De motu antiquiora

ガリレオはまず、重さと軽さを定義することから始めた。これは実質的に、現代の比重や相対密度に相当する概念である。2つの物質は、体積と重量が等しい場合に同じ重さであるとみなされる。一方の物質が他方の物質よりも「重い」とは、体積が等しいにもかかわらず、重量が他方の物質よりも大きい場合を指す。

この同じ構成において、2番目の物質は1番目の物質よりも「軽い」とされていますが、ガリレオは「軽さ（levius ）」を、相対的に他のものよりも「軽い（in gravitate minor ）」という意味で定義しています。言い換えれば、すべての物体にはある程度の固有の重さがあり、固有の軽さはありません。ガリレオは『運動論』の後の改訂版で、作品全体を通して「軽い」という言葉の使用を「軽い」に置き換えることで、この区別を強調しています。したがって、改訂版の第2章は、「重い物体は本質的に中心に近く、軽い物体は中心から遠い位置にあり、その理由は何か」という文で始まります。この区別によって、ガリレオは、上昇運動は物体の固有の軽さによるものではなく、より重い媒体による強制運動であることを強調することができました。

ガリレオは、古典的な元素に基づき、物事がそれぞれの適切な位置に従って動くという、準アリストテレス的な宇宙観を前提としている。すなわち、地球は中心にあり、水は地球の上にあり、空気は水の上にあり、火は空気の上にあるというものである。この配置に基づくと、ガリレオは、後に第20章でニコラウス・コペルニクスの『天球回転論』を認めているにもかかわらず、地球を宇宙の中心に置くプトレマイオス体系を前提としているように見える。

ガリレオは、アリストテレスが古典的な元素の配置について、万物は神の摂理によって定められた何らかの配置にならなければならないという以外に理由を与えていないと指摘する。しかし、ガリレオはこの見解に満足せず、アリストテレスが古代の一元論と原子論を批判した際に誤っていた可能性があると考える。ガリレオは、一元論と原子論が正しければ、元素の配置に論理的な説明がつくはずだと主張する。すなわち、重い物体はより狭い空間にその物質の粒子をより多く閉じ込め、宇宙の中心付近のような狭い場所を占めることになる（ガリレオは、球体の中心に近づくにつれて空間が狭くなると主張しているが、その意味についてはそれ以上の説明をしていない）。例えば、土の元素はわずかな空間を占めるのに対し、空気の元素は広い空間を占める。ガリレオは、宇宙の配置は無作為に選ばれたものではなく、慎重かつ公正に実行されていると結論づける。

物体（古典的な元素で構成されている）は、本来の位置にあるときは静止しているが、より軽い物体の上に移動させられると、より軽い物体が重い物体の下に留まるように強制されない限り、より軽い物体の下に移動する。軽い物体の場合はその逆が成り立つ。「自然な」運動（「激しい」上向きの投射運動とは対照的に）については、物体の重さ／軽さと媒質の重さ／軽さの両方を比較する必要がある。なぜなら、水が石より軽くなければ、石は水に沈まないからである。ガリレオは、重さ／軽さ（すなわち密度）は、以前に定義したとおりに厳密に観察されるべきであることを改めて強調する。考慮されるのは水全体の重さではなく、水中を通過する物体と同じ体積の水の部分の重さだからである。そして、運動は2つの物体の相対的な重さと相関しており、ガリレオは後の章でそれを証明しようとしている。

その証拠は提示されている。

ガリレオは上記の証明を提示した後、水より重い物体は必ず水に沈む（そうでなければ水より軽くなり、その仮定に反することになる）こと、そして下方へ移動し続ける（そうでなければ水と同等かそれ以下の重さになる）ことは明らかであると結論づけた。さらに、下方へ移動する物体は媒質より重くなければならないため、重い物体はその重さゆえに下方へ移動すると言える。

自然な運動は媒質と物体の重さ／軽さによって生じ、それぞれの重さ／軽さは体積が等しい重さの物体で比較できることから、ガリレオは天秤の上の重りについても同じことが言えると認識し、てこを運動のアナロジーとして捉えれば、水より軽い固体（例えば木材）が水に完全に沈まない理由が容易に理解できると考えた。つまり、重い物体は重い物体によって持ち上げられないからである。この仮定に基づけば、自然に運動する物体（天秤の上の重りと同じように）の運動の原因は、上下どちらの場合も、重さのみに起因すると考えられる。

このてこのアナロジーを通して、モビールは力と媒体の押し出し作用によって動くことがわかります。木材が強制的に水中に沈められると、水が本来の位置に戻る際に木材を押し出します。同様に、自由落下する石は、媒体よりも重いため、その位置から押し出され、下向きに押し下げられます。このように、自然運動は「強制」によるものと考えることができます。

