奇妙なループ

奇妙なループとは、階層的システムにおいて複数のレベルを通過する循環構造である。これは、システム内を上方向または下方向にのみ移動することで、開始点に戻ってしまう場合に発生する。奇妙なループには、自己言及やパラドックスが含まれる場合がある。奇妙なループの概念は、ダグラス・ホフスタッターが『ゲーデル、エッシャー、バッハ』で提唱し、広く議論されており、2007年に出版されたホフスタッターの著書『私は奇妙なループ』でさらに詳しく説明されている。

絡み合った階層とは、奇妙なループが現れる 階層的な意識体系のことである。

奇妙なループとは、レベルの階層であり、各レベルは、何らかの関係によって少なくとも 1 つのレベルとリンクされています。奇妙なループの階層は「絡み合っている」(ホフスタッターはこれを「ヘテロ階層」と呼んでいます) ため、明確に定義された最高レベルや最低レベルはありません。レベル間を移動すると、最終的には開始点、つまり元のレベルに戻ります。ホフスタッターが提示する奇妙なループの例には、MC エッシャーの作品の多く、JS バッハの「音楽の捧げもの」のカノン 5. a 2 、タンパク質合成とDNA 複製を介したDNAと酵素間の情報フロー ネットワーク、形式システムにおける自己参照的なゲーデルのステートメントなどがあります。

ホフスタッターは著書『I Am a Strange Loop』の中で、奇妙なループを次のように定義しています。

しかし、私が「奇妙なループ」と言うとき、私は別のことを念頭に置いています。それは、より具体的ではなく、よりとらえどころのない概念です。私が「奇妙なループ」で意味しているのは、物理的な回路ではなく、抽象的なループです。このループでは、循環を構成する一連の段階で、ある抽象レベル (または構造) から別のレベルへの移行があり、階層構造の上向きの動きのように感じられますが、どういうわけか、連続した「上向き」への移行によって、閉じたサイクルが生じることになります。つまり、自分の原点からどんどん離れていくという感覚があるにもかかわらず、驚いたことに、まさに出発点に戻ってしまうのです。つまり、奇妙なループとは、逆説的なレベル交差フィードバック ループです。(pp. 101–102)

ホフスタッターによれば、奇妙なループは人間の意識の中で形成される。脳内の活動的な記号の複雑さが必然的に同じ種類の自己言及につながるためである。これはゲーデルが不完全性定理で証明したように、十分に複雑な論理的または算術的システム（ペアノ公理によって算術を可能にする）には必ず内在する。^{[1]ゲーデルは、数学と論理には奇妙なループ、つまり}数学的および論理的真理だけでなく、それらの真理を表現する記号体系も参照する命題が含まれていることを示した。これは、「この文は誤りである」などの文に見られるようなパラドックスにつながる。この場合、文の真理の根拠は文自体とその主張を参照することにあり、論理的パラドックスを引き起こす。^[2]

ホフスタッターは、心理的自己は同様のパラドックスから生じると主張している。脳は「私」を持って生まれるわけではない。自我は、経験によって脳の密集した活動的シンボルの網が豊かで複雑なタペストリーに形作られ、それが自分自身に逆戻りし始めるにつれて、徐々に出現する。この見解によれば、心理的「私」は物語のフィクションであり、シンボルデータの取り込みと、そのデータから自分自身についての物語を作成する脳の能力からのみ作成されるものである。その結果、自己観点は脳内のシンボル活動のユニークなパターンの集大成であり、これは、アイデンティティを作り、主体性を構成するシンボル活動のパターンが、他の人の脳内で、そしておそらく人工脳内でも複製できることを示唆している。^[2]

奇妙なループの「奇妙さ」は脳の知覚から来ています。なぜなら、脳は入力を少数の「シンボル」に分類するからです (ホフスタッターは、外界の何かを表すニューロンのグループを意味しています)。したがって、ビデオ フィードバック ループと脳の奇妙なループの違いは、前者が光をスクリーン上の同じパターンに変換するのに対し、後者はパターンを分類してその「本質」を出力するため、脳が「本質」に近づくにつれて、奇妙なループがさらに深く進むという点です。^[3]

ホフスタッターは、心は「下向きの因果関係」によって世界を決定しているように見える、つまり、結果をその根底にある原因の観点から見る、と考えている。ホフスタッターは、これはゲーデルの不完全性定理の証明で起こると述べている。

公式の意味を知るだけで、公理から「上へ」系統的にたどっていく昔ながらの方法で導出する努力をすることなく、その真偽を推論することができます。これは単に奇妙なだけでなく、驚くべきことです。通常、数学的な推測が述べていることだけを見て、その文の内容だけを頼りにして、その文が真か偽かを推論することはできません。(pp. 169–170)

ホフスタッターは、同様の「因果関係の逆転」が自己意識を持つ心の中で起こるようであり、心は自分自身を特定の感情の原因として認識すると主張している。

形式システムにおける下向きの因果性と脳における下向きの因果性の類似点は、2022年にテオドール・ネヌによって^[4] 、ホフスタッターの心の形而上学の他の側面とともに研究されている。ネヌはまた、それが証明可能であることを「自分自身について述べている」文（論理学者レオン・ヘンキンにちなんで名付けられたヘンキン文としても知られる）に焦点を当てて、上記の引用の正しさに疑問を投げかけている。適切なメタ数学的選択（ヒルベルト-ベルネイの証明可能性条件が満たされない場合）の下では、調査中の算術システムに対して形式的に決定不可能な（または形式的に反証可能な）ヘンキン文を構築できることが判明している。このシステムは、ゲーデル、エッシャー、バッハで使用されているホフスタッターのタイポグラフィック数論、またはより馴染みのあるペアノ算術、または十分に豊富な他の形式算術である可能性が高い。したがって、「それ自体が証明可能であると述べている」文の例はありますが、それらは、表示された引用文で説明されているような下向きの因果力を示しません。

