破壊力学

破壊力学は、第一次世界大戦中にイギリスの航空技術者AAグリフィスによって開発され、グリフィス亀裂という用語が付けられました。これは、脆性材料の破壊を説明するために開発されました。 ^{[ 5 ]}グリフィスの研究は、2つの矛盾する事実によって動機づけられました。

• バルクガラスを破壊するのに必要な応力は約100 MPa (15,000 psi)です。  
• ガラスの原子結合を切断するために必要な理論上の応力は約10,000 MPa (1,500,000 psi)です。  

これらの矛盾する観察結果を調和させるには、理論が必要だった。また、グリフィス自身が行ったガラス繊維に関する実験では、繊維径が小さくなるにつれて破壊応力が増加することが示唆された。したがって、グリフィス以前に材料の破壊を予測するために広く用いられていた一軸引張強度は、試料に依存しない材料特性ではないことがわかった。グリフィスは、実験で観察された低い破壊強度と強度のサイズ依存性は、バルク材料中の微細な欠陥の存在によるものだと示唆した。

欠陥仮説を検証するために、グリフィスは実験用ガラス試料に人工的な欠陥を導入した。人工的な欠陥は、試料内の他の欠陥よりもはるかに大きい表面亀裂の形をとっていた。実験では、欠陥の長さの平方根の積（${\displaystyle a}$）と破壊時の応力（$\displaystyle \sigma _{f}}$）はほぼ一定であり、これは次の式で表されます。

$\displaystyle \sigma _{f}{\sqrt {a}}\approx C}$

この関係を線形弾性理論で説明しようとすると問題がある。線形弾性理論では、線形弾性材料の鋭利な欠陥の先端における応力（ひいてはひずみ）は無限大になると予測される。この問題を回避するため、グリフィスは自身が観察した関係を説明するために熱力学的アプローチを開発した。

亀裂の成長、すなわち亀裂の両側の表面の拡大には、表面エネルギーの増加が必要である。グリフィスは定数の式を見出した。${\displaystyle C}$弾性板における有限亀裂の弾性問題を解くことにより、亀裂の表面エネルギーを求める。簡単に言うと、そのアプローチは以下のとおりである。

• 一軸引張荷重を受けた完全試料に蓄えられる位置エネルギーを計算せよ。
• 境界を固定して、加えた荷重が仕事をしないようにし、試験片に亀裂を導入する。亀裂によって応力が緩和され、亀裂面付近の弾性エネルギーが減少する。一方で、亀裂によって試験片全体の表面エネルギーが増加する。
• 亀裂長さの関数として自由エネルギー（表面エネルギー－弾性エネルギー）の変化を計算します。破壊は、自由エネルギーが臨界亀裂長さでピーク値に達したときに発生し、それを超えると亀裂長さが増加するにつれて自由エネルギーは減少し、つまり破壊を引き起こします。この手順を使用して、グリフィスは、

${\displaystyle C={\sqrt {\cfrac {2E\gamma }{\pi }}}}$

どこ${\displaystyle E}$は材料のヤング率であり、${\displaystyle \gamma }$は材料の表面エネルギー密度です。${\displaystyle E=62\ {\text{GPa}}}$そして$\displaystyle \gamma =1\ {\text{J/m}}^{2}}$グリフィスの予測破壊応力とガラスの実験結果との優れた一致を示す。

荷重に垂直な亀裂のある薄い長方形の板という単純なケースでは、エネルギー解放率は、${\displaystyle G}$、次のようになります。

${\displaystyle G={\frac {\pi \sigma ^{2}a}{E}}\,}$

どこ ${\displaystyle \sigma }$加えられた応力は、${\displaystyle a}$は亀裂の長さの半分であり、${\displaystyle E}$はヤング率であり、平面ひずみの場合は板の剛性係数で割る必要がある。${\displaystyle (1-\nu ^{2})}$ひずみエネルギー解放率は、物理的には、亀裂の成長によってエネルギーが吸収される速度として理解できます。