運動速度の違いは、同じ物体が異なる媒体中を運動する場合と、異なる物体が同じ媒体中を運動する場合の2つの方法で生じます。さらに、異なる物体が異なる媒体中を運動する場合も、これら2つの方法に単純化できます。どちらの場合も、運動速度は同じ原因、すなわち媒体と運動する物体の重量の差に依存します。この議論において、ガリレオは「偶発的な」（例えば、物体の形状）または外的原因ではなく、運動の根本原因に焦点を当てています。

アリストテレスは、同じ物体は密度の高い媒体よりも密度の低い媒体の方が速く動くため、運動が遅い原因は媒体の密度であり、速い原因は媒体の密度の低さであると主張した。しかし、ガリレオは、アリストテレスがこの主張を経験（つまり、動いている物体が水中よりも空気中で速く動くのを目にする）以外の根拠に基づいて主張したのではなく、この効果を生み出す原因の説明としては不十分であると指摘した。なぜなら、密度の高い媒体の方が密度の低い媒体よりも自然な運動で速く動く物体は数多く存在するからである。例えば、空気で膨らませた袋は空気中ではゆっくりと沈むが、水中では急速に上昇する。さらにガリレオは、下降運動では重い物質の方が軽い物質よりも速く動き、上昇運動では軽い物質の方が速く動くことを指摘した。

異なる媒体中を移動する同一物体の場合、ある媒体よりも重い物体は、その媒体中では、より軽い媒体中よりも速く移動します。同様に、ある媒体よりも軽い物体は、その媒体中では、より軽い媒体中よりも速く移動します。したがって、ある物体がどの媒体でより重いかが分かれば、その物体がより速く落下する媒体が分かります。さらに、ある媒体における同一物体の重量が他の媒体における重量よりどれだけ重いかが分かれば、その物体の速度がどれだけ速くなるかが分かります。

ガリレオは、2つの物体は2つの点で異なる可能性があると述べている。1) 同じ材質だが大きさ（体積）が異なる場合、2) 材質は異なるが、a) 大きさと重さが異なる場合、b) 重さは異なるが大きさは同じ場合、c) 大きさは異なるが重さは同じ場合である。そして彼は、それぞれの状況についてアリストテレスの主張を反駁している。

アリストテレスは、同じ材質の物体が自然に運動する場合、大きい方が速く動くと主張した。つまり、大きな金の塊は小さな金の塊よりも速く動き、その速度の比は大きさの比と同じであるとした。ガリレオは、これはばかげていると反論した。なぜなら、これは、一方の鉛の球がもう一方の100倍の大きさで、両方とも高いところから落下する場合、軽い球は重い球よりも100倍長く落下することになるが、実際にはそうはならないからである。

ガリレオは、同じ材質でできた物体は大きさが違っても同じ速度で落下し、これに驚く人は、大きな木片が小さな木片と同じくらい浮くという事実にも驚くだろうと主張した。別の例として、ガリレオは、ワックスに砂を混ぜて水よりわずかに重くし、ゆっくりと沈み始めるようにすることを提案した。最初に考えたワックスの100分の1の大きさの混合ワックスを比較すると、小さいワックスが沈むのに100倍も時間がかかるとは誰も信じないだろうとガリレオは主張した。天秤の重りの類推についても同じことが言える。2つの大きくて同じ重さの重りが釣り合っている状態で、片側にごく小さな重りを加えると、重い側が落ちるが、2つの重りが小さい場合よりも速く落ちるわけではない。同様に、水と木材の場合、天秤の一方の重りが木材の重さを表し、もう一方の重りが木材と同じ体積の水の重さを表すとすると、水の重さが木材の重さと等しい場合、木材は沈みませんが、木材を少し重くして沈ませた場合、最初は同じ体積の水と同じ重さの小さな木材を少し重くした場合よりも速く沈むことはありません。

