等時曲線

等時曲線（古代ギリシャ語のταὐτό （tauto-）「同じ」、ἴσος （isos-）「等しい」、χρόνος （chronos）「時間」に由来）とは、一様な重力下で摩擦なく滑る物体が最下点に到達するまでの時間が、曲線上の始点に依存しない曲線のことである。この曲線はサイクロイドであり、その時間は、サイクロイドを生成する円の半径の平方根にπを掛け、重力加速度の平方根で割った値に等しい。等時曲線は、同じくサイクロイドである最速曲線と関連がある。   

等時曲線問題、すなわちこの曲線を特定しようとする試みは、 1659年にクリスティアーン・ホイヘンスによって解決された。彼は、1673年に初版が出版された著書『振動時計』の中で、この曲線がサイクロイドであることを幾何学的に証明した。

軸が垂直線上に立てられ、頂点が底部にあるサイクロイドでは、サイクロイド上の任意の点から出発した物体が頂点の最下点に到達するまでの降下時間は互いに等しい ... ^{[ 1 ]}

サイクロイドは半径の円上の点で与えられる。${\displaystyle r}$円が転がるにつれて曲線を描く${\displaystyle x}$軸、例: $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\theta -\sin \theta )\\y&=r(1-\cos \theta )\end{aligned}}}$$

一般的に描かれる等時曲線では、物体が原点に向かって下方に滑り落ちるが、実際には、円が逆さまに転がる線に沿ってサイクロイドが描かれることに注意が必要である。${\displaystyle y=2r}$次のような場合： $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\theta +\sin \theta )\\y&=r(1-\cos \theta )\end{aligned}}}$$

ホイヘンスはまた、降下時間は、物体がサイクロイドを生成する円の直径と同じ距離だけ垂直に落下するのにかかる時間に等しいことを証明した。${\displaystyle \pi /2}$現代の用語で言えば、降下時間は${\textstyle \pi {\sqrt {r/g}}}$、 どこ${\displaystyle r}$はサイクロイドを生成する円の半径であり、${\displaystyle g}$は地球の重力、より正確には地球の重力加速度のことです。

この解法は後に最速降下曲線の問題を解くために用いられた。 ヨハン・ベルヌーイは論文（Acta Eruditorum、1697年）の中でこの問題を解決した。

振り子が円軌道を描くにもかかわらず等時性を持たないため、振り子時計は振り子の揺れ具合によって異なる時刻を示すことに気づいたホイヘンスは、等時性の問題をより詳細に研究しました。正しい軌道を決定した後、クリスティアーン・ホイヘンスは、振り子のおもりを紐で吊り下げ、紐の上部付近で縁石を曲げることで軌道を等時曲線に合わせる振り子時計を作ろうと試みました。しかし、これらの試みはいくつかの理由でうまくいきませんでした。まず、紐の曲がりによって摩擦が生じ、タイミングが変わってしまうこと。次に、等時曲線に沿って動くことで得られる理論的な改善効果をはるかに上回る、より大きなタイミング誤差の原因が存在すること。最後に、振り子の「円誤差」は揺れの長さが短くなるにつれて小さくなるため、より優れた時計の脱進機を用いることで、この誤差の原因を大幅に減らすことができること。

その後、数学者のジョセフ・ルイ・ラグランジュとレオンハルト・オイラーが、この問題に対する解析的な解法を提示した。

静止状態から解放された単振動子の場合、初期変位に関わらず、最低ポテンシャルエネルギー点に到達するまでの時間は常に周期の4分の1であり、振幅には依存しません。したがって、単振動子のラグランジアンは等時性を持ちます。

等時曲線問題において、粒子の位置が最低点からの弧長s ( t )でパラメータ化されている場合、運動エネルギーは次のように比例する。$\displaystyle {\dot {s}}^{2}}$、そして位置エネルギーは高さh ( s )に比例します。等時曲線問題における曲線が等時曲線となる一つの方法は、ラグランジアンが単純な調和振動子と数学的に等価である場合です。つまり、曲線の高さは弧長の二乗に比例する必要があります。

${\displaystyle h(s)=s^{2}/(8r),}$

ここで比例定数は${\displaystyle 1/(8r)}$単純調和振動子のラグランジアンと比較すると、等価ばね定数は${\displaystyle k=mg/(4r)}$降下時間は${\displaystyle T/4={\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\frac {m}{k}}}=\pi {\sqrt {\frac {r}{g}}}.}$しかし、定数の物理的な意味は${\displaystyle r}$曲線の正確な解析方程式を決定するまでは、その点は明らかではない。

