グリッドアイアン振り子

すべての物質は温度の上昇とともに膨張する。${\displaystyle \theta }$そのため、補償されていない振り子の棒は温度上昇で長くなり、時計が遅くなり、温度低下で短くなり、時計が速くなります。その量は、${\displaystyle \alpha }$棒の長さは、棒を構成する材料の線膨張係数（CTE）です。CTEは通常、摂氏1度あたりの百万分率（ppm）で表されます。${\displaystyle L}$ある標準温度で$\displaystyle \theta _{\text{0}}}$温度の関数としての棒の長さ${\displaystyle \theta }$は

${\displaystyle L(\theta )=L+\alpha L(\theta -\theta _{\text{0}})=L[1+\alpha (\theta -\theta _{\text{0}})]}$

もし ${\displaystyle \Delta L=L(\theta )-L}$そして${\displaystyle \Delta \theta =\theta -\theta _{\text{0}}}$長さの棒の膨張または収縮${\displaystyle L}$膨張係数${\displaystyle \alpha }$温度変化によって引き起こされる${\displaystyle \Delta \theta }$[ ^{9 ]： p.250、式10.19}

${\displaystyle \Delta L=\alpha L\Delta \theta }$        （１）

振動周期${\displaystyle T}$振り子の（右振りと左振りの時間間隔）は^{[ 9 ]： p.239、式10.2である。}

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {L \over g}}}$        （２）

長さの変化${\displaystyle \Delta L}$温度変化により${\displaystyle \Delta \theta }$期間に変化をもたらす${\displaystyle \Delta T}$膨張係数が非常に小さいため、温度による長さの変化は非常に小さく、百万分率で表されます。${\displaystyle \Delta T<<T}$周期の変化は一次近似で線形関数として表すことができる^{[ 9 ]： p.250}

${\displaystyle \Delta T={dT \over dL}\Delta L}$

${\displaystyle \qquad ={d \over dL}{\Big (}2\pi {\sqrt {L \over g}}{\Big )}\Delta L=\pi {\Delta L \over {\sqrt {gL}}}}$

式（1）を代入すると、温度変化によって生じる振り子の周期の変化は${\displaystyle \Delta \theta }$は

${\displaystyle \qquad =\pi {\alpha L\Delta \theta \over {\sqrt {gL}}}=\alpha \pi {\sqrt {L \over g}}\Delta \theta }$

${\displaystyle \Delta T={\alpha T\Delta \theta \over 2}}$

したがって、補償されていない振り子の周期の相対的な変化は、膨張係数の半分に温度変化を掛けたものに等しい。

鋼の熱膨張係数（CTE）は1℃あたり11.5ppmなので、鋼棒を使った振り子の熱誤差率は1℃あたり5.7ppm、つまり1日あたり0.5秒（華氏1度あたり0.9秒）になります。1900年以前はほとんどの建物に暖房設備がなかったため、ヨーロッパや北アメリカのような温帯気候の時計は夏冬で約14 ℃（25 °F）の温度差が生じ、1日あたり6.8秒の誤差が生じていました。^{[ 6 ]： p.259}  

これは小さな誤差のように思えるかもしれませんが、1700年代から1800年代にかけては振り子時計が列車の運行スケジュール管理などの厳密な作業における主要な基準であり、大都市以外では時間基準が存在しなかったため、時計を正確に正しい時刻に設定するのは困難な作業であったことを念頭に置く必要があります。太陽や星が頭上を通過する正確な瞬間を観測するには、トランジット望遠鏡が必要であり、その後、暦表を参照して時計を設定すべき時刻を決定しました。そのため、農村部の時計は通常、時刻合わせの間隔が長くなっていました。1日あたり6.8秒の温度誤差は、6か月で21分の誤差になります。

木材の熱膨張係数（CTE）は1℃あたり4.9ppmと小さいため、木製の振り子棒を使用した振り子は、1℃あたり1日0.21秒、つまり14℃の季節変化に対して1日あたり2.9秒という小さな熱誤差しか生じません。そのため、木製の振り子棒は高級な家庭用時計によく使用されていました。木材は湿気によって長さが変化する可能性があるため、大気から保護するためにニスを塗る必要がありました。

