フラクタル文字列

通常のフラクタル ストリングは、 実数直線の有界な開集合です。このようなサブセットは、関連する長さが非増加順に書かれた、連結された開区間のせいぜい可算な和集合として記述できます。をフラクタル ストリングとも呼びます。たとえば、はカントール集合に対応するフラクタル ストリングです。フラクタル ストリングは 1 次元の「フラクタル ドラム」の類似物であり、通常、この集合はカントール集合などのフラクタルに対応する境界を持ちます。フラクタル ストリングのヒューリスティックなアイデアは、「フラクタルの周囲の空間」を使用して (1 次元の) フラクタルを研究することです。集合 の長さのシーケンス自体は「本質的」であることがわかります。つまり、フラクタル ストリング自体 (これらの長さを集合 の選択に対応するものとして特定の幾何学的実現とは無関係に) には、対応するフラクタルに関する情報が含まれているということです。^[1]${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle {\mathcal {L}}=\{\ell _{1},\ell _{2},\ldots \}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}=\left\{{\frac {1}{3}},{\frac {1}{9}},{\frac {1}{9}},\ldots \right\}}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \オメガ}$

各フラクタル文字列を、幾何学的ゼータ関数、すなわちディリクレ級数に関連付けることができます。非公式には、幾何学的ゼータ関数は、基礎となるフラクタルの幾何学的情報、特にその極の位置とこれらの極におけるゼータ関数の留数を保持します。幾何学的ゼータ関数（の解析接続）のこれらの極は、フラクタル文字列の複素次元と呼ばれ、これらの複素次元はフラクタルの幾何学を記述する式に現れます。^[1]${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \zeta _{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \zeta _{\mathcal {L}}(s)=\sum _{j\in \mathbb {J} }\ell _{j}^{s}}$${\displaystyle \zeta _{\mathcal {L}}(s)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

カントール集合のような、基本長さの有理数べきである削除された区間から形成される集合に関連付けられたフラクタル文字列の場合、複素次元は虚軸に平行な等差数列に現れ、格子フラクタル文字列と呼ばれます (たとえば、カントール集合の複素次元は であり、これは虚軸方向の等差数列です)。それ以外の場合は、非格子と呼ばれます。実際、通常のフラクタル文字列は、非格子である場合にのみミンコフスキー測定可能です。 ${\displaystyle s={\frac {\log 2+2\pi ik}{\log 3}}}$

一般化フラクタル文字列は、 何らかのに対してとなる 上の局所的な正の測度または複素測度として定義されます。ここで、正の測度は に関連付けられた全変動測度です。これらの一般化フラクタル文字列では、長さに非整数の多重度 (他の可能性も含む) を与えることができ、通常のフラクタル文字列のそれぞれに、一般化フラクタル文字列にする測度を関連付けることができます。 ${\displaystyle \eta}$${\displaystyle (0,+\infty )}$${\displaystyle |\eta |(0,x_{0})=0}$${\displaystyle x_{0}>0}$${\displaystyle |\eta |}$${\displaystyle \eta}$

通常のフラクタル文字列は、実数直線の有界な開集合です。このような部分集合は、関連する長さが非増加順に書かれた、連結された開区間の、最大で可算な和集合として記述できます。 が有限個の開区間で構成されることを許可します。その場合、 は有限個の長さで構成されます。 をフラクタル文字列と呼びます。 ${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle {\mathcal {L}}=\{\ell _{1},\ell _{2},\ldots \}}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

中央3 分の 1 のカントール集合は、単位区間 から中央 3 分の 1 を削除し、その後、後続の区間の中央 3 分の 1 を無限に削除することによって構築されます。削除された区間は対応する長さ を持ちます。帰納的に、の各長さに対応する区間が存在することを示すことができます。したがって、長さの重複度はであると言えます。カントール集合のフラクタル文字列はカントール文字列と呼ばれます。^[1]${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle \Omega =\left\{\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right),\left({\frac {1}{9}},{\frac {2}{9}}\right),\left({\frac {7}{9}},{\frac {8}{9}}\right),\ldots \right\}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}=\left\{{\frac {1}{3}},{\frac {1}{9}},{\frac {1}{9}},\ldots \right\}}$${\displaystyle 2^{n-1}}$${\displaystyle 3^{-n}}$${\displaystyle 3^{-n}}$${\displaystyle 2^{n-1}}$