曲線の解析方程式を解くには、上記の関係式の微分形式が次のようになることに注意してください。

${\displaystyle {\begin{aligned}dh&=s\,ds/(4r),\\dh^{2}&=s^{2}\,ds^{2}/(16r^{2})=h\left(dx^{2}+dh^{2}\right)/(2r),\\\left({\frac {dx}{dh}}\right)^{2}&={\frac {2r}{h}}-1\end{aligned}}}$

これによりsが消去され、dxとdhに関する微分方程式が残ります。これは、垂直座標hを尖点ではなく頂点（水平接線を持つ点）から数えた場合のサイクロイドの微分方程式です。

解を求めるには、hを用いてxについて積分します。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dh}}&=-{\frac {\sqrt {2r-h}}{\sqrt {h}}},\\x&=-4r\int {\sqrt {1-u^{2}}}\,du,\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle u={\sqrt {h/(2r)}}}$粒子が前進するにつれて高さは減少する${\displaystyle dx/dh<0}$この積分は円の下の面積であり、別の置換によって計算できます。${\displaystyle u=\cos(t/2)}$そして、収量：

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(t-\sin t),\\h&=r(1+\cos t).\end{aligned}}}$

これは、サイクロイドの標準的なパラメータ化です。${\displaystyle h=2r-y}$興味深いことに、弧長の二乗は、高さの差に弧全体の長さを掛けたものに等しい。${\displaystyle 8r}$。

等時曲線問題の最も単純な解決策は、斜面の角度と斜面上の粒子が受ける重力との間に直接的な関係があることに着目することである。90°の垂直斜面上の粒子は、完全な重力加速度を受ける。${\displaystyle g}$一方、水平面上の粒子は重力加速度がゼロである。中間角度では、粒子による「仮想重力」による加速度は${\displaystyle g\sin \theta }$。 ご了承ください${\displaystyle \theta }$曲線の接線と水平線の間の角度を測定し、水平線より上の角度は正の角度として扱われます。したがって、${\displaystyle \theta }$から${\displaystyle -\pi /2}$に${\displaystyle \pi /2}$。

等時曲線に沿って測定された質量の位置、${\displaystyle s(t)}$は、次の微分方程式に従わなければならない。

${\displaystyle {\frac {d^{2}s}{{dt}^{2}}}=-\omega ^{2}s}$

初期条件とともに${\displaystyle s(0)=s_{0}}$そして${\displaystyle s'(0)=0}$解決策があります:

${\displaystyle s(t)=s_{0}\cos \omega t}$

この解が微分方程式を解くことと、粒子が到達することが容易に検証できます。${\displaystyle s=0}$その時${\displaystyle \pi /2\omega }$どのスタート位置からでも${\displaystyle s_{0}}$問題は、質量が上記の運動に従うような曲線を作成することである。ニュートンの第二法則によれば、重力と質量の加速度は次の関係にある。

${\displaystyle {\begin{aligned}-g\sin \theta &={\frac {d^{2}s}{{dt}^{2}}}\\&=-\omega ^{2}s\,\end{aligned}}}$

距離の明確な出現、${\displaystyle s}$これは厄介ですが、微分することでより扱いやすい形式にすることができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}g\cos \theta \,d\theta &=\omega ^{2}\,ds\\\Longrightarrow ds&={\frac {g}{\omega ^{2}}}\cos \theta \,d\theta \end{aligned}}}$

この方程式は、曲線の角度の変化と曲線に沿った距離の変化の関係を表しています。ここで三角法を用いて角度と距離の関係を求めます。${\displaystyle \theta }$異なる長さに対して${\displaystyle dx}$、${\displaystyle dy}$そして${\displaystyle ds}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}ds={\frac {dx}{\cos \theta }}\\ds={\frac {dy}{\sin \theta }}\end{aligned}}}$

交換する${\displaystyle ds}$と${\displaystyle dx}$上記の式では、${\displaystyle x}$に関しては${\displaystyle \theta }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}ds&={\frac {g}{\omega ^{2}}}\cos \theta \,d\theta \\{\frac {dx}{\cos \theta }}&={\frac {g}{\omega ^{2}}}\cos \theta \,d\theta \\dx&={\frac {g}{\omega ^{2}}}\cos ^{2}\theta \,d\theta \\&={\frac {g}{2\omega ^{2}}}\left(\cos 2\theta +1\right)d\theta \\x&={\frac {g}{4\omega ^{2}}}\left(\sin 2\theta +2\theta \right)+C_{x}\end{aligned}}}$

同様に、${\displaystyle ds}$に関しては${\displaystyle dy}$そして解く${\displaystyle y}$に関しては${\displaystyle \theta }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}ds&={\frac {g}{\omega ^{2}}}\cos \theta \,d\theta \\{\frac {dy}{\sin \theta }}&={\frac {g}{\omega ^{2}}}\cos \theta \,d\theta \\dy&={\frac {g}{\omega ^{2}}}\sin \theta \cos \theta \,d\theta \\&={\frac {g}{2\omega ^{2}}}\sin 2\theta \,d\theta \\y&=-{\frac {g}{4\omega ^{2}}}\cos 2\theta +C_{y}\end{aligned}}}$