グリッドアイアン振り子は対称で、両側に1つずつ、同じリンクの吊り下げ棒が2つあり、振り子のおもりを支点から吊り下げています。各吊り下げチェーン内では、振り子の長さの全体的な変化は${\displaystyle L}$長さの変化は、それを構成する棒の伸縮の合計に等しい。温度が上昇すると、両側の高膨張棒が振り子のおもりを上方に押し上げ、低膨張棒が下方に押し下げる方向とは逆の方向に作用するように設計されているため、正味の長さの変化は、これらの変化の差となる。

${\displaystyle \Delta L=\sum \Delta L_{\text{low}}-\sum \Delta L_{\text{high}}}$

（１）長さの変化から${\displaystyle \Delta L}$温度変化を伴う格子振り子${\displaystyle \Delta \theta }$は

${\displaystyle \Delta L=\sum \alpha _{\text{low}}L_{\text{low}}\Delta \theta -\sum \alpha _{\text{high}}L_{\text{high}}\Delta \theta }$

${\displaystyle \Delta L=(\alpha _{\text{low}}\sum L_{\text{low}}-\alpha _{\text{high}}\sum L_{\text{high}})\Delta \theta }$

どこ${\displaystyle \sum L_{\text{low}}}$は、すべての低膨張（鋼）ロッドの長さの合計であり、${\displaystyle \sum L_{\text{high}}}$は、サスペンションチェーン内のボブからピボットまでの高伸縮ロッドの長さの合計です。温度による長さの変化がゼロになる条件は

${\displaystyle \alpha _{\text{low}}\sum L_{\text{low}}-\alpha _{\text{high}}\sum L_{\text{high}}=0}$

言い換えれば、ロッドの全長比は、2つの金属の熱膨張係数の逆比に等しくなければならない^{[ 3 ] [ 6 ]： p.261 [ 5 ]} 個々のロッドの長さを計算するために、この式は、正しい周期に必要な振り子の全長を与える式（2）とともに解かれる。${\displaystyle T}$

${\displaystyle L=\sum L_{\text{low}}-\sum L_{\text{high}}=g{\big (}{T \over 2\pi }{\big )}^{2}}$

グリッドアイアンを備えた精密振り子時計のほとんどは、「秒振り子」を使用しており、その周期は2秒でした。秒振り子の長さは${\displaystyle L=\,}$0.9936メートル（39.12インチ）。

通常の非補償振り子では、質量の大部分がおもりに集中しているため、振動の中心はおもりの中心付近にあります。そのため、支点からおもりの中心までの長さを測るだけで通常は十分正確でした。${\displaystyle L=}$0.9936 m に設定し、調整ナットで時計の周期を修正します。しかし、グリッドアイアン振り子では、グリッドアイアンが振り子の質量の大部分を占めます。これにより慣性モーメントが変化し、振動中心がグリッドアイアンの重りよりもやや高くなります。したがって、全長は${\displaystyle L}$振り子の周期を正しくするためには、振り子の長さをやや長くする必要があります。この要素を正確に計算するのは困難です。もう一つの小さな要素は、一般的なように振り子のおもりが振り子棒の底部でナットによって支えられている場合、おもりの熱膨張による重心の上昇を考慮に入れる必要があるということです。19世紀の時計職人は、熟練の時計職人が試行錯誤によって見つけた推奨長さの格子棒を通常使用していました。^{[ 7 ]： p.52 [ 8 ]： p.289}

5本のロッドからなるグリッドアイアンでは、各辺に長さ1本の高拡張ロッドがあります。${\displaystyle L_{\text{2}}}$長さの低い拡張ロッドが2本両側に配置されている。${\displaystyle L_{\text{1}}}$そして${\displaystyle L_{\text{3}}}$支点から1つは底部を支える${\displaystyle L_{\text{2}}}$もう一方は上から${\displaystyle L_{\text{2}}}$ボブを支えるために下がる。^{[ 4 ]} したがって、式(3)から補償の条件は次のようになる。

