浸透理論

統計物理学および数学において、パーコレーション理論は、ノードまたはリンクが追加されたときのネットワークの挙動を記述する。これは幾何学的な相転移の一種であり、ある臨界割合の追加によって、小さく孤立したクラスターのネットワークが、はるかに大きな連結した、いわゆるスパンニングクラスターへと融合する。

導入

代表的な質問（および名称の由来）は次のとおりです。多孔質材料の上に液体を注いだとします。液体は穴から穴へと移動して底に到達できるでしょうか? この物理的な質問は、通常「サイト」と呼ばれる $n$ $\times$ $n$ $\times$ $n$ 個の頂点の3 次元ネットワークとして数学的にモデル化され、各隣接点間のエッジまたは「結合」は、確率 $p$ で開いている（液体が通過できる）か、確率 $1 -$ $p$ で閉じている可能性があり、これらは独立していると仮定されます。したがって、与えられた $p$ に対して、上から下まで開いた経路（各リンクが「開いた」結合である経路）が存在する確率はどれくらいでしょうか? $n$ が大きい場合の挙動が主な関心事です。この問題は現在「結合パーコレーション」と呼ばれ、 Broadbent と Hammersley (1957) ^[¹^]によって数学文献に導入され、それ以来、数学者や物理学者によって集中的に研究されてきました。

ランダムグラフを得るための少し異なる数学モデルでは、サイトは確率 $p$ $で「占有」され、確率1 - p$ で「空」（この場合、エッジが削除される）になります。対応する問題はサイトパーコレーションと呼ばれます。質問は同じです。与えられたpに対して、上と下の間にパスが存在する確率はどれくらいでしょうか？同様に、連結グラフが与えられた場合、 $1 - p$ の割合の障害でグラフが非連結（大きなコンポーネントがない）になるかどうかを問うことができます。

同じ質問は、任意の格子次元に対しても行うことができます。よくあることですが、大きなネットワークよりも無限ネットワークを調べる方が実際には簡単です。この場合、対応する質問は、無限の開いたクラスターが存在するかどうかです。つまり、ネットワークを「通過する」無限の長さの接続点のパスが存在するかどうかです。コルモゴロフのゼロイチ法則により、任意の $p$ に対して、無限クラスターが存在する確率はゼロまたは 1 です。この確率は $p$ の増加関数であるため (結合の議論による証明)、確率が常に 0 になる臨界 $p ($ $p$ $c$ と表記) が存在し、それより小さい p では確率は常に 0 であり、それより大きい p では確率は常に1 になります。実際には、この臨界性は非常に簡単に観察できます。n が 100 のように小さい場合でも、 $p$ の値が短い範囲で、上から下への開いたパスの確率はゼロに非常に近い値から 1 に非常に近い値まで急激に増加します $。$

歴史

重合反応におけるゲル化への遷移を研究したフローリー・ストックマイヤー理論（1941年）は、パーコレーション過程を調査した最初の理論であった。^{[ 2 ]}

我々が知っている浸透モデルの歴史は、石炭産業に端を発している。産業革命以来、このエネルギー源の経済的重要性から、その組成を理解し、その利用を最適化するための多くの科学的研究が促進された。1930年代と1940年代には、有機化学による定性分析は、より定量的な研究の余地をますます残していった。^{[ 3 ]}

こうした背景のもと、 1938年に英国石炭利用研究協会（BCURA）が設立されました。これは炭鉱所有者が出資する研究協会でした。1942年、当時ケンブリッジ大学で化学の学位を取得したばかりのロザリンド・フランクリンがBCURAに加わりました。彼女は石炭の密度と多孔性に関する研究を開始しました。第二次世界大戦中、石炭は重要な戦略資源でした。エネルギー源として利用されただけでなく、ガスマスクの主成分でもありました。

石炭は多孔質媒体です。その「真の」密度を測定するには、分子が微細な孔を満たすほど小さい液体または気体に石炭を沈める必要がありました。ロザリンド・フランクリンは、いくつかの気体（ヘリウム、メタノール、ヘキサン、ベンゼン）を使用して石炭の密度を測定しようと試み、使用する気体によって異なる値が得られることに気づき、石炭の孔はさまざまな長さの微細構造で構成されており、それが微細なふるいとして気体を選別していることを示しました。彼女はまた、これらの構造のサイズが石炭生産時の炭酸化温度に依存することも発見しました。この研究により、彼女は博士号を取得し、1946年にBCURAを去りました。^{[ 4 ]}