ホフスタッターは、奇妙なループの考え方を示す例として、バッハの「カノン・ペル・トノス」、M.C.エッシャーの絵画「滝」、「描く手」、「上昇と下降」、そして嘘つきのパラドックスを指摘しており、これはゲーデルの不完全性定理の証明で完全に表現されています。

「鶏が先か卵が先か」のパラドックスは、おそらく最もよく知られている奇妙なループ問題です。

自分の尾を食べるドラゴンを描いた「ウロボロス」は、おそらく反射ループの概念を象徴的に表現した最も古く普遍的なものの 1 つです。

シェパード トーンは、奇妙なループのもう 1 つの実例です。ロジャー シェパードにちなんで名付けられたこの音は、オクターブで区切られた音の重ね合わせで構成されています。音の基本ピッチを上下させて演奏すると、シェパード スケールと呼ばれます。これにより、音のピッチが継続的に上昇または下降しているが、最終的には高くも低くもならないという聴覚の錯覚が生まれます。同様に、ジャン クロード リセットによって実証されたように、一見するとテンポがどんどん速くなっているような音も作成できます。

シェパード・リセットのグリッサンド

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奇妙なループを描いた視覚的錯視には、ペンローズ階段やバーバーポール錯視などがあります。

ソフトウェア プログラミングにおけるクインとは、外部からの入力なしに自分自身の新しいバージョンを生成するプログラムです。同様の概念にメタモーフィック コードがあります。

エフロンのサイコロは、ギャンブラーの好みに従って推移する4 つのサイコロです。つまり、サイコロはA > B > C > D > Aの順序で並びます。ここで、x > y は「ギャンブラーはyよりもxを好む」という意味です。

個人の好みは常に推移的であり、エフロンのサイコロやじゃんけんなどの明示的なルールが与えられた場合の好みは除外されます。ただし、グループの集合的な好みは非推移的である可能性があります。これにより、コンドルセのパラドックスが発生する可能性があります。つまり、1 人の候補者から一連の多数派の好みをたどる経路をたどると、元の候補者に戻り、グループによる明確な好みが残らない場合があります。この場合、ある候補者が対立候補に勝ち、その対立候補が別の対立候補に勝ち、これを繰り返して、元の候補者に勝つ候補者に到達します。

嘘つきのパラドックスとラッセルのパラドックスにも奇妙なループが含まれており、ルネ・マグリットの絵画『イメージの裏切り』も同様です。

多義性という数学的現象は奇妙なループとして観察されています。表示レベルでは、この用語は単一の実体が複数の数学的対象を意味すると考えられる状況を指します。Tanenbaum (1999) を参照してください。

「石切場物語」は、社会階層と自然階層を奇妙なループとして説明する物語である 日本の古い童話です。

• 奇妙なループ-マイケル・R・ジャクソンによるブロードウェイ ミュージカル。タイトルはホフスタッターの奇妙なループから取られ、参照されている。
• 不条理主義 – 人生全般に意味がないとする理論
• オートポイエーシス – 自動的な再生と維持を伴うシステム概念
• キャッチ22  – 矛盾した制約のために問題を避けられない状況
• 因果ループ – タイムトラベルから生じる理論上のパラドックスPages displaying short descriptions of redirect targets
• ジレンマ – 同じように望ましくない選択肢の中から選択しなければならない問題
• エウテュプロンのジレンマ – ソクラテスが提起した道徳の起源に関する倫理的問題
• 祖父のパラドックス - タイムトラベルから生じる理論上のパラドックスPages displaying short descriptions of redirect targets- 自分の祖父を殺すために過去に戻ると循環的な矛盾が生じる
• ヒステロン・プロテロン – 自然または合理的な順序を逆転させる比喩表現
• アイロニー – 修辞技法と文学技法
• クラインの壷 – 向き付け不可能な数学的表面
• ミゼ・アン・アビム – イメージのコピーをイメージの中に配置したり、ストーリーの中にストーリーを配置する技法
• メノン - プラトンの対話 - パラドックス: 人は、与えられた知識をすでに所有していなければならない。そうでなければ、それが「発見」されたとしても認識できない。
• メタモルフィックコード – コンピュータウイルスが使用するコードの種類
• メビウスの帯 – 1辺が向きが決められない面
• ミュンヒハウゼンの三重苦 – いかなる真実も証明できないことを示すために使われる思考実験
• 存在論的パラドックス – タイムトラベルから生じる理論的なパラドックスPages displaying short descriptions of redirect targets
• 光学フィードバック
• ウロボロス – 尾を口にくわえた象徴的な蛇
• ペンローズ階段 – 不可能物体
• 永久運動 - 外部からのエネルギー入力なしに継続的に行われる作業
• フェニックス（神話）  – 周期的に生まれ変わる不死の鳥
• ピッチの循環性 – ピッチが際限なく上昇または下降しているように見える固定された一連の音
• ポリテリー – 問題解決テクニック
• 運命のパラドックス – タイムトラベルから生じる理論上のパラドックスPages displaying short descriptions of redirect targets
• 再帰性（社会理論）  - 原因と結果の循環的な関係
• じゃんけん - 2人以上で遊ぶ手遊びゲーム
• シェパードトーン – 聴覚の錯覚
• 三羽のウサギ – 三回回転対称の三羽のウサギのモチーフ
• タッパーの自己参照式 - グラフ化したときに視覚的に表現される式