別の議論で、ガリレオは次のような仮定を考察しています。2つの物体があり、一方の物体が他方の物体よりも自然な動きで速く動いている場合、2つの物体の組み合わせは、より速く動いている物体単体よりも遅く動き、また、より遅く動いている物体単体よりも速く動きます。例えば、ワックスの球と空気の入った袋が両方とも水中に沈められ、両方とも水中で上昇しますが、空気の入った袋はワックスよりも速く動きます。2つが互いに繋がっている場合、組み合わせは袋単体よりもゆっくりと上昇しますが、ワックス単体よりも速く上昇します。落下する物体についても同じことが言えます。一方が木で、もう一方が空気の入った袋の場合、木は空気の入った袋よりも速く落下しますが、繋がっていると、両者は中間の速度で落下します。この仮定に基づき、ガリレオはアリストテレスの「同じ材質の物体でも、重い物体ほど速く落下する」という主張に立ち返ります。同じ材質だが大きさ（そして重さ）が異なる2つの物体が異なる速度で落下する場合、それらを連結すると、結合した物体は中間の速度で落下すると考えられます。しかし、2つの物体を結合した物体の総重量は、それぞれの単独の物体の総重量よりも大きくなります。したがって、アリストテレスの主張によれば、結合した物体の総重量は、それぞれの単独の物体よりもさらに速く落下するはずであり、これは自己矛盾を招きます。この矛盾を解消する唯一の方法は、アリストテレスの主張を否定し、同じ材質だが大きさ（および重さ）が異なる2つの物体は同じ速度で落下すると仮定することです。この同じ議論は、ガリレオの『二つの新科学』にも再び登場します。

ここで注意すべき点が認識される。同じ材質の物体であっても、その重量を極端に大きくすることはできない。なぜなら、同じ材質の薄い板や葉でさえ水に浮かぶからである。したがって、小さい方の物体の重量と体積は、媒体の粘性の影響を受けないほど十分に大きくなければならない。しかし、この注意点はアリストテレスの当初の主張を正当化するものではない。なぜなら、重量の大きな違いが時間の大きな違いと相関するという仮定は根本的に誤っており、却下されなければならないからである。

ガリレオは次に、同じ媒質中を運動する異なる物質の物体の速度の比について考察します。そのような物体は、大きさが異なるが重さは同じ、重さが異なるが大きさは同じ、または重さと大きさの両方が異なるという3つの点で互いに異なります。しかし、他の方法の比はこの比に還元できるため、重さが異なるが大きさは同じ場合のみを考慮すればよいのです。大きさが異なるが重さは同じ物体の場合、大きい方から小さい方と同じ大きさの部分を取ることができます。したがって、物体は重さは異なりますが大きさは同じになります。そして、同じ物質の物体は大きさが異なっていても同じ速度で運動することが証明されているため、大きい物体と小さい物体は、大きい方から取った部分と同じ比を維持します。大きさと重さの両方が異なる物体の場合、大きい方から小さい方と同じ大きさの部分を取ると、やはり重さは異なりますが大きさは同じ2つの物体が得られます。そして、その部分は、小さい方と運動する際に同じ比率を維持し、大きい方の全体も同様に同じ比率を維持する。また、同じ材質の物体の場合、部分と全体は同じ速度で運動する。

アリストテレスは、同じ物体が異なる媒体中を運動する場合、速度の比は媒体の希薄さの比に等しいと主張した。ガリレオはこの仮定が不合理な結論を導き、したがって誤りであることを証明した。速度の比が媒体の希薄さの比と同じであれば、逆に媒体の希薄さの比は速度の比と同じになる。木は空気中では落下するが水中では落下しないため、空気中の速度と水中の速度の比は等しくない。したがって、空気の希薄さと水の希薄さの比は等しくなく、これは不合理である。

ガリレオは次に、同じ物体が異なる媒体中を上昇運動する際の速度比を調べました。水より軽い固体が水中に完全に沈められると、沈められた物体と同じ体積の水の重さと物体自体の重さの差によって測定される力で、物体は上昇します。言い換えれば、ガリレオは、自然な運動は物体の見かけの重さに基づいていると主張しました。彼は、同じ物体が2つの異なる媒体中を移動する際の相対速度をすぐに知りたい場合は、それぞれの媒体を物体と同じ体積だけ取り、それぞれの媒体の重さから物体の重さを差し引けばよいと結論付けました。余りとして得られる数値が、運動の速度として互いに比例します。同様の議論は、体積は同じだが重さが異なる2つの物体が同じ媒体中を上昇運動と下降運動の両方で移動する際の速度比についても行われました。

この章の終わりまでに、ガリレオは、同じ材質または異なる材質でできた物体、同じ媒質中または異なる媒質中にある物体、そして自然な運動方向が上向きまたは下向きの場合の速度比を示している。ガリレオはこの章の最後に、軽い物体は重い物体よりも先に動き出すと主張しているが、この主張は第22章で再び取り上げられる。

ガリレオは、第8章で説明されている運動を引き起こす力、具体的には、木材を水中に保持するために必要な力を調べ、木材が上向きに動く力は、木材と同じ体積の水の重さが木材の重さを上回る量に等しいと結論づけた。同様に、彼は鉛の球が水中で下向きに動く際の力を調べ、球が同じ大きさの水の球の重さを上回る重さに等しい力で下向きに動くと結論づけた。

