反復関数システム

数学において、反復関数系（IFS ）はフラクタルを構成する方法であり、結果として得られるフラクタルはしばしば自己相似である。IFSフラクタルはフラクタル幾何学よりも集合論とより関連が深い。 ^{[ 1 ]}これらは1981年に導入された。

一般的にIFSフラクタルと呼ばれるものは、次元数は任意ですが、通常は2次元で計算および描画されます。フラクタルは、自身を複数コピーしたものの集合体で構成され、各コピーは関数によって変換されます（そのため「関数系」と呼ばれます）。代表的な例はシェルピンスキー三角形です。関数は通常、縮約関数であり、点を互いに近づけ、形状を小さくします。したがって、IFSフラクタルの形状は、互いに重なり合う可能性のある複数の小さなコピーで構成され、それぞれのコピーもまた自身をコピーしたもので構成され、無限に続きます。これが、自己相似フラクタルの性質の源です。

形式的には、反復関数系は完備距離空間上の縮小写像の有限集合である。^{[ 2 ]}記号的には、

${\displaystyle \{f_{i}:X\to X\mid i=1,2,\dots ,N\},\ N\in \mathbb {N} }$

各f _{i が}完全距離空間X上の縮小である場合、それは反復関数システムである。

ハッチンソンは、距離空間ℝ ⁿに対して、あるいはより一般的には、完備距離空間に対して、${\displaystyle X}$このような関数系は、一意の非空コンパクト（閉集合かつ有界）固定集合Sを持つ。^{[ 3 ]}固定集合を構成する一つの方法は、まず初期の非空閉集合S ₀から始め、関数f _iの作用を反復し、S _{n +1を関数}f _iによるS _nの像の和集合とし、次にS を極限lim n →∞ S _nの閉包とする。記号的に、一意の固定（非空コンパクト）集合S ⊆ Xは次の性質を持つ。

${\displaystyle S={\overline {\bigcup _{i=1}^{N}f_{i}(S)}}.}$

したがって、集合Sは、 A ⊆ Xに対して定義されるハッチンソン演算子F  : 2 ^X → 2 ^Xの固定集合である。

${\displaystyle F(A)={\overline {\bigcup _{i=1}^{N}f_{i}(A)}}.}$

Sの存在と一意性は、縮約写像原理の結果であり、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }F^{n}(A)=S}$

X内の任意の空でないコンパクト集合Aに対して。（縮小 IFS の場合、この収束は任意の空でない閉じた有界集合Aに対しても発生します。）Sに任意に近いランダムな要素は、以下に説明する「カオス ゲーム」によって得られます。

最近、非縮小型のIFS（すなわち、 X内の位相的に等価な計量に関して縮小写像ではない写像で構成される）がアトラクターを生み出すことが示された。これらは射影空間で自然に発生するが、円上の古典的な無理数回転も適用できる。^{[ 4 ]}

関数の集合f _{i は}、合成によってモノイドを生成します。そのような関数が 2 つしかない場合、モノイドは二分木として視覚化できます。この木の各ノードでは、一方の関数または他方の関数と合成できます (つまり、左の枝または右の枝を選択します)。一般に、関数がk個ある場合、モノイドは完全なk分岐木、別名ケイリー木として視覚化できます。

場合によっては、各関数f _iは線形変換、より一般的にはアフィン変換である必要があり、したがって行列で表現されます。しかし、IFS は射影変換やメビウス変換などの非線形関数から構築することもできます。フラクタルフレームは、非線形関数を用いた IFS の一例です。

IFSフラクタルを計算する最も一般的なアルゴリズムは「カオスゲーム」と呼ばれています。これは、平面上のランダムな点を選択し、関数系からランダムに選択された関数のいずれかを繰り返し適用して点を変換し、次の点を得るというものです。別のアルゴリズムとしては、指定された最大長までの関数の可能なシーケンスをすべて生成し、それらのシーケンスを初期点または形状に適用した結果をプロットする方法があります。

