平衡点（数学）

数学、特に微分方程式において、平衡点とは微分方程式の定数解のことである。

要点$\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}\in \mathbb {R} ^{n}}$は微分方程式の平衡点 である

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {f} (t,\mathbf {x} )}$

もし${\displaystyle \mathbf {f} (t,{\チルダ {\mathbf {x} }})=\mathbf {0} }$すべての人々のために${\displaystyle t}$。

同様に、ポイント $\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}\in \mathbb {R} ^{n}}$は差分方程式の平衡点（または固定点）である。

${\textstyle \mathbf {x} _{k+1}=\mathbf {f} (k,\mathbf {x} _{k})}$

もし${\displaystyle \mathbf {f} (k,{\チルダ {\mathbf {x} }})={\チルダ {\mathbf {x} }}}$のために${\displaystyle k=0,1,2,\ldots }$。

平衡点は、平衡点に関する方程式の線形化における固有値の符号を調べることで分類できます。つまり、システムの各平衡点においてヤコビ行列を評価し、得られた固有値を求めることで、平衡点を分類できるのです。そして、各固有値に対応する固有ベクトルを求めることで、各平衡点近傍におけるシステムの挙動を定性的に（場合によっては定量的に）決定することができます。

平衡点は、固有値の実部がゼロでない固有値が一つもない場合に双曲型である。すべての固有値の実部が負の場合、その点は安定である。少なくとも１つの固有値の実部が正の場合、その点は不安定である。少なくとも１つの固有値の実部が負で、かつ少なくとも１つの固有値の実部が正の場合、平衡点は鞍点であり、不安定である。すべての固有値が実数で、かつ符号が同じ場合、その点は節点と呼ばれる。

• 自律方程式
• 重要なポイント
• 定常状態

• Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (2012).初等微分方程式と境界値問題（第10 版）. Wiley. ISBN 978-0-470-45831-0。
• Perko, Lawrence (2001).微分方程式と力学系（第3 版）. Springer. pp. 102–104 . ISBN  1-4613-0003-7。