ガリレオは次に、前の章の結論を改めて取り上げます。異なる材質の物体であっても、大きさが同じであれば、それらの自然な下降運動の速度の比は、それらの重量の比と同じになります。ここで言う重量とは、物体そのものの重量ではなく、運動が行われる媒体中で測定された重量のことです。このことから、ガリレオは、物体が媒体に存在し、天秤でその物体の重量を測定する場合、媒体中の浮力が常に重量を変化させるため、物体の正確な重量は得られないことを認識します。彼は、物体を真空中で測定できれば、理論的には正確な重量が得られると提案します。しかし、アリストテレスは、真空中での運動は不可能であり、真空中ではすべてのものが等しく重くなると主張します。ガリレオはこの考えを次の章で否定します。

アリストテレスは、空虚の存在を否定するためにいくつかの論拠を挙げた。その一つとして、運動は瞬間的に起こり得ないと仮定し、もし空虚が存在するならば、その中での運動は瞬間的に起こるはずだと示そうとした。そして、それが不可能である以上、空虚も不可能であると結論づけた。さらに、空虚の中で運動が時間とともに起こり得ると仮定すれば、同じ物体が充満した空間と空虚の中で同じ時間内に運動することになるが、これは不可能だと彼は主張した。ガリレオは、アリストテレスはこれらの仮定を証明できず、実際には誤っており、誤った結論を導き出したと論じた。特にガリレオは、アリストテレスが異なる媒体中を運動する同じ物体の速度の比が媒体の希薄さの比に等しいと仮定していると主張したが、ガリレオは第8章でこれが誤りであることを証明した。

アリストテレスの証明では、ある数が別の数に対して持つ関係が、ある数がゼロに対して持つ関係と同じであることは不可能であるとも述べられている。ガリレオは、これは幾何学的比（すなわち、a/b の比）には当てはまるが、算術的関係（すなわち、a - b ）には当てはまらないと主張する。さらに、速度の比が算術的な意味での比（すなわち、差の比）に依存するようにすれば、不合理な結論は導き出されず、したがって物体は真空中も充満空間中と同じように動くことができるだろう、とガリレオは主張する。

充満空間では、物体の運動速度は、物体自身の重量と、物体が移動する媒体の重量との差に依存します。同様に、真空空間では、物体の運動速度は、物体自身の重量と媒体の重量との差に依存しますが、真空空間はゼロであるため、物体の重量と真空空間の重量との差は、物体の本来の重量になります。したがって、真空空間における物体の運動速度は、媒体の重量によって減じられることのない、物体本来の重量に依存します。

ガリレオは、真空はあらゆる充満空間よりも無限に軽いため、真空中での運動はあらゆる充満空間での運動よりも無限に速いというアリストテレスの主張を否定する。ガリレオはアリストテレスの議論の前提は受け入れるものの、瞬間的な運動という結論は否定する。むしろ、彼は、真空中での運動はあらゆる充満空間での運動よりも短い時間で起こると主張する。

アリストテレスは、火を除いて、空気さえもそれぞれの領域において重さを持つと主張した。なぜなら、膨らんだ膀胱はしぼんだ膀胱よりも重いからである。

ガリレオはこれに異議を唱えた。水は空気中では重さがあり、その重さのために下向きに動くことは周知の事実だが、水が水中で沈むというのは不合理である。なぜなら、ある量の水が別の量の水を押し上げる必要があるからだ。さらに、もし水の一部が重く、水中で下向きに動く必要があるとすれば、それはその部分が同じ体積の別の水の部分よりも重いことを意味するが、それでは水が水よりも重くなることになるので不合理である。

膨らんだブラダーに対して、膨らんだブラダーの穴が開いても、空気が強制されずに（つまり圧縮空気なしで）ボールの中に留まる場合、ブラダーの重量は変わりません。しかし、空気が強制的にブラダーに圧縮されると、ブラダー内の空気は自由で拡散した空気よりも重くなります。ガリレオはまた、元素は適切な場所にあるときは重くも軽くもないと主張しました。なぜなら、泳ぐときに水の重さを感じないこと、そして水より軽い物体は上昇し、水より重い物体は沈み、水と同じ重さの物体は上昇も下降もしないことがすでに示されているからです。

アリストテレスは、「絶対的に最も重いもの」とは、他のすべてのものより下に位置し、常に宇宙の中心に向かって移動するものであると定義し、「絶対的に最も軽いもの」とは、他のすべてのものより上に上昇し、常に上昇するだけで決して下降しないものであると定義した。したがって、最も重いのは土であり、最も軽いのは火である。火に重さがあるとすれば、それは何かの下に留まるはずだが、それは観測されない。ガリレオは、火が他のすべてのものより軽いというだけで十分であり、必ずしも重さがないわけではないため、アリストテレスの議論は決定的ではないと反論した。

