マルチフラクタルシステム

マルチフラクタルシステムは、フラクタルシステムの一般化であり、単一の指数（フラクタル次元）ではそのダイナミクスを記述するのに十分ではなく、代わりに指数の連続スペクトル（いわゆる特異点スペクトル）が必要である。^[1]

マルチフラクタルシステムは自然界に広く見られる。これには、海岸線の長さ、山の地形、^[2] 完全に発達した乱流、現実世界の風景、心拍のダイナミクス、^[3] 人間の歩き方^[4]と活動、^[5] 人間の脳の活動、^{[6] [7] [8] [9] [10] [11] [12]}および自然光の時系列^{[13]などが含まれる。}流体力学における乱流からインターネットトラフィック、金融、画像モデリング、テクスチャ合成、気象学、地球物理学など、さまざまなコンテキストでモデルが提案されている。^[要出典]シーケンシャル（時系列）データのマルチフラクタル性の起源は、中心極限定理に関連する数学的な収束効果に起因しており、この収束効果は、 Tweedie 指数分散モデル、^[14]および幾何学的 Tweedie モデルとして知られる統計分布の族を収束の焦点としている。 ^[15] 最初の収束効果はモノフラクタルシーケンスを生成し、2番目の収束効果はモノフラクタルシーケンスのフラクタル次元の変化に関与します。^[16]

マルチフラクタル解析は、多くの場合、他のフラクタル解析やラキュナリティ解析の手法と組み合わせて、データセットを調査するために使用されます。この手法では、パターンから抽出されたデータセットを歪めて、データセット全体でスケーリングがどのように変化するかを示すマルチフラクタルスペクトルを生成します。マルチフラクタル解析は、複雑なネットワークの生成ルールと機能を解読するために使用されてきました。^[17]マルチフラクタル解析技術は、地震の予測や医療画像の解釈など、さまざまな実用的な状況に適用されています。^{[18] [19] [20]}

マルチフラクタルシステムでは、任意の点の周りの動作は局所的なべき乗法則によって記述されます。 ${\displaystyle s}$

${\displaystyle s({\vec {x}}+{\vec {a}})-s({\vec {x}})\sim a^{h({\vec {x}})}.}$

指数は点の周りの局所的な特異性または規則性の度合いを表すため、特異点指数と呼ばれます。^[21]${\displaystyle h({\vec {x}})}$${\displaystyle {\vec {x}}}$

同じ特異点指数を共有するすべての点によって形成される集合は、指数 h の特異点多様体と呼ばれ、特異点スペクトルというフラクタル次元のフラクタル集合です。に対する曲線は特異点スペクトルと呼ばれ、変数の統計分布を完全に記述します。^[要出典] ${\displaystyle D(h):}$${\displaystyle D(h)}$${\displaystyle h}$${\displaystyle s}$

実際には、物理​​システムのマルチフラクタル挙動は、その特異点スペクトルによって直接特徴付けられるわけではありません。むしろ、データ解析によってマルチスケーリング指数にアクセスできます。実際、マルチフラクタル信号は一般にスケール不変性特性に従い、スケール に応じて多重解像度量にべき乗則挙動をもたらします。研究対象のオブジェクトに応じて、 で表されるこれらの多重解像度量は、サイズ のボックス内の局所平均、距離 にわたる勾配、スケール でのウェーブレット係数などになります。マルチフラクタル オブジェクトの場合、通常、次の形式のグローバルべき乗則スケーリングが観察されます。^{[引用が必要]}${\displaystyle X}$${\displaystyle D(h)}$ ${\displaystyle \zeta (q),\ q\in {\mathbb {R} }}$${\displaystyle a}$${\displaystyle T_{X}(a)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle \langle T_{X}(a)^{q}\rangle \sim a^{\zeta (q)}\ }$

少なくともある範囲のスケールとある範囲のオーダーでは、そのような振る舞いが観察されるとき、スケール不変性、自己相似性、または多重スケーリングについて語られる。^[22]${\displaystyle q}$