${\displaystyle {\alpha _{\text{high}} \over \alpha _{\text{low}}}={L_{\text{1}}+L_{\text{3}} \over L_{\text{2}}}}$

フレームに収まるためには、高拡張ロッドは各低拡張ロッドと同じかそれより短くなければならないため ${\displaystyle L_{\text{1}}\geq L_{\text{2}}}$そして${\displaystyle L_{\text{3}}\geq L_{\text{2}}}$グリッドアイアンの構築に関する幾何学的条件は

${\displaystyle L_{\text{1}}+L_{\text{3}}\geq 2L_{\text{2}}}$

したがって、5本のロッドからなる格子は、熱膨張係数の比が2以上の金属でのみ製造できる^{[ 4 ] [ 9 ]： p.251}

${\displaystyle {\alpha _{\text{high}} \over \alpha _{\text{low}}}={L_{\text{1}}+L_{\text{3}} \over L_{\text{2}}}\geq 2}$

亜鉛の熱膨張係数は${\displaystyle \alpha }$= 26.2 ppm/°C、鋼の値は11.5なので、比率は${\displaystyle \alpha _{\text{high}}/\alpha _{\text{low}}}$= 2.28。したがって、亜鉛/鋼の組み合わせは5本の棒振り子に使用できます。 亜鉛/鋼グリッドアイアンの補償条件は

${\displaystyle {L_{\text{1}}+L_{\text{3}} \over L_{\text{2}}}=2.28}$

真鍮や鋼鉄など、膨張係数の低い金属を使用するためには、サスペンションの長さのうち膨張率の高い金属の割合を大きくする必要があり、そのため膨張率の高いロッドを多く用いた構造にする必要がある。9本のロッドからなるグリッドアイアンでは、両側に長さ2本の膨張率の高いロッドが配置されている。${\displaystyle L_{\text{2}}}$そして${\displaystyle L_{\text{4}}}$長さの低い拡張ロッドが3本両側に配置されている。${\displaystyle L_{\text{1}}}$、${\displaystyle L_{\text{3}}}$そして${\displaystyle L_{\text{5}}}$^{[ 4 ]}したがって、式(3)から補償の条件は次のようになる。

${\displaystyle {\alpha _{\text{high}} \over \alpha _{\text{low}}}={L_{\text{1}}+L_{\text{3}}+L_{\text{5}} \over L_{\text{2}}+L_{\text{4}}}}$

フレームに収まるようにするには、2本の高膨張ロッドのそれぞれが、高膨張ロッドのそれぞれと同じかそれより短くなければならないため、構築の幾何学的条件は次のようになります。

${\displaystyle L_{\text{1}}+L_{\text{3}}+L_{\text{5}}\geq {3 \over 2}(L_{\text{2}}+L_{\text{2}})}$

したがって、9本のロッドからなる格子鉄板は、熱膨張係数の比が1.5を超える金属で作ることができる。^{[ 4 ] [ 9 ]： p.251}

${\displaystyle {\alpha _{\text{high}} \over \alpha _{\text{low}}}={L_{\text{1}}+L_{\text{3}}+L_{\text{5}} \over L_{\text{2}}+L_{\text{4}}}\geq 1.5}$

真鍮の熱膨張係数は約${\displaystyle \alpha }$= 19.3 ppm/°C、比率は${\displaystyle \alpha _{\text{high}}/\alpha _{\text{low}}}$= 1.68。したがって、真鍮/鋼は5ロッドグリッドアイアンでは使用できませんが、9ロッドバージョンでは使用できます。^{[ 4 ]} したがって、上記のCTEを持つ真鍮を使用した真鍮/鋼グリッドアイアンの補償条件は

${\displaystyle {L_{\text{1}}+L_{\text{3}}+L_{\text{5}} \over L_{\text{2}}+L_{\text{4}}}=1.68}$