リャプノフフラクタル

数学において、リャプノフフラクタル（マルクス・リャプノフフラクタルとも呼ばれる）は、人口増加の度合いrが2つの値AとBの間で定期的に切り替わるロジスティックマップの拡張から派生した分岐 フラクタルである。^[1]

リャプノフフラクタルとは、与えられた周期的なシーケンスaとbに対して、 a − b平面における安定性とカオス的動作（リャプノフ指数 を使用して測定）の領域をマッピングすることによって構築される。画像では、黄色は（安定性）に対応し、青は（カオス）に対応している。 ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda <0}$${\displaystyle \lambda >0}$

リャプノフフラクタルは1980年代後半にマックスプランク分子生理学研究所のドイツ系チリ人物理学者マリオ・マルクスによって発見されました^[2] 。 1991年にサイエンティフィック・アメリカン誌に掲載されたレクリエーション数学に関する科学普及記事によって広く一般に紹介されました^[3]。

リャプノフフラクタルは、一般に、区間 内のAとBの値に対して描画されます。より大きな値の場合、区間 [0,1] は安定しなくなり、シーケンスは無限大に引き寄せられる可能性が高くなりますが、一部のパラメータでは有限値の収束サイクルが引き続き存在します。すべての反復シーケンスについて、対角線a = bは常に、標準的な 1 パラメータ ロジスティック関数の場合と同じです。 ${\displaystyle [0,4]}$

シーケンスは通常、反復関数の臨界点である値 0.5 から開始されます。 ^[4] 1 ラウンド全体における反復関数のその他の (複素数値であっても) 臨界点は、最初のラウンドで値 0.5 を通過する点です。収束サイクルは少なくとも 1 つの臨界点を引き付ける必要があります。^[5]したがって、すべての収束サイクルは、開始値を 0.5 に保ちながら反復シーケンスをシフトするだけで取得できます。実際には、このシーケンスをシフトすると、一部のブランチが他のブランチによってカバーされるため、フラクタルに変化が生じます。たとえば、反復シーケンス AB のリャプノフ フラクタル (右上の図を参照) は、aとbに関して完全に対称ではありません。

リャプノフフラクタルを計算するアルゴリズムは次のように機能します。[ 6 ^]

1. 任意の非自明な長さの A と B の文字列 (例: AABAB) を選択します。
2. 文字列内の連続する用語によって形成されるシーケンスを、必要な回数だけ繰り返して構築します。${\displaystyle S}$
3. ポイントを選択してください。${\displaystyle (a,b)\in [0,4]\times [0,4]}$
4. の場合、およびの場合、関数を定義します。${\displaystyle r_{n}=a}$${\displaystyle S_{n}=A}$${\displaystyle r_{n}=b}$${\displaystyle S_{n}=B}$
5. とし、反復 を計算します。${\displaystyle x_{0}=0.5}$${\displaystyle x_{n+1}=r_{n}x_{n}(1-x_{n})}$
6. リャプノフ指数を計算します。実際には、 は、について適切に大きい を選択し、最初の加数をのように削除することによって近似されます。
   ${\displaystyle \lambda =\lim _{N\rightarrow \infty }{1 \over N}\sum _{n=1}^{N}\log \left|{dx_{n+1} \over dx_{n}}\right|=\lim _{N\rightarrow \infty }{1 \over N}\sum _{n=1}^{N}\log |r_{n}(1-2x_{n})|}$
   ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle N}$${\displaystyle r_{0}(1-2x_{0})=r_{n}\cdot 0=0}$${\displaystyle x_{0}=0.5}$
7. 得られた値に応じて点を色分けします。${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle \lambda}$
8. 画像平面内の各ポイントに対して手順（3～7）を繰り返します。

リャプノフ フラクタルは、2 次元以上で計算できます。n 次元フラクタルのシーケンス文字列は、n文字のアルファベットから構築する必要があります。たとえば、3D フラクタルの場合は「ABBBCA」です。これは、3D オブジェクトとして、または、ここに示す例のように、各アニメーション フレームの C 方向の「スライス」を示すアニメーションとして視覚化できます。

• EFG のフラクタルとカオス - リャプノフ指数
• Elert, Glenn. 「Lyapunov 空間」。カオス ハイパーテキストブック。