上記の例のカントール集合の幾何学的情報は、通常のフラクタル文字列 に含まれています。この情報から、カントール集合のボックスカウンティング次元を計算できます。このフラクタル次元の概念は、複素次元の概念に一般化することができ、フラクタルの幾何学における局所的な振動に関する幾何学的情報を推測するために使用できます。たとえば、フラクタル文字列 (カントール文字列など) の複素次元を使用して、フラクタル文字列の-近傍の体積の明示的なチューブ式を記述できます。また、非実複素次元の存在は、この展開の振動項に対応します。^[1]${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \epsilon }$

がにおいて幾何学的に実現されるとすると、 はにおける区間であり、すべての長さを重複してとったものである。^[1]${\displaystyle \sum _{j\in \mathbb {J} }{\ell _{j}}}\infty ,}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \Omega =\bigcup _{i=1}^{\infty }I_{i}}$${\displaystyle I_{i}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \{\ell _{j}\}_{j\in \mathbb {J} }}$

各フラクタル弦には、ディリクレ級数として定義される幾何学的ゼータ関数を関連付けることができます。^[2]幾何学的ゼータ関数の極は、フラクタル弦の複素次元と呼ばれます。フラクタル弦の複素次元理論の一般的な考え方は、複素次元がフラクタル弦の幾何学、スペクトル、ダイナミクス^{[ウイズルワード]}の固有の振動を記述するというものです。^[1]${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \zeta _{\mathcal {L}}}$${\displaystyle \zeta _{\mathcal {L}}(s)=\sum _{j\in \mathbb {J} }\ell _{j}^{s}}$${\displaystyle \zeta _{\mathcal {L}}(s)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

の収束の横軸は次のように定義される。^[2]${\displaystyle \zeta _{\mathcal {L}}(s)}$${\displaystyle \sigma =\inf \left\{\alpha \in \mathbb {R} :\sum _{j=1}^{\infty }\ell _{j}^{\alpha }<\infty \right\}}$

無限に多くの非ゼロの長さを持つフラクタル弦の場合、収束の横軸は弦の境界のミンコフスキー次元と一致します。^[2]この例では、境界カントール弦はカントール集合そのものです。したがって、幾何学的ゼータ関数の収束の横軸はカントール集合のミンコフスキー次元であり、これは です。^[3]${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle \zeta _{\mathcal {L}}(s)}$${\displaystyle {\frac {\log 2}{\log 3}}}$

無限の長さの列から構成されるフラクタル文字列の場合、フラクタル文字列の複素次元は、フラクタル文字列に関連付けられた幾何学的ゼータ関数の解析接続の極です。（幾何学的ゼータ関数の解析接続が複素平面全体に定義されていない場合は、「ウィンドウ」と呼ばれる複素平面のサブセットを取り、そのウィンドウ内に存在する「可視」複素次元を探します。^[1]）^[2]${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

中間三分の一カントール集合に関連付けられたフラクタル文字列の例を続けると、 を計算します。^{[2] [4]}収束の横座標をを満たすの値として計算すると、 はカントール集合のミンコフスキー次元になります。 ^[3]複素数 の場合、は の無限個の解に極を持ちます。この例では、すべての整数 に対して、 でそれらの解が発生します。この点の集合は、中間三分の一カントール集合の複素次元の集合と呼ばれます。^{[2] [4]}${\displaystyle \zeta _{\mathbb {C} }(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n-1}}{3^{ns}}}={\frac {\frac {1}{3^{s}}}{1-{\frac {2}{3^{s}}}}}={\frac {1}{3^{s}-2}}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle 3^{s}=2}$${\displaystyle s=\log _{3}2={\frac {\log 2}{\log 3}}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \zeta _{\mathbb {C} }(s)}$${\displaystyle 3^{s}=2}$${\displaystyle s={\frac {\log 2+2\pi ik}{\log 3}}}$${\displaystyle k}$

通常のフラクタル文字列と一般化されたフラクタル文字列は、（1次元）フラクタルの幾何学を研究するために、また、物体の幾何学をそのスペクトルに関連付けるために使用できます。たとえば、フラクタル文字列に関連付けられた幾何学ゼータ関数を使用して、フラクタルの近傍の体積を表す明示的なチューブ式を作成できます。 ^[1]幾何学とスペクトルの関係については、フラクタル文字列のスペクトルゼータ関数（幾何学ゼータ関数とリーマンゼータ関数の積）を使用して、スペクトルカウント関数を記述する明示的な式を作成できます。^[1]

フラクタル文字列の枠組みは、フラクタル幾何学と算術幾何学の側面を統合するのにも役立ちます。たとえば、フラクタル文字列の長さ（逆数）を数えるための一般的な明示的な式は、素数累乗に基づいてサポートされ、それぞれの累乗は素数の底の対数で与えられる適切な一般化されたフラクタル文字列を使用する場合、リーマンの明示的な式を証明するために使用できます。 ^[1]

