い品質係数( Q  >  1 ⁄ 2 )を持つシステムは、減衰不足であると言われています。減衰不足のシステムは、特定の周波数での振動と信号振幅の減衰を組み合わせています。低い品質係数 ( Q =  1 ⁄ 2より少し上) を持つ減衰不足のシステムは、振動が 1 回または数回起こった後に消滅します。品質係数が増加すると、相対的な減衰量は減少します。高品質のベルは、叩かれた後、非常に長い間、単一の純音で鳴り響きます。永遠に鳴り続けるベルなどの純粋に振動するシステムの品質係数は無限大です。より一般的には、非常に高い品質係数を持つ 2 次ローパス フィルタの出力は、ステップ入力に応答して、すぐに上回り、その周囲を振動し、最終的に定常値に収束します。
• 中間の品質係数( Q  =  1 ⁄ 2 )を持つシステムは、臨界減衰されていると言われています。過剰減衰システムと同様に、出力は振動せず、定常状態の出力をオーバーシュートしません (つまり、定常状態の漸近線に近づきます)。不足減衰応答と同様に、このようなシステムの出力は単位ステップ入力にすばやく応答します。臨界減衰により、オーバーシュートなしで可能な限り最速の応答 (最終値への接近) が得られます。実際のシステム仕様では、通常、初期応答を高速化するためにある程度のオーバーシュートが許容されるか、オーバーシュートに対する安全マージンを提供するために初期応答を遅くする必要があります。

負帰還システムでは、支配的な閉ループ応答は、多くの場合、2 次システムによって適切にモデル化されます。開ループ システムの位相マージンによって、閉ループ システムの品質係数Qが設定されます。位相マージンが減少すると、近似的な 2 次閉ループ システムはより振動的になります (つまり、品質係数が高くなります)。

物理的に言えば、Qは振動の1ラジアンあたりに消費されるエネルギーに対する蓄積エネルギーの比率にほぼ相当します。または、Q値が十分に高い場合は、1サイクルで蓄積される総エネルギーと失われるエネルギーの比率の2π倍にほぼ相当します。^[14]

これは、振動する物理システムの振幅の減衰に関する指数時間定数 τ をその振動周期と比較する無次元パラメータです。同様に、システムが振動する周波数を、エネルギーを消散させる速度と比較します。より正確には、使用する周波数と周期はシステムの固有周波数に基づく必要があります。これは、Q値が低い場合、ゼロ交差で測定される振動周波数よりもいくらか高くなります。

同様に（ Qの値が大きい場合）、Q係数は、自由振動系のエネルギーがe ^−2π、つまり元のエネルギーの約1 ⁄ 535^{または0.2％に低下するのに必要な振動数とほぼ等しい。 [15]}これは、振幅が約e ^−π、つまり元の振幅の4％に低下することを意味する。^[16]

共鳴の幅（帯域幅）は（おおよそ）次のように表されます。

${\displaystyle \Delta f={\frac {f_{\mathrm {N} }}{Q}},\,}$

ここで、f _Nは固有振動数、 Δ f（帯域幅）は、エネルギーがピーク値の少なくとも半分になる周波数範囲の幅です。

共振周波数は、ヘルツ単位のf _Nではなく、 自然単位（ラジアン/秒）で表されることが多い。

${\displaystyle \omega _{\mathrm {N} }=2\pi f_{\mathrm {N} }.}$

係数Q、減衰比ζ、固有振動数_ωN、減衰率α、指数時定数 τは次のように関係している。^{[17] [ページ必要]}

${\displaystyle Q={\frac {1}{2\zeta }}={\frac {\omega _{\mathrm {N} }}{2\alpha }}={\frac {\tau \omega _{\mathrm {N} }}{2}},}$

減衰率は次のように表されます。

${\displaystyle \zeta ={\frac {1}{2Q}}={\alpha \over \omega _{\mathrm {N} }}={1 \over \tau \omega _{\mathrm {N} }}.}$

振動のエンベロープはe ^{−α t}またはe ^{− t / τ}に比例して減衰します。ここで α とτ は次のように表すことができます。

${\displaystyle \alpha ={\omega _{\mathrm {N} } \over 2Q}=\zeta \omega _{\mathrm {N} }={1 \over \tau }}$

そして

${\displaystyle \tau ={2Q \over \omega _{\mathrm {N} }}={1 \over \zeta \omega _{\mathrm {N} }}={\frac {1}{\alpha }}.}$

振動のエネルギー、つまり電力消費は、振幅の2乗の2倍の速さで、e ^{−2α t}またはe ^{−2 t / τ}に減衰します。

2極ローパスフィルタの場合、フィルタの伝達関数は^[17]

${\displaystyle H(s)={\frac {\omega _{\mathrm {N} }^{2}}{s^{2}+\underbrace {\frac {\omega _{\mathrm {N} }}{Q}} _{2\zeta \omega _{\mathrm {N} }=2\alpha }s+\omega _{\mathrm {N} }^{2}}}\,}$

このシステムでは、Q  >  1 ⁄ 2の場合（つまり、システムが減衰不足の場合）、それぞれ実部が −α である 2 つの複素共役極があります。つまり、減衰パラメータ α は、システムへの振動（つまり、インパルス後の出力）の指数関数的減衰率を表します。品質係数が高いほど減衰率が低くなるため、Q値が高いシステムは多くのサイクルにわたって振動します。たとえば、高品質のベルは、ハンマーで叩かれた後、長い間、 ほぼ純粋な正弦波の音色を発します。