アリストテレスは、火に重さがあるならば、大量の火は少量の火よりも重くなり、したがって大量の火の方がゆっくりと上昇すると主張した。同様に、土に軽さがあるならば、大量の土は少量の土よりもゆっくりと落下するだろう。しかし、経験は逆を示している。ガリレオは、物体の重さはそれが置かれている媒体によって変化するため、これもまた無効な議論であると反論した。言い換えれば、火は空気中では重さを持たない。第二に、大量の火は少量の火よりも速く上昇する。これは第8章で示されている。ガリレオは、火について正しく推論する方法は、大量の火は少量の空気よりも重くなるが、それは火に重さがない空気中ではなく、火よりも軽い他の媒体、あるいは真空中においてであると提案した。また、火に重さがないと仮定すると、火には密度がないことになるが、密度がないものは真空である。したがって、火は真空であり、これは不合理である。

ガリレオは、地球の下を見ることができない以上、地球が最も重いという主張に疑問を呈した。さらに、水銀（すなわち水銀）は地球をその上に浮かせることが知られているため、地球よりも重い物体が存在することは明らかである。

あらゆる媒質において、重い物体の重量は、その物体と同じ大きさの媒質の一部分の重量だけ減少するため、重量がゼロの媒質においては、固体の重量は減少することなくそのまま維持されることが明らかである。そのような媒質は、真空以外にはあり得ない。同様の考察は、運動の速度とその速度比にも当てはまる。

ガリレオは斜面を滑り落ちる物体の速度を研究したが、その議論の一部は洗練されておらず、誤りも含まれていた。ガリレオは後に、講義ノート『力学』の中でこの議論を（修正を加えて）再検討し、そこでは彼が新たに用いた抽象概念「運動量」を用いて、現代の運動量と角運動量の概念を大まかに説明している。数学者のヴィンチェンツォ・ヴィヴィアーニは後に『二つの新科学』第2版に修正を加え、 『力学』におけるガリレオの洗練された斜面に関する議論の一部を参照し、取り入れた。

この議論において、ガリレオは第9章から、重い物体は持ち上げるのに必要な力と同じだけの力で下向きに動く傾向があることを認識しています。したがって、斜面上の物体を上向きに引っ張るのに必要な力が分かれば、物体が斜面を下る際にどれだけの力が働くかも分かるはずです。この力を測定するために、ガリレオはてこの原理に立ち返りますが、互いに平行なてこの腕ではなく、一方のてこの腕をある角度に曲げ、曲げたてこの腕に加わる力が弱まるようにします。曲げたてこの腕の先端に置かれた重りは、同じ重りが曲げたてこの腕の回転に接する斜面上にある場合と同じ力を受けます。そこから、斜面の力と重りを垂直下向きに動かす力の比を求めることができ、それを用いて速度の比を求めることができます（ただし、これは誤りです）。

ガリレオは議論の中で、天秤から吊るされた物体は完全にまっすぐな水平のレバーアームに対して完全な直角を形成し、それによって物体を吊るす糸が互いに平行になるという仮定を要求した。しかし、地球は球形であり、物体は地球の中心に引き寄せられるため、糸は実際には中心に収束する線を描き、平行にはならないことから、ガリレオはこの仮定に欠陥があると認識していた。言い換えれば、ガリレオは、この仮定は小角近似に基づいていると主張した。ガリレオは、この仮定を擁護して次のように述べている。「そのような反対者に対して私は、畏敬の念を抱かずにその名を口にすることはない超人的なアルキメデスの保護の翼で身を覆っていると答えるだろう。なぜなら、彼は放物線の求積法において同じ仮定をしていたからである…しかし、疑念の瞬間に彼の結論が間違っていると考えてはならない。なぜなら、彼は以前に別の幾何学的証明によって同じ結論を証明していたからである。」^{[ 14 ]}

アリストテレスは、直線は曲線とは比率も比較対象にもならないため、円運動は直線運動とは比率を持たないと主張した。ガリレオはこれを否定し、三角形には3つの角しかないのに対し、正方形には4つの角があるからといって、三角形と正方形は比較対象にならないと言うようなものだと述べた。正方形に内接する円でさえ、円の辺は曲線で正方形の辺は直線であるにもかかわらず、何らかの比率を持っている。ガリレオはさらに、アリストテレスは、直線が質的に異なっていても、量的な関係があることを見落としていたと主張した。また、ガリレオは、円周に等しい直線は存在しないとアリストテレスが断言したのは無謀だったと主張した。アルキメデスは著書『螺旋について』の中で、第一回転の螺旋の周りの円周に等しい直線が存在することを証明している。

