レヴィの飛行

レヴィ飛行とは、ステップの長さが安定した分布、すなわち裾の重い確率分布を持つランダムウォークのことである。 ^{[ 1 ]}次元が1より大きい空間でのウォークとして定義される場合、ステップは等方的なランダムな方向に進む。後の研究者たちは、「レヴィ飛行」という用語の使用を拡張し、ランダムウォークが連続空間ではなく離散的なグリッド上で行われる場合も含むようになった。^{[ 2 ]}

「レヴィ飛行」という用語は、ポール・レヴィにちなんでブノワ・マンデルブロによって造語されました^{[ 3 ]。}彼はこれを、ステップサイズの分布の特定の定義に使用しました。彼は、ステップサイズの分布がコーシー分布である場合にコーシー飛行という用語を使用し^{[ 4 ]}、分布が正規分布である場合にレイリー飛行という用語を使用しました^{[ 5 ]}（これは裾の重い確率分布の例ではありません）。

^{マンデルブロが「レヴィ飛行」 [ 3 ]}という用語を使用した特定のケースは、ステップサイズ分布Uの生存関数によって定義され、 ^{[ 6 ]}である。

${\displaystyle \Pr(U>u)={\begin{cases}1&:\ u<1,\\u^{-D}&:\ u\geq 1.\end{cases}}}$

ここで、Dはフラクタル次元に関連するパラメータであり、分布はパレート分布の特殊なケースです。

レヴィ飛行は、その構成上、マルコフ過程である。ステップサイズの一般的な分布がべき乗条件を満たす場合、ランダムウォークの原点からの距離は、多数のステップの後、一般化中心極限定理により安定した分布に収束するため、レヴィ飛行を用いて多くの過程をモデル化することができる。

レヴィ飛行中の粒子の確率密度は、通常ブラウン運動のモデル化に用いられるフォッカー・プランク方程式の一般化バージョンを用いてモデル化できる。この方程式では分数階微分を用いる必要がある。ジャンプ長が対称的な確率分布を持つ場合、この方程式はリース分数階微分を用いて単純な形をとる。一次元の場合、方程式は次のように表される。

$${\displaystyle {\frac {\partial \varphi (x,t)}{\partial t}}=-{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\varphi (x,t)+\gamma {\frac {\partial ^{\alpha }\varphi (x,t)}{\partial |x|^{\alpha }}}}$$

ここで、γは拡散定数に似た定数、αは安定性パラメータ、f ( x , t ) はポテンシャルです。リース微分はフーリエ変換の観点から理解できます。

${\displaystyle F_{k}\left[{\frac {\partial ^{\alpha }\varphi (x,t)}{\partial |x|^{\alpha }}}\right]=-|k|^{\alpha }F_{k}[\varphi (x,t)]}$

これは容易に多次元に拡張できる。

レヴィ飛行のもう1つの重要な特性は、α  = 2 の場合、つまりブラウン運動の場合を除いて、すべての場合で分散が発散することです。一般に、 α ≤ θ の場合、分布の θ 分数モーメントは発散します。また、  

${\displaystyle \left\langle |x|^{\theta }\right\rangle \propto t^{\theta /\alpha }\quad {\text{if }}\theta <\alpha .}$

ステップ長の指数関数的なスケーリングにより、レヴィフライトはスケール不変な性質を持ち、クラスタリングを示すデータのモデリングに用いられる。

レヴィフライトの定義はカオス理論に関連する数学に由来し、ランダムまたは擬似ランダムな自然現象の確率的測定やシミュレーションに役立ちます。例としては、地震データ分析、金融数学、暗号学、信号解析のほか、天文学、生物学、物理学における多くの応用が挙げられます。

古気候記録で観察される気候状態間のジャンプは、レヴィ飛行またはアルファ安定過程として記述できることがわかっています^{[ 7 ]。} もう1つの応用は、レヴィ飛行採餌仮説です。サメやその他の海洋捕食動物が餌を見つけられない場合、渦巻く気体分子に見られるランダムな運動であるブラウン運動を放棄して、乱流流体に見られる長い軌跡と短いランダムな動きの混合であるレヴィ飛行を行います。研究者は、大西洋と太平洋の14種の海洋捕食動物（シルキーシャーク、キハダマグロ、クロカジキ、メカジキなど）から5,700日間にわたって記録された1,200万を超える動きを分析しました。データは、ブラウン運動と混在するレヴィ飛行が動物の狩猟パターンを説明できることを示しました。^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}鳥類やその他の動物（人間を含む）^{[ 12 ]}は、レヴィ飛行を用いてモデル化された経路をたどります（例えば、餌を探すとき）。^{[ 13 ]}レヴィ飛行パターンを使用する動物、特に甲虫の例として、Pterostichus melanariusが挙げられます。甲虫が空腹で餌が少ないときは、他のP. melanariusの個体が訪れた場所で獲物を探すことを避けます。この行動は、ナメクジのように一度に完全に食べ尽くすことができない広範囲に分散した獲物にとって最適です。^{[ 14 ]}

さらに、生物の飛行は、複合相関ランダムウォークなどの他のモデルによっても模倣できることが明らかであり、これらのモデルはスケールを超えて成長し、最適なレヴィウォークに収束します。^{[ 13 ]}複合ブラウンウォークは、理論的に最適なレヴィウォークに微調整できますが、ほとんどの景観タイプでレヴィ探索ほど効率的ではないため、レヴィウォーク特性に対する選択圧は、マルチスケールの通常の拡散パターンよりも可能性が高いことを示唆しています。^{[ 15 ]}

さらに、レヴィウォークは高エネルギー粒子物理学でも現れることが示されている。 ^{[ 16 ]}観測によると、レヴィ過程は高エネルギー重イオン衝突で発生する。^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}ここでは、高エネルギー重イオン衝突後のハドロン散乱と崩壊により、べき乗則の裾野を持つ空間粒子生成（クォークグルーオンプラズマからのハドロンの凍結）分布が生じる。^{[ 20 ]}

ネットワークにおける効率的なルーティングは、特定のアルファ値を持つレヴィ飛行長分布を持つリンクによって実現できる。^{[ 2 ]}

• 異常拡散
• 裾の重い分布
• 裾の重い分布
• レヴィ過程
• レヴィα安定分布
• レヴィ飛行採餌仮説

• マンデルブロ、ブノワ・B. (1982).自然のフラクタル幾何学（改訂増補版 ）. ニューヨーク：WHフリーマン. ISBN 0-7167-1186-9. OCLC 7876824 . 

• Cheng, Z.; Savit, R. (1987). "レヴィ飛行におけるフラクタルおよび非フラクタル挙動" (PDF) . Journal of Mathematical Physics . 28 (3): 592. Bibcode : 1987JMP....28..592C . doi : 10.1063/1.527644 . hdl : 2027.42/70735 .
• Shlesinger, Michael F.; Klafter, Joseph; Zumofen, Gert (1999年12月)。「ブラウン運動の上、下、そしてその先へ」( PDF)。American Journal of Physics。67 (12): 1253–1259。Bibcode : 1999AmJPh..67.1253S。doi : 10.1119/1.19112。2012年3月28日にオリジナル(PDF)からアーカイブされました。

• ジャクソン・ポロックの絵画とレヴィ飛行モデルの比較