1950年代半ば、サイモン・ブロードベントはBCURAで統計学者として働いていた。彼は他の関心事の中でも、ガスマスクにおける石炭の使用について研究していた。一つの疑問は、開いたトンネルや閉じたトンネルのランダムな迷路としてモデル化された石炭の細孔内で流体がどのように拡散するかを理解することだった。1954年、モンテカルロ法に関するシンポジウムで、彼はこのモデルを分析するための数値的手法の使用についてジョン・ハマーズリーに質問した。 ^{[ 5 ]}

ブロードベントとハマーズリーは、1957年の論文で、この現象、すなわち浸透現象をモデル化するための数学モデルを紹介した。

臨界パラメータの計算

ほとんどの無限格子グラフでは、 $pc を$ 正確に計算することはできませんが、場合によっては正確な値が存在することもあります。例えば、次のようになります。

2 次元の正方格子 $ℤ 2$ では、結合パーコレーションの場合、 $p c = 1 / 2となります。$ これは 20 年以上未解決の問題でしたが、1980 年代初頭にハリー・ケステンによって最終的に解決されました^{[ 6 ]}ケステン (1982)を参照。正方格子上のサイトパーコレーションの場合、 $p c$ の値は解析的導出では知られておらず、大きな格子のシミュレーションによってのみ推定値 $p c =$ 0.59274621 ± 0.00000013 が得られます^{[ 7 ] 。}
高次元格子の極限ケースはベテ格子で与えられ、その閾値は配位数 $z$ に対して $p c = 1 / z - 1 です$ 。言い換えれば、次数の正則木の場合 $、$ $z$ 、 $p_{c}$ に等しい $1/(z-1)$ 。

次数相関のないランダムなツリー状ネットワークの場合、このようなネットワークは巨大な成分を持つことができ、パーコレーション閾値（伝達確率）は次のように与えられることが示される。 $p_{c}={\frac {1}{g_{1}'(1)}}$ 、どこ $g_{1}(z)$ は、過剰次数分布に対応する生成関数です。したがって、平均次数がのランダムなエルデシュ・レニーネットワークの場合、 $\langle k\rangle$ 、 $p c = ⁠ 1 / ⟨ k ⟩ ⁠$ 。^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}
クラスタリングの低いネットワークでは、 $0<C\ll 1$ 臨界点は、 $(1-C)^{-1}$ すなわち、

$p_{c}={\frac {1}{1-C}}{\frac {1}{g_{1}'(1)}}.$ ^{[ 11 ]}

これは、与えられた次数分布に対して、クラスタリングによってパーコレーション閾値が大きくなることを示しています。これは主に、リンク数が固定されている場合、クラスタリング構造がネットワークのコアを強化する一方で、グローバルな接続が希薄化されるためです。クラスタリングが高いネットワークでは、強いクラスタリングによってコアと周辺部の構造が誘発され、コアと周辺部が異なる臨界点でパーコレーションを起こす可能性があり、上記の近似的な処理は適用できません。^{[ 12 ]}

段階

亜臨界および超臨界

亜臨界段階における主な事実は「指数関数的減衰」である。つまり、 $p < p cの場合、特定の点（例えば原点）がサイズ$ $r$ の開いたクラスター（グラフの「開いた」エッジの最大連結集合を意味する）に含まれる確率は、 $r$ に対して指数関数的にゼロに減衰する。これは $、$ 3 次元以上のパーコレーションについてMenshikov (1986)およびAizenman & Barsky (1987)によって独立に証明された。2 次元では、これは $p$ $c$ $=$ $1$ $/$ $2$ という Kesten の証明の一部を形成した $。$ ^[¹³^]

正方格子 $ℤ$ $2$ の双対グラフもまた正方格子である。したがって、2 次元では、超臨界相は亜臨界パーコレーション過程と双対である。これにより、 $d$ $= 2$ の超臨界モデルに関するほぼ完全な情報が得られる。3 次元以上の超臨界相に関する主な結果は、十分に大きな $N$ に対して、2 次元スラブ $ℤ$ $2$ $\times [0,$ $N$ $]$ $d$ $- 2$ にほぼ確実に無限の開いたクラスターが存在するということである。これはGrimmett と Marstrand (1990)によって証明された。^[¹⁴^]

$p < 1/2 の$ 2 次元では $、確率 1$ $で$ 一意の無限閉クラスター (閉クラスターはグラフの「閉じた」エッジの最大連結集合) が存在します。したがって、亜臨界相は無限の閉じた海の中にある有限の開いた島として記述できます。 p > 1/2 の場合は $、$ $その逆で、無限$ $の開いた海の中にある有限の閉じた島が存在します。 d$ $\geq$ $3の場合は$ $p c <$ $1/2$ となるため、状況はより複雑になり、 $p$ $が$ $p c$ と $1$ $-$ $p$ $c$ $の$ 間にある場合 $、$ $無限$ の開いたクラスターと閉じたクラスターが共存します。