電気共振システムの場合、Q係数は電気抵抗の影響を表し、水晶などの電気機械共振器の場合は機械的摩擦の影響を表します。

共振周波数F ₀ Hzに対する両側帯域幅はF ₀ / Q です。

たとえば、Q値が 10、中心周波数が 100 kHz になるように調整されたアンテナでは、3 dB 帯域幅は 10 kHz になります。

オーディオでは、帯域幅はオクターブで表現されることが多い。Qと帯域幅 の関係は次のようになる。

${\displaystyle Q={\frac {2^{\frac {BW}{2}}}{2^{BW}-1}}={\frac {1}{2\sinh \left({\frac {1}{2}}\ln(2)BW\right)}},}$

ここでBWはオクターブ単位の帯域幅である。^[19]

理想的な直列RLC回路と同調無線周波数受信機（TRF）におけるQ値は次の通りである: ^[20]

${\displaystyle Q={\frac {1}{R}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}={\frac {\omega _{0}L}{R}}={\frac {1}{\omega _{0}RC}}}$

ここで、R、L、C はそれぞれ同調回路の抵抗、インダクタンス、静電容量です。直列抵抗が大きいほど、回路のQ は低くなります。

並列RLC回路の場合、Q値は直列の場合の逆になります。^{[21] [20]}

${\displaystyle Q=R{\sqrt {\frac {C}{L}}}={\frac {R}{\omega _{0}L}}=\omega _{0}RC}$^[22]

R、L、C がすべて並列になっている回路を考えてみましょう。並列抵抗が低いほど、回路の減衰効果が大きくなり、Qも低くなります。これは、フィルタ設計で帯域幅を決定する際に役立ちます。

並列LC回路では、主な損失はインダクタンスLと直列のインダクタの抵抗Rであり、Q は直列回路と同じです。これは共振器によく見られる状況で、インダクタの抵抗を制限してQを改善し、帯域幅を狭くすることが望まれます。

個々のリアクタンス部品のQは、評価される周波数に依存し、通常はそれが使用される回路の共振周波数です。直列損失抵抗を持つインダクタのQは、そのインダクタ（直列損失を含む）と完全なコンデンサを使用した共振回路のQです。 ^[23]

${\displaystyle Q_{L}={\frac {X_{L}}{R_{L}}}={\frac {\omega _{0}L}{R_{L}}}}$

どこ：

• ω _{0 は}ラジアン/秒で表した共振周波数であり、
• Lはインダクタンス、
• X _{L は}誘導性リアクタンスであり、
• R _{L は}インダクタの直列抵抗です。

直列損失抵抗を持つコンデンサのQは、そのコンデンサと完全なインダクタを使用した共振回路のQと同じです。 ^[23]

${\displaystyle Q_{C}={\frac {-X_{C}}{R_{C}}}={\frac {1}{\omega _{0}CR_{C}}}}$

どこ：

• ω _{0 は}ラジアン/秒で表した共振周波数であり、
• Cは静電容量、
• X _{C は}容量性リアクタンスであり、
• R _{C は}コンデンサの直列抵抗です。

一般に、コンデンサとインダクタを直列に組み合わせた共振器のQは、その損失が直列抵抗によるものかどうかにかかわらず、各部品のQ値から決定できる。 ^[23]

${\displaystyle Q={\frac {1}{{\frac {1}{Q_{L}}}+{\frac {1}{Q_{C}}}}}}$

単一の減衰質量バネシステムの場合、Q係数は単純化された粘性減衰または抗力の効果を表します。ここで、減衰力または抗力は速度に比例します。Q 係数の式は次のとおりです。

${\displaystyle Q={\frac {\sqrt {Mk}}{D}},\,}$

ここでMは質量、kはバネ定数、Dは減衰係数であり、F_減衰 =−Dvで定義され、vは速度である。^[24]

楽器の Q は非常に重要です。共鳴器の Q が高すぎると、楽器が発する複数の周波数が均等に増幅されません。このため、弦楽器は複雑な形状のボディを持つことが多く、広範囲の周波数を均等に発します。

金管楽器や管楽器のQは、唇やリードの広範囲にわたる振動から 1 つの周波数を拾えるほど高くなければなりません。対照的に、ブブゼラは柔軟なプラスチックで作られているため、金管楽器としては非常に低いQ を持ち、濁った息の混じった音色になります。より硬いプラスチック、真鍮、または木で作られた楽器は、より高い Q を持ちます。Q が高すぎると、音を出すのが難しくなります。楽器の Q は周波数によって異なる場合がありますが、これは望ましくない場合があり ます。

ヘルムホルツ共鳴器は、非常に狭い範囲の周波数を選択するように設計されているため、Q が非常に高くなります。

光学では、共振空洞のQ値は次のように表される。

${\displaystyle Q={\frac {2\pi f_{o}\,E}{P}},\,}$

ここで、f _oは共振周波数、Eは空洞内に蓄えられたエネルギー、P  = − ⁠dE/dt⁠ は消費される電力です。光Q は、共振周波数と空洞共振の帯域幅の比に等しいです。空洞内の共鳴光子の平均寿命は、空洞のQに比例します。レーザーの空洞のQ係数が低い値から高い値に突然変化すると、レーザーはレーザーの通常の連続出力よりもはるかに強い光パルスを放射します。この技術はQスイッチングとして知られています。Q係数はプラズモニクスにおいて特に重要であり、損失は表面プラズモン共鳴の減衰に関連しています。^[25]損失は通常、プラズモニックデバイスの開発の妨げになると考えられていますが、この特性を利用して新しい強化された機能を提供することは可能です。^[26]

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• 中心周波数とQ値が与えられた場合のカットオフ周波数の計算
• ラジオ同調回路のQ係数の説明