しかし、次のような点もあります。

${\displaystyle G_{c}={\frac {\pi \sigma _{f}^{2}a}{E}}\,}$

もし${\displaystyle G}$≥${\displaystyle G_{c}}$これは、亀裂が伝播し始める基準となるものです。

亀裂伝播前に大きく変形した材料の場合、線形弾性破壊力学の定式化はもはや適用できず、軟質材料の破壊のように、亀裂先端付近の応力場と変位場を記述するための適応モデルが必要となる。

グリフィスの研究は、1950年代初頭まで工学界ではほとんど無視されていた。その理由は、(a)実際の構造材料では、破壊を引き起こすのに必要なエネルギーレベルが対応する表面エネルギーよりも桁違いに高いこと、(b)構造材料では、亀裂先端周辺には常に何らかの非弾性変形があり、亀裂先端で無限の応力を持つ線形弾性媒体を仮定することは非常に非現実的であること、であると思われる。^{[ 6 ]}

グリフィスの理論は、ガラスなどの脆性材料の実験データと非常によく一致する。鋼などの延性材料の場合、関係は$\displaystyle \sigma _{f}{\sqrt {a}}=C}$グリフィスの理論によって予測される表面エネルギー（γ ）は、依然として非現実的に高い。第二次世界大戦中、米国海軍研究所（NRL）でGRアーウィン^{[ 7 ]}の下で働いていたグループは、延性材料の破壊において塑性が重要な役割を果たすに違いないことを認識した。

延性材料（脆性材料に見える材料でも^{[ 8 ]}）では、亀裂の先端に塑性域が形成されます。加えられる荷重が増加すると、塑性域は大きくなり、亀裂が成長して亀裂先端の後ろにある弾性的にひずんだ材料が解放されます。亀裂先端付近での塑性荷重と解放のサイクルにより、熱としてエネルギーが散逸します。したがって、グリフィスが脆性材料用に考案したエネルギーバランス関係に散逸項を追加する必要があります。物理的には、延性材料では脆性材料に比べて亀裂の成長に余分なエネルギーが必要になります。

アーウィンの戦略は、エネルギーを2つの部分に分割することだった。

• 亀裂が成長するにつれて放出される、蓄積された弾性ひずみエネルギー。これが破壊の熱力学的駆動力である。
• 散逸エネルギーには、塑性散逸と表面エネルギー（および作用する可能性のあるその他の散逸力）が含まれる。この散逸エネルギーが、破壊に対する熱力学的抵抗を提供する。

すると、総エネルギーは次のようになります。

${\displaystyle G=2\gamma +G_{p}}$

どこ${\displaystyle \gamma }$表面エネルギーと${\displaystyle G_{p}}$これは、亀裂成長の単位面積あたりの塑性散逸（およびその他の発生源からの散逸）です。

グリフィスのエネルギー基準の修正版は次のように記述できる。

$\displaystyle \sigma _{f}{\sqrt {a}}={\sqrt {\cfrac {E~G}{\pi }}}.}$

ガラスなどの脆性材料の場合、表面エネルギー項が支配的であり、${\displaystyle G\approx 2\gamma =2\,\,{\text{J/m}}^{2}}$鋼などの延性材料の場合、塑性散逸項が支配的であり、${\displaystyle G\approx G_{p}=1000\,\,{\text{J/m}}^{2}}$ガラス転移温度に近いポリマーの場合、中間値が得られます。${\displaystyle G}$2～1000の間${\displaystyle {\text{J/m}}^{2}}$。

アーウィンとその同僚によるもう一つの重要な業績は、線形弾性固体における亀裂先端周辺の漸近的な応力場と変位場を用いて、破壊に利用可能なエネルギー量を計算する方法を見出したことである。^{[ 7 ]}モードI荷重における応力場のこの漸近表現は、応力拡大係数と関連している。${\displaystyle K_{I}}$以下：^{[ 9 ]}

${\displaystyle \sigma _{ij}=\left({\cfrac {K_{I}}{\sqrt {2\pi r}}}\right)~f_{ij}(\theta )}$