ガリレオは、回転する大理石の球体の中心（および重心）が宇宙の中心にある場合、その回転運動は強制されるのか、それとも強制されないのか、という疑問を投げかけた。ガリレオは、物体が本来の位置に向かって動くときに自然運動が起こり、物体が本来の位置から遠ざかるときに強制運動が起こることから、宇宙の中心を回転する球体は自然でも強制でもない動きをしていることは明らかだと主張した。このことから、もし天体に星が一つ加わったとしても、星は本来の位置から遠ざかるときにのみ回転運動を遅くするが、宇宙の中心を回転する場合には上向きにも下向きにも動きがないため、そのようなことは決して起こらないので、天体の動きは遅くならないだろうと彼は主張した。

ガリレオは、この見解が別の疑問を生じさせることを認識している。宇宙の中心に置かれた回転する球体は、自然運動でも強制運動でもないため、球体は永久に回転し続けるのか、それとも最終的には静止するのか。もしその運動が自然運動であれば、球体は永久に動き続けるように見えるだろう。しかし、もしその運動が強制運動であれば、球体は最終的に静止するように見える。ガリレオはこの疑問に直接答えることはなく、代わりにこの疑問は第17章で扱う方が適切だと述べている（そこでもこの疑問は未解決のままである）。しかし、ガリレオは宇宙の中心の外側にある均質な回転球体のケースを検討し、球体を支える軸に抵抗があるため、そのような運動は強制運動であると結論付けている。さらに彼は、軸が無限に小さければ軸に抵抗は生じず、球体の表面が粗ければ空気が回転運動を妨げるだろうと主張している。不均質な球体（つまり、重心が幾何学的中心と異なる球体）の場合、重心が幾何学的中心の周りを回転するため、回転運動は自然回転と強制回転が交互に繰り返されます。

アリストテレスは、物体は動かすものとの接触によって動くと主張するが、投射物は動かすものとの接触なしに飛ぶため、物体の後ろを流れる空気の流れがその運動を伝播させているに違いない。

ガリレオはこの説明に対していくつかの反論を提起した（そのほとんどはガリレオよりずっと以前に認識されていた）。すなわち、発射体を押す空気の連続する部分は常に加速されるが、これはアリストテレスの仮定に反する。経験上、矢は強い向かい風にもかかわらず飛ぶ。オールで流れに逆らって進む船は、オールを水から引き上げた後もずっと前進し続ける。鉄球は遠くまで投げられるが、亜麻の繊維は鉄球よりも早く地面に落ちる。最後に、大理石の球は移動することなく長時間回転できるため、空気が押し付ける空間がなく、球の下に置かれた炎も空気の流れによって乱されない。

ガリレオは、投射運動は、投射体に運動のための自己消滅的な推進力を与える外力によって生じると主張した（ちなみに、ドラブキンによれば、中世哲学史家のE.A.ムーディーは「ガリレオの外力理論の発展をジャン・ブリダンの推進力理論とは明確に区別している」^{[ 15 ]}）。したがって、この外力または推進力は、物体を上向きに投げたときの重さと、下向きに投げたときの軽さを変化させる。

ガリレオはこの作用力を物体の温度に例え、物体を動かす者が物体に作用する時は、鉄を火の中に入れるようなものであり、物体が動かす者の手から離れると、作用力は、鉄が火から引き抜かれた後に熱を失い、本来の冷たさに戻るのとよく似た形で減少すると述べた。作用力が物体のどの部分で生じるかについては、ガリレオは、物体に熱が蓄えられていると考えられる場所に作用力が生じると述べることで、問題の焦点をずらした。

彼は次に、可動装置から可動装置に伝わる力を、ハンマーから鐘に伝わる力に例える。最初はどちらも無音だが、ハンマーが鐘を叩くと、本来の無音とは対照的な響きのある音が鐘に与えられ、時間が経つにつれて音は徐々に小さくなっていく。これは、発射体に加わる力とよく似ている。さらにガリレオは、音を生み出すのは空気が鐘を叩き続けるからではなく、ハンマーから受けた力によって鐘が振動し続けるからだと主張する。

彼はさらに、加えられた力による重量の変化について詳しく説明している。物体は加えられた力によって軽くなるが、その効果は一時的なものであり、物体は運動中ずっと本来の重量を維持しつつ、変化した重さや軽さは時間とともに減少していく。さらに、重い物体は軽い物体よりも運動エネルギーをより長く保持する傾向がある。