いわゆるマルチフラクタル形式を用いると、いくつかの適切な仮定の下で、ルジャンドル変換を介して特異点スペクトルと多重スケーリング指数の間に対応関係が存在することが示せる。 の決定にはデータの徹底的な局所分析が必要であり、これは困難で数値的に不安定な計算となるが、 の推定には統計平均と対数対数図の線形回帰を使用する。 が分かれば、簡単なルジャンドル変換によって の推定値を導き出すことができる。^[要出典]${\displaystyle D(h)}$${\displaystyle \zeta (q)}$${\displaystyle D(h)}$${\displaystyle \zeta (q)}$${\displaystyle \zeta (q)}$${\displaystyle D(h),}$

マルチフラクタルシステムは、乗法カスケードなどの確率過程によってモデル化されることが多い。 は、より大きなスケールからより小さなスケールへと進むにつれての分布の進化を特徴付けるため、統計的に解釈される。この進化は、統計的間欠性と呼ばれることが多く、ガウスモデルからの逸脱を示す。^{[引用が必要]}${\displaystyle \zeta (q)}$${\displaystyle T_{X}(a)}$${\displaystyle a}$

乗法カスケードとしてモデル化することで、マルチフラクタル特性の推定も可能となる。^[23]この方法は、比較的小さなデータセットでも十分に機能する。乗法カスケードをデータセットに最大限適合させることで、完全なスペクトルを推定できるだけでなく、誤差の妥当な推定値も得られる。^[24]

マルチフラクタルスペクトルは、デジタル画像のボックスカウンティングから決定できます。まず、ボックスカウンティングスキャンを実行して、ピクセルがどのように分布しているかを決定します。次に、この「質量分布」が一連の計算の基礎となります。^{[25] [26] [27]}基本的な考え方は、マルチフラクタルの場合、ボックス に現れるピクセルの数がボックスサイズ に応じて変化するというものです。この指数は、式 0.0のように画像全体で変化します(注: モノフラクタルの場合、対照的に指数はセット全体で有意に変化しません)。は、式 2.0のようにボックスカウンティングピクセル分布から計算されます。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle m}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle \epsilon }$=セットが検査される任意のスケール（ボックスカウントのボックスサイズ）

${\displaystyle i}$= セット上に置かれた各ボックスのインデックス${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle m_{[i,\epsilon ]}}$=任意のボックス内のピクセル数または質量、サイズ${\displaystyle i}$${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle N_{\epsilon}}$= 0ピクセル以上を含むボックスの合計、各${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle P}$式3.0と式3.1のように特定の方法で歪んだ場合にピクセル分布がどのように動作するかを観察するために使用されます。

${\displaystyle Q}$= データセットを歪める指数として使用する任意の値の範囲

• のとき、式 3.0 はすべての確率の通常の合計である 1 に等しくなり、 のとき、すべての項が 1 に等しくなるため、合計は数えられたボックスの数 に等しくなります。${\displaystyle Q=1}$${\displaystyle Q=0}$${\displaystyle N_{\epsilon}}$

これらの歪曲方程式はさらに、セットが拡大縮小または分解されたり、一連のサイズの部分に分割され、Q によって歪められたりしたときにセットがどのように動作するかを示し、次のようにセットの次元の異なる値を見つけるために使用されます。 ${\displaystyle \epsilon }$

• 式3.0の重要な特徴は、式4.0の指数に累乗されたスケールに応じて変化することもわかることです。${\displaystyle \tau}$

したがって、式4.1に基づいて、各 に対する の対数に対する の対数に対する回帰直線の傾きから、の一連の値を求めることができます。 ${\displaystyle \tau_{(Q)}}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle Q}$

• 一般化された次元の場合:

• ${\displaystyle \alpha _{(Q)}}$は、 log A _{、Q${\displaystyle \epsilon }$}とlog${\displaystyle \epsilon }$の回帰直線の傾きとして推定されます。

• すると式5.3から分かります。${\displaystyle f_{\left(\alpha _{(Q)}\right)}}$

• 平均は、に対するの対数-対数回帰直線の傾きとして推定されます。ここで、${\displaystyle \tau_{(Q)}}$${\displaystyle \tau _{{(Q)}_{[\epsilon ]}}}$${\displaystyle \epsilon }$