これらのアルゴリズムはそれぞれ、フラク​​タル全体に分布する点を生成するグローバルな構造を提供します。フラクタルの小さな領域を描画する場合、これらの点の多くは画面の境界外に位置します。そのため、このように描画されたIFS構造を拡大表示することは実用的ではありません。

IFSの理論では各関数が収縮的であることが要求されるが、実際にはIFSを実装するソフトウェアはシステム全体が平均的に収縮的であればよい。^{[ 5 ]}

PIFS（分割反復関数システム）、別名ローカル反復関数システム^{[ 6 ]}は、単純なIFSフラクタルに見られるような自己相似構造を持たないように見える写真に対しても、驚くほど優れた画像圧縮を実現します。^{[ 7 ]}

IFS または PIFS パラメータのセットから画像を生成する非常に高速なアルゴリズムが存在します。画像内の各ピクセルの色を保存して送信するよりも、画像がどのように作成されたかの説明を保存し、その説明を宛先デバイスに送信し、宛先デバイスでその画像を新たに生成する方が高速で、必要なストレージ容量もはるかに少なくて済みます。^{[ 6 ]}

逆問題はより困難です。デジタル写真などの任意の元のデジタル画像が与えられたとき、反復によって評価されたときに元の画像と視覚的に類似した別の画像を生成するIFSパラメータのセットを見つけようとします。1989年に、Arnaud JacquinはPIFSのみを使用して逆問題の制限された形式の解を発表しました。逆問題の一般形式は未解決のままです。^{[ 8 ] [ 9 ] [ 6 ]}

1995年までに、すべてのフラクタル圧縮ソフトウェアはジャクインのアプローチに基づいていた。^{[ 9 ]}

この図は、2つのアフィン関数からIFS上に構築される過程を示しています。関数は、2単位の正方形に対する効果によって表されます（関数は、輪郭線で囲まれた正方形を網掛けされた正方形に変換します）。2つの関数の組み合わせによってハッチンソン演算子が形成されます。演算子の3回の反復が示され、最後に固定点、つまり最終的なフラクタルが画像として表示されます。

IFSによって生成される可能性のあるフラクタルの初期の例としては、 1884年に初めて記述されたカントール集合や、 1957年にジョルジュ・ド・ラムによって記述された自己相似曲線の一種であるド・ラム曲線などが挙げられる。

IFSは1981年にジョン・E・ハッチンソンによって現在の形で考案され^{[ 3 ]} 、マイケル・バーンズリーの著書『Fractals Everywhere』によって普及した。

IFS（内部構造システム）は、自然界の枝分かれ構造によく見られる自己相似性を利用して、特定の植物、葉、シダのモデルを提供する。

• 複素基底システム
• コラージュ定理
• 解析関数の無限合成
• Lシステム
• フラクタル圧縮

• Draves, Scott ; Erik Reckase (2007年7月)。「フラクタルフレームアルゴリズム」(PDF) 。 2008年5月9日にオリジナル(PDF)からアーカイブ済み。 2008年7月17日取得。
• ファルコナー、ケネス（1990）。フラクタル幾何学：数学的基礎と応用。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。pp . 113–117、136。ISBN  0-471-92287-0。
• Barnsley, Michael ; Andrew Vince (2011). "一般反復関数システム上のカオスゲーム". Ergodic Theory Dynam. Systems . 31 (4): 1073– 1079. arXiv : 1005.0322 . Bibcode : 2010arXiv1005.0322B . doi : 10.1017/S0143385710000428 . S2CID 122674315 . 
• David, Claire (2019). 「ワイエルシュトラス型関数のフラクタル特性」 .国際幾何学センター論文集. 12 (2): 43– 61. doi : 10.15673/tmgc.v12i2.1485 . S2CID 209964068 . 

• 複素関数の無限合成に関する初等理論入門