ガリレオは次に、どんなに誤った意見であっても、一見すると真実のように見えるため、誰もそれが信じるに値するかどうかを検証しようとしないために、根強く残る理由について論じる。彼は、水そのものが物体を大きく見せるというよくある誤解を例に挙げる。彼はこの現象を実験してみたところ、水に深く浸したコインは全く大きく見えず、むしろ小さく見えることさえあったと述べている。ガリレオは、この誤解はおそらく、夏に水を入れたガラス容器に果物を飾るという装飾的な習慣から生じたものであり、この拡大効果は水そのものによるものではなく、容器の湾曲によるものだと結論づけている。

そして彼は、発射体は媒体によって動かされるのではなく、動かす者によって加えられる推進力によってのみ動かされるということが確実であると強調して、この章を締めくくっている。

ガリレオは、強制運動は無限ではなく、発射体では力が絶えず減少し、一定の速度と一定の推進力による運動は「確かに最もばかげている」と主張した。^{[ 16 ]}ガリレオは後に、彼の著書『二つの新科学』における慣性に関する暗黙の議論を通して、この誤った考えを放棄することになる。

ガリレオは、物体が運動の終わりに加速する理由を説明するのに苦労したことを認めている。彼は解決策を見つけたことに興奮したと述べているが、彼が提示した説明はほとんど誤りである。ガリレオは後に『二つの新科学』の中で自然加速の正しい説明を提供する。対話者サルヴィアティ（年老いたガリレオを象徴）は、そのような加速の原因については説明しないと明言しているが、ここで提示された説明は、対話者サグレド（若いガリレオを象徴）によって述べられている。

アリストテレスは、このような加速に反対し、押し出しによって自然な運動が加速されることはない、なぜならそれは強制的な運動を意味するからだと主張した。しかし後に、逍遥学派は、発射体の後ろを流れる空気の流れが加速の原因だと主張した。ガリレオは、この説明では菱形の物体が加速する理由が説明できないと述べている。なぜなら、流れてくる空気は形状の縁で分割され、物体に衝突することができなくなるからである。

ガリレオは、重い落下物体は最初は動きが遅いことから、運動の開始時の方が中間や終了時よりも物体の重量が軽く、これは何らかの力によるものだと主張した。すると、問題は「なぜ物体は運動の開始時に軽くなるのか？」ということになる。

彼は、重い物体を力で上方に動かすには、抵抗する重さよりも大きな推進力が必要であり、そうでなければ抵抗する重さを克服できないと説明する。言い換えれば、物体は加えられた推進力が抵抗する重さよりも大きい場合に上方に動く。しかし、その力は時間とともに減少するため、最終的には物体の重さを克服できないほど弱くなり、頂点で方向転換する。ただし、頂点では、加えられた力は完全に消滅するのではなく、物体の重さを上回らなくなり、物体の重さと等しくなる。その瞬間、物体は重くも軽くもない。頂点を過ぎると、物体の重さが運動の主要な原動力となり、加えられた力は減少し続ける。しかし、頂点からの下降の開始時には、加えられた力は重さよりも小さいにもかかわらず、物体の軽さに寄与するため、下降運動は最初は遅くなる。

ガリレオは、加速現象に関するこの説明は、プトレマイオスが『アルマゲスト』で引用しているように、哲学者ヒッパルコスによって以前に提唱されていたことを認めているが、ヒッパルコスの説明は不完全であり、その結果、後世の哲学者たちによって否定されたと考えていた。

アリストテレスとその追随者たちは、互いに逆方向の運動は連続し得ないと考え、したがって、石を上に投げ上げて落下させると、石は必ず一定時間、頂点で静止するはずだと信じていた。ガリレオは、ニコラウス・コペルニクスの『天球回転論』への言及を含む一連の反論を通して、この考えを否定した。ガリレオは、頂点での静止状態は一定時間続くのではなく、一瞬のうちに静止状態を通過すると結論づけた。この議論は『二つの新科学』で再び取り上げられている。

アリストテレスは、自然の運動が際限なく続くならば、物体の重さと運動速度は際限なく増加するだろうと考えたが、無限の重さと無限の速度は存在し得ないため、そのような運動は不可能であると結論づけた。

ガリレオはこれに異議を唱え、速度は連続的に増加するわけではなく、たとえそれが可能で、運動が無限に続くことができたとしても、物体は無限の重量と速度に達することはないと主張した。彼は、発射体の加えられた力はいずれ使い果たされ、加速はいずれ停止し、物体はある終端速度に達すると主張した（ガリレオは後に『二つの新科学』で終端速度について再び論じたが、終端速度は加えられた力の減少ではなく、空気抵抗によって達すると説明した）。この議論は、ガリレオが真空中でも終端速度に達すると信じていたことを示唆している。