カントール集合のような集合に関連付けられたフラクタル文字列は、基本長さの有理数べきである削除された間隔から形成され、複素次元は虚軸に平行な規則的な等差数列で現れ、格子フラクタル文字列と呼ばれます。この特性を持たない集合は非格子と呼ばれます。このようなオブジェクトの測定理論には二分法があります。通常のフラクタル文字列は、非格子である場合にのみミンコフスキー測定可能です。^[1]

ミシェル・ラピダスとマキエル・ファン・フランケンホイセンは、正の実部を持つ非実複素次元の存在がフラクタル物体の特徴的な特徴であると提案した。^[1]正式には、彼らは「フラクタル性」を、正の実部を持つ少なくとも 1 つの非実複素次元の存在と定義することを提案している。^[1]この新しいフラクタル性の定義は、フラクタル幾何学における古い問題をいくつか解決する。例えば、マンデルブロの意味でのフラクタル性の提案された定義によれば、カントールの悪魔の階段は、そのハウスドルフ次元と位相次元が一致するためフラクタルではない。^[1]しかし、カントールの階段関数は、自己相似性など、フラクタルと見なすべき多くの特徴を備えており、この新しい意味でのフラクタル性では、カントールの階段関数は非実複素次元を持つためフラクタルであると見なされる。^[1]

一般化フラクタル文字列は、何らかの に対してとなる 上の局所正または局所複素測度として定義されます。ここで、正測度は に関連付けられた全変化測度です。^{[1] [2]}一般化フラクタル文字列では、フラクタル文字列が整数でない重複度を持つ長さの特定のセットを持つことや、フラクタル文字列が離散的ではなく連続的な長さを持つことが許容されます。慣例により、一般化フラクタル文字列は、（減少または非増加）長さの多重セットである通常のフラクタル文字列とは対照的に、逆数の長さでサポートされます。これを考慮すると、測度が「ゼロ付近に質量がない」という条件、より正確には、区間がに関して測度ゼロになるような正の数が存在するという条件は、通常のフラクタル文字列の有界性の類似物と見なすことができます。 ${\displaystyle \eta }$${\displaystyle (0,+\infty )}$${\displaystyle |\eta |(0,x_{0})=0}$${\displaystyle x_{0}>0}$${\displaystyle |\eta |}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle x_{0}>0}$${\displaystyle (0,x_{0})}$${\displaystyle |\eta |}$

例えば、 が多重度 を持つ通常のフラクタル文字列である場合、に関連付けられた測度(ここで、 は点 に集中するディラックのデルタ測度を指す) は、一般化フラクタル文字列の例です。^[2]デルタ関数は、通常のフラクタル文字列 の長さの逆数に対応するシングルトン セット上でサポートされていることに注意してください。多重度が正の整数でない場合、 は通常のフラクタル文字列としては実現できない一般化フラクタル文字列です。このような一般化フラクタル文字列の具体的な例としては、 の一般化カントール文字列が挙げられます。^[2]${\displaystyle {\mathcal {L}}=\{l_{j}\}_{j=1}^{\infty }}$${\displaystyle w_{j}}$${\displaystyle \eta _{\mathcal {L}}:=\sum _{j=1}^{\infty }w_{j}\delta _{l_{j}^{-1}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \delta _{\{x\}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \{\ell _{j}^{-1}\}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle w_{j}}$${\displaystyle \eta _{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \eta _{CS}:=\sum _{j=1}^{\infty }b^{j}\delta _{a^{j}}}$${\displaystyle 1<b<a}$

が一般化されたフラクタル文字列である場合、その次元は次のように その計数関数として定義される。${\displaystyle \eta }$$${\displaystyle D_{\eta }:=\inf(\sigma \in \mathbb {R} :\int _{0}^{\infty }x^{-\sigma }|\eta |(dx)<\infty ),}$$

$${\displaystyle N_{\eta }(x):=\int _{0}^{x}\eta (dx)=\eta (0,x)+{\frac {1}{2}}\eta (\{x\})}$$そしてその幾何学的ゼータ関数（メリン変換）は

$${\displaystyle \zeta _{\eta }(s):=\int _{0}^{\infty }x^{-s}\eta (dx).}$$^[2]（カウント関数はジャンプ不連続点で、非ゼロの測定値を持つ任意のシングルトンの値の半分になるように正規化されることに注意してください。）

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