実際には、確率分布はデータセットのサンプリング方法に依存するため、適切なサンプリングを確保するための最適化アルゴリズムが開発されています。^[25]

^{マルチフラクタル解析は、物理学、 [28] [29]}情報科学、生物科学など多くの分野で効果的に利用されてきました。 ^[30]例えば、鉄筋コンクリートせん断壁の表面の残留ひび割れパターンの定量化などです。^[31]

マルチフラクタル解析は、様々な種類のデータセットを特徴付けるために、いくつかの科学分野で使用されています。^{[32] [5] [8]}本質的には、マルチフラクタル解析は、パターンから抽出されたデータセットに歪み係数を適用し、各歪みでデータがどのように動作するかを比較します。これは、図に示すように、データセットを「歪曲レンズ」を通して見るのと類似した、マルチフラクタルスペクトルと呼ばれるグラフを使用して行われます。 ^[25]実際には、いくつかの種類のマルチフラクタルスペクトルが使用されています。

_{実用的なマルチフラクタル スペクトルの 1 つは、D Q}対 Qのグラフです。ここで、D _{Q はデータセットの}一般化された次元であり、Q は任意の指数のセットです。したがって、一般化された次元という表現は、データセットの次元のセットを指します (ボックス カウントを使用して一般化された次元を決定するための詳細な計算については、以下で説明します)。

_{D Q} vs Qのグラフの一般的なパターンは、パターンのスケーリングを評価するために使用できます。グラフは一般に、Q=0 付近で減少するシグモイド型で、D _(Q=0) ≥ D _(Q=1) ≥ D _(Q=2)です。図に示すように、このグラフィカル スペクトルの変化は、パターンを区別するのに役立ちます。この画像は、非フラクタル セット、モノ フラクタル セット、およびマルチ フラクタル セットのバイナリ画像のマルチフラクタル分析による D _(Q)スペクトルを示しています。サンプル画像の場合と同様に、非フラクタルおよびモノ フラクタルは、マルチフラクタルよりも平坦な D _(Q)スペクトルになる傾向があります。

一般化された次元は重要な特定の情報も与えます。D _(Q=0)は容量次元に等しく、これは図に示した分析ではボックスカウント次元です。D _(Q=1)は情報次元に等しく、D _(Q=2)は相関次元に等しくなります。これはマルチフラクタルの「マルチ」に関係しており、マルチフラクタルは D _(Q)対 Q スペクトルで複数の次元を持ちますが、モノフラクタルはその領域でかなり平坦なままです。^{[25] [26]}

もう 1 つの便利なマルチフラクタル スペクトルは、対のグラフです(計算を参照)。これらのグラフは通常、 Q=0 でフラクタル次元に近い最大値まで上昇し、その後下降します。D Q_対Q スペクトルと同様に、これらも非フラクタル、モノフラクタル、マルチフラクタル パターンの比較に役立つ典型的なパターンを示します。特に、これらのスペクトルでは、非フラクタルとモノフラクタルは特定の値に収束しますが、マルチフラクタル パターンからのスペクトルは通常、より広い領域にわたって山を形成します。 ${\displaystyle f(\alpha )}$${\displaystyle \alpha}$

生態学におけるD _q vs. Qの応用例の1つは、種の分布の特徴づけである。伝統的に、相対的な種の豊富さは、個体の位置を考慮せずに、ある領域について計算される。相対的な種の豊富さの同等の表現は種のランクであり、種ランク表面と呼ばれる表面を生成するために使用される。^[33]これは、一般化された次元を使用して分析され、生物多様性の中立理論、メタコミュニティダイナミクス、またはニッチ理論で観察されるもののようなさまざまな生態学的メカニズムを検出することができる。^{[33] [34]}

• ド・ラーム曲線 – カントール空間のイメージとして得られる連続フラクタル曲線
• 非整数ブラウン運動 - 確率論の概念
• トレンド除去変動分析 – 統計用語
• トゥイーディー分布 – 確率分布のファミリーリダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• マルコフスイッチングマルチフラクタル – 資産収益のモデルフォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ
• 重み付き平面確率格子 – 格子とグラフの両方の特性の一部を共有する数学的構造フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ

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• マルチフラクタルの視覚化の動画