例えば、ある高さから落ちる羽は、最初はゆっくりと動きますが、その後は一定の動きを維持することが観察されています。ガリレオによれば、その理由は、軽い物体は自身の重さに等しい上向きの反対方向の力しか受けず、また、それほど重くないため、その反対方向の力も小さいからです。したがって、その力はすぐに減少し、落下中にすぐに一定の動きに達するのです。彼はまた、熱のアナロジーにも言及しています。真っ赤に燃える鉄は、熱がすべて奪われると最終的には冷たくなります。同様に、石は軽い状態から重い状態へと変化し、それまでの軽さをすべて失い、最終的には一定の速度に達します。さらに、このような終端速度への接近は漸近的であり、ペルガのアポロニウスの『円錐曲線論』で論じられている双曲線や、アルキメデスの『球と円柱について』第2巻に関するアスカロンのエウトキオスの注釈にあるニコメデスの最初の貝殻曲線などが挙げられます。

アヴェロエスとその弟子たちは、元素はそれぞれの領域で重くなるという仮説に基づいてこの問題の解決策を提案したが、ガリレオは第11章でこの仮説を否定した。彼らはまた、木製の球は鉛の球よりも多くの空気を含んでいるため、木製の球の方が速く動くと信じていた。さらに、鉛は鉄よりも空気中で重いのは、鉛の方が鉄よりも多くの空気を含んでいるからだと信じられていた。ガリレオは、この議論には多くの複雑な問題があることは明らかだと述べている。

ガリレオは、物体が静止状態から自然な運動を始めるとき、その物体の重さと等しく逆向きの力が加わることから運動が始まると提唱した（つまり、物体を最初に支える手や何らかの装置がその力を加える）。その結果、重い物体はより大きな逆向きの力を受けて運動を始めるため、軽い物体よりも運動開始時の落下速度が遅くなるが、逆向きの力がなくなると、重い物体は軽い物体よりも速く落下する。これは経験からも明らかである。

しかし、彼は自身の提唱する理論にはいくつかの難点があると認めている。重い物体はより大きな力が加わって落下するが、同時にその力を克服できるほどの重さも持っているため、重い物体と軽い物体は同じ速度で落下するはずだというのだ。しかし、彼は、反対の力を弱めるのは重さではなく、むしろ反対の力自体が弱まるのだと反論する。それは、熱い鉄が冷えるのとよく似ているというわけだ。

次に、ガリレオは、軽い物体ほど加えられた力が早く減少することを観察します。大砲から発射された鉛は、木よりも遠くまで、より長い時間飛びます。また、木と鉛でできた振り子を同じ初期変位で引っ張って揺らすと、鉛の振り子の方がより長い時間揺れ続けます（これはガリレオが振り子に興味を持った最も初期の記述です。^{[ 4 ]}彼はこの例を『二つの新科学』でも再び言及しています）。最後に、ガリレオは、加えられた力は熱に類似しており、重い物体は軽い物体よりも熱と運動量をより長い時間保持すると主張します。そして、これらの例から、軽い物体が落下の初期段階で重い物体よりも速く動く理由がこれで説明できると結論付けます。

ガリレオは、斜面に関する以前の説明、つまり傾斜角が小さいほど重い物体は容易に押せるが、大砲から斜めに発射された場合はその逆になるという説明を思い出す。しかし、彼はここでの違いは、物体がもはや傾斜面によって支えられているのではなく、加えられた力によって運ばれていることだと指摘する。

この現象を説明するために、彼は、物体の動きに抵抗する力が強いほど、加えられる力も強くなると主張している。つまり、物体の抵抗が大きい状況を見つけることができれば、加えられる力も大きくなる。物体の動きに逆らって力を加えると、物体が静止している場合や同じ方向に動いている場合よりも抵抗が大きくなる。言い換えれば、物体の抵抗は、その重さの動きによって増加する。例えば、スティックボールをするとき、打者はボールが自分に向かって投げられることを望む。ボールの抵抗が大きいほど、より大きな力を加えることができるからだ。一方、ボールが静止しているときは力を加えるのが難しく、打者から遠ざかっているときはさらに難しくなる。石を投げるとき、最初に手を後ろに引かなければならない場合や、スリンガーが石を撃つ場合も同様である。

これらの観察に基づき、ガリレオは、大砲を発射する際、砲身を水平方向よりも垂直方向に向けると鉄球の運動に対する抵抗が大きくなり、よりまっすぐに、より長い距離と時間にわたって発射されると主張した。また、大砲を垂直方向に発射した場合、鉄球は加えられた力がなくなるまで方向転換できない（これは、加えられた力が頂点での重量に等しいと考えられている第19章の内容と矛盾する）が、水平方向に発射した場合はそうはならない、と述べている。