臨界性

パーコレーションは臨界点 $p$ $=$ $p$ $c$ で特異点を持ち、多くの特性はべき乗則のように振る舞う。 $p-p_{c}$ 、近く $p_{c}$ スケーリング理論は、次元数dに応じて特異点のクラスを決定する臨界指数が存在することを予測する $。d$ $= 2の場合、これらの予測は$ 共形場理論とシュラム・レーヴナー進化論からの議論によって裏付けられ、指数の予測数値も含まれる。次元数 $dが$ $d$ $= 2$ または $d$ $\geq 6$ を満たす場合を除き、これらの予測のほとんどは推測に過ぎない。それらには以下が含まれる。

無限のクラスター（開いたクラスターも閉じたクラスターも）は存在しない。
ある固定点（例えば原点）から距離rまでの経路が開いている確率は多項式的に減少し、すなわち、あるαに対してr ^αのオーダーとなる。
- $α$ は選択された特定の格子や他の局所的なパラメータには依存しない。αは次元 $d$ のみに依存する（これは普遍性原理の一例である）。
- $αd は$ $d =2から$ $d =6$ まで減少し、その後は一定になる。
- $α 2 = - ⁠ 5 / 48 ⁠$
- $α 6 = -1$ 。
2次元における大きなクラスターの形状は、共形不変である。

Grimmett (1999)を参照。^{[ 15 ]} 11 次元以上の場合、これらの事実はレース展開と呼ばれる手法を用いて大部分が証明されている。レース展開のあるバージョンは 7 次元以上で有効であると考えられており、おそらく 6 次元の閾値ケースにも影響を与える可能性がある。パーコレーションとレース展開の関連性はHara & Slade (1990)に見られる。^{[ 16 ]}

2 次元では、最初の事実 (「臨界相ではパーコレーションがない」) は、双対性を用いて多くの格子で証明されています。大きなクラスターのスケーリング限界は Schramm–Loewner 進化の観点から記述できるというOded Schrammの予想により、2 次元パーコレーションに関して大きな進展がありました。この予想は、三角形格子上のサイトパーコレーションの特殊な場合においてSmirnov (2001) ^[¹⁷^]によって証明されました。

異なるモデル

液体に作用する重力の影響をモデル化した指向性浸透も Broadbent & Hammersley (1957)で導入され、^{[ 1 ]}接触プロセスと関連がある。
最初に研究されたモデルはベルヌーイ浸透モデルです。このモデルでは、すべての結合は独立しています。物理学者はこのモデルを結合浸透モデルと呼んでいます。
次に、一般化されたものとしてフォルトゥイン・カステレインランダムクラスターモデルが導入されました。これはイジングモデルや他のポッツモデルと多くの関連性があります。
完全グラフ上のベルヌーイ（ボンド）パーコレーションは $、$ ランダムグラフの一例です。臨界確率は $p$ $=$ $1$ $/$ $N$ $で表され$ 、 $N$ はグラフの頂点（サイト）の数です。
ブートストラップパーコレーションは、アクティブな隣接セルが少なすぎる場合にクラスターからアクティブなセルを削除し、残りのセルの接続性を調べます。^{[ 18 ]}
第一通過浸透。
侵入浸透。

アプリケーション

生物学、生化学、物理ウイルス学において

パーコレーション理論は、生物学的ウイルス殻（カプシド）の断片化を予測するために使用されてきました^{[ 19 ]}^{[ 20 ]} 。B型肝炎ウイルスカプシドの断片化閾値は予測され、実験的に検出されています^{[ 21 ]} 。ナノスケールの殻から臨界数のサブユニットがランダムに除去されると、断片化され、この断片化は、電荷検出質量分析法（CDMS）などの単粒子技術を使用して検出できます。これは、一般的なボードゲームであるジェンガの分子アナログであり、ウイルス分解のより広範な研究に関連しています。より安定したウイルス粒子（より大きな断片化閾値を持つタイル）は、自然界でより多く見られます^{[ 19 ] 。}

生態学において

^{パーコレーション理論は、環境の断片化が動物の生息地に及ぼす影響の研究[ 22 ]}や、ペスト菌Yersinia pestisの拡散モデル^[²³^]に適用されてきた。

参考文献

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さらに読む

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外部リンク

PercoVIS：ネットワーク上のパーコレーションをリアルタイムで可視化するmacOSプログラム
インタラクティブな浸透
Nanohubのパーコレーション理論に関するオンラインコース

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パーコレーション理論は、環境の断片化が動物の生息地に及ぼす影響の研究[ 22 ]

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