代入${\displaystyle \phi =2\theta }$そして${\textstyle r={\frac {g}{4\omega ^{2}}}\,}$我々は、これらの媒介変数方程式が${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$半径の円上の点の${\displaystyle r}$水平線（サイクロイド）に沿って転がり、円の中心は座標にある。${\displaystyle (C_{x}+r\phi ,C_{y})}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\left(\sin \phi +\phi \right)+C_{x}\\y&=-r\cos \phi +C_{y}\end{aligned}}}$

ご了承ください${\displaystyle \phi }$範囲は${\displaystyle -\pi \leq \phi \leq \pi }$設定するのが一般的です${\displaystyle C_{x}=0}$そして${\displaystyle C_{y}=r}$曲線の最下点が原点と一致するようにする。したがって：

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\left(\phi +\sin \phi \right)\\y&=r\left(1-\cos \phi \right)\\\end{aligned}}}$

解決する${\displaystyle \omega }$そしてそれを覚えておく${\displaystyle T={\frac {\pi }{2\omega }}}$は降下に必要な時間であり、全サイクルの4分の1であるため、半径に関して降下時間を求める。${\displaystyle r}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\frac {g}{4\omega ^{2}}}\\\omega &={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {g}{r}}}\\T&=\pi {\sqrt {\frac {r}{g}}}\\\end{aligned}}}$

（プロクター著、135～139ページを参考にしている ）

ニールス・ヘンリック・アーベルは、等時曲線問題（アーベルの力学的問題）の一般化されたバージョンに取り組みました。すなわち、関数が与えられたとき、${\displaystyle T(y)}$与えられた開始高さに対する降下の総時間を指定する曲線の式を求め、この結果を与える曲線の式を求めます。等時曲線の問題は、アベルの力学問題の特殊なケースです。${\displaystyle T(y)}$定数です。

アベルの解法はエネルギー保存の法則から始まる。粒子は摩擦がなく、熱としてエネルギーを失わないため、任意の点における運動エネルギーは、出発点からの重力ポテンシャルエネルギーの差と正確に等しい。運動エネルギーは${\textstyle {\frac {1}{2}}mv^{2}}$粒子は曲線に沿って移動するように制約されているため、その速度は単純に${\displaystyle {d\ell }/{dt}}$、 どこ${\displaystyle \ell }$は曲線に沿って測定された距離です。同様に、初期の高さから落下する際に得られる重力ポテンシャルエネルギーです。${\displaystyle y_{0}}$高さまで${\displaystyle y}$は${\displaystyle mg(y_{0}-y)}$、 したがって：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}m\left({\frac {d\ell }{dt}}\right)^{2}&=mg(y_{0}-y)\\{\frac {d\ell }{dt}}&=\pm {\sqrt {2g(y_{0}-y)}}\\dt&=\pm {\frac {d\ell }{\sqrt {2g(y_{0}-y)}}}\\dt&=-{\frac {1}{\sqrt {2g(y_{0}-y)}}}{\frac {d\ell }{dy}}\,dy\end{aligned}}}$

最後の式では、曲線に沿って残っている距離を高さの関数として記述することを想定しました（${\displaystyle \ell (y))}$は、残りの距離は時間が経過するにつれて減少しなければならないことを認識し（そのためマイナス符号が付く）、連鎖律を次の形式で使用した。${\textstyle d\ell ={\frac {d\ell }{dy}}dy}$。

ここから積分します${\displaystyle y=y_{0}}$に${\displaystyle y=0}$粒子が落下するのに必要な合計時間を取得するには：

${\displaystyle T(y_{0})=\int _{y=y_{0}}^{y=0}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2g}}}\int _{0}^{y_{0}}{\frac {1}{\sqrt {y_{0}-y}}}{\frac {d\ell }{dy}}\,dy}$

これはアーベルの積分方程式と呼ばれ、粒子が特定の曲線に沿って落下するのに必要な合計時間を計算できます（${\displaystyle {d\ell }/{dy}}$計算は簡単だろう）。しかし、アーベルの力学の問題では、逆のことが求められる。${\displaystyle T(y_{0})\,}$私たちは見つけたいと思っています${\displaystyle f(y)={d\ell }/{dy}}$そこから曲線の式が容易に導き出される。次に、右辺の積分は、の畳み込みであることに注意する。${\displaystyle {d\ell }/{dy}}$と${\displaystyle {1}/{\sqrt {y}}}$そして、変数に関して両辺のラプラス変換をとる。${\displaystyle y}$:

${\displaystyle {\mathcal {L}}[T(y_{0})]={\frac {1}{\sqrt {2g}}}{\mathcal {L}}\left[{\frac {1}{\sqrt {y}}}\right]F(s)}$

どこ${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}{\left[{d\ell }/{dy}\right]}}$。 以来${\textstyle {\mathcal {L}}{\left[{1}/{\sqrt {y}}\right]}={\sqrt {{\pi }/{s}}}}$これで、のラプラス変換の式が得られました。${\displaystyle {d\ell }/{dy}}$ラプラス変換の観点から${\displaystyle T(y_{0})}$:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left[{\frac {d\ell }{dy}}\right]={\sqrt {\frac {2g}{\pi }}}s^{\frac {1}{2}}{\mathcal {L}}[T(y_{0})]}$

これ以上は特定せずに話すことはできません${\displaystyle T(y_{0})}$。 一度${\displaystyle T(y_{0})}$が既知であれば、そのラプラス変換を計算し、${\displaystyle {d\ell }/{dy}}$そして逆変換を取って（または試みて）${\displaystyle {d\ell }/{dy}}$。

等時曲線問題の場合、${\displaystyle T(y_{0})=T_{0}\,}$は定数です。1 のラプラス変換は${\displaystyle {1}/{s}}$つまり、${\textstyle {\mathcal {L}}[T(y_{0})]={T_{0}}/{s}}$形状関数を見つける${\textstyle f(y)={d\ell }/{dy}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(s)={\mathcal {L}}{\left[{\frac {d\ell }{dy}}\right]}&={\sqrt {\frac {2g}{\pi }}}s^{\frac {1}{2}}{\mathcal {L}}[T_{0}]\\&={\sqrt {\frac {2g}{\pi }}}T_{0}s^{-{\frac {1}{2}}}\end{aligned}}}$

上記のラプラス変換を再び利用して、変換を反転させると、次の結論が得られます。

${\displaystyle {\frac {d\ell }{dy}}=T_{0}{\frac {\sqrt {2g}}{\pi }}{\frac {1}{\sqrt {y}}}}$

（シモンズ、第54節）

事実を利用して${\displaystyle \left({\frac {d\ell }{dy}}\right)^{2}=\left({\frac {dx}{dy}}\right)^{2}+1}$上記を次のように書き換えることができます。

${\displaystyle \left({\frac {dx}{dy}}\right)^{2}+1=T_{0}^{2}{\frac {2g}{\pi ^{2}}}{\frac {1}{y}}}$

させて：

${\displaystyle r={\frac {T_{0}^{2}g}{\pi ^{2}}}}$

となることによって：

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {dx}{dy}}\right)^{2}+1&={\frac {2r}{y}}\\\left({\frac {dx}{dy}}\right)^{2}&={\frac {2r-y}{y}}\\dx&={\sqrt {\frac {2r-y}{y}}}\,dy\end{aligned}}}$

積分するには、代入します。

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=2r\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\\dy&=2r\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\,d\theta \end{aligned}}}$

これで方程式を書き換えることができます${\displaystyle dx}$として：

${\displaystyle {\begin{aligned}dx&={\sqrt {\frac {2r-2r\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}{2r\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}}2r\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\,d\theta \\&=2r{\sqrt {\frac {1-\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}{\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}}\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\,d\theta \\&=2r{\sqrt {\frac {\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}}{\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}}\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\,d\theta \\&=2r\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}\,d\theta \\&=r(\cos \theta +1)\,d\theta \end{aligned}}}$

両辺を積分すると次のようになる。

${\displaystyle x=r(\theta +\sin \theta )}$

そして、パラメータ化していくと${\displaystyle y}$として：

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=2r\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\\&=r(1-\cos \theta )\end{aligned}}}$

これで両方の式が得られました${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$パラメータ化${\displaystyle \theta }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\theta +\sin \theta )\\y&=r(1-\cos \theta )\end{aligned}}}$

等時曲線を描き、その上に${\displaystyle x}$軸。

（オニール著、263～264ページに基づく）

• ベルトラーミのアイデンティティ
• 最速降下曲線
• 変分法
• カテナリー
• サイクロイド
• 等加速度運動

• シモンズ、ジョージ（1972）。微分方程式とその応用および歴史的注釈。マグロウヒル。ISBN 0-07-057540-1。
• プロクター、リチャード・アンソニー（1878）。サイクロイドおよびあらゆる形態のサイクロイド曲線、ならびに惑星、彗星などの運動、および太陽から投影された物質の運動を扱う際のそのような曲線の使用に関する論文。
• オニール、ピーター・V. (1983).高度工学数学. ベルモント、カリフォルニア州: ワズワース出版. pp. 263–264 . ISBN  0-534-01136-5。

• マスワールド