どこ$\displaystyle \sigma _{ij}}$コーシー応力は、${\displaystyle r}$は亀裂の先端からの距離です。${\displaystyle \theta }$は亀裂の平面に対する角度であり、${\displaystyle f_{ij}}$これらは、亀裂の形状と荷重条件に依存する関数です。アーウィンはこの量を${\displaystyle K}$応力拡大係数。${\displaystyle f_{ij}}$は無次元であり、応力拡大係数は、${\displaystyle {\text{MPa}}{\sqrt {\text{m}}}}$。

応力強度はひずみエネルギー解放率に取って代わり、破壊靭性という用語が表面弱点エネルギーに取って代わりました。これらの用語はどちらも、グリフィスが用いたエネルギー用語と単純に関連しています。

${\displaystyle K_{I}=\sigma {\sqrt {\pi a}}\,}$

そして

${\displaystyle K_{c}={\begin{cases}{\sqrt {EG_{c}}}&{\text{平面応力の場合}}\\\\{\sqrt {\cfrac {EG_{c}}{1-\nu ^{2}}}}&{\text{平面ひずみの場合}}\end{cases}}}$

どこ${\displaystyle K_{I}}$モードは${\displaystyle I}$ストレス強度、${\displaystyle K_{c}}$破壊靭性、そして${\displaystyle \nu }$はポアソン比です。

骨折は次のような場合に発生します${\displaystyle K_{I}\geq K_{c}}$平面ひずみ変形の特殊なケースでは、${\displaystyle K_{c}}$になる${\displaystyle K_{Ic}}$は物質特性とみなされます。${\displaystyle I}$これは、材料に亀裂を伝播させるためのさまざまな荷重方法によって生じる。これは、いわゆる「モード」を指す。${\displaystyle I}$モードではなくロード中${\displaystyle II}$または${\displaystyle III}$:

表現${\displaystyle K_{I}}$応力拡大係数に関する記事で議論されているように、中心に亀裂のある無限平板以外の形状では異なる。したがって、無次元補正係数を導入する必要がある。${\displaystyle Y}$形状を特徴づけるために、この補正係数（幾何学的形状係数とも呼ばれる）は、経験的に決定された数列で与えられ、亀裂またはノッチの種類と形状を考慮に入れています。したがって、次のようになります。

${\displaystyle K_{I}=Y\sigma {\sqrt {\pi a}}\,}$

どこ${\displaystyle Y}$は、有限幅のシートの場合、与えられたシートの亀裂の長さと幅の関数である。${\displaystyle W}$長さの貫通亀裂を含む${\displaystyle 2a}$、 による：

${\displaystyle Y\left({\frac {a}{W}}\right)={\sqrt {\sec \left({\frac {\pi a}{W}}\right)}}\,}$

アーウィンは、亀裂の周囲の塑性域の大きさが亀裂の大きさに比べて小さい場合、亀裂を成長させるのに必要なエネルギーは、亀裂先端の応力状態（塑性域）に大きく依存しないことを最初に観察した。^{[ 6 ]}言い換えれば、純粋に弾性的な解を用いて破壊に利用可能なエネルギー量を計算することができる。

亀裂成長のエネルギー解放率またはひずみエネルギー解放率は、亀裂成長の単位面積あたりの弾性ひずみエネルギーの変化として計算できます。

${\displaystyle G:=\left[{\cfrac {\partial U}{\partial a}}\right]_{P}=-\left[{\cfrac {\partial U}{\partial a}}\right]_{u}}$

ここで、Uは系の弾性エネルギー、aは亀裂の長さである。上記の式を評価する際には、荷重Pまたは変位uのいずれかが一定である。

アーウィンは、モードI亀裂（開口モード）の場合、ひずみエネルギー解放率と応力拡大係数は次のように関係していることを示した。

${\displaystyle G=G_{I}={\begin{cases}{\cfrac {K_{I}^{2}}{E}}&{\text{plane stress}}\\{\cfrac {(1-\nu ^{2})K_{I}^{2}}{E}}&{\text{plane strain}}\end{cases}}}$

ここで、Eはヤング率、νはポアソン比、K _Iはモード I の応力拡大係数です。アーウィンはまた、線形弾性体の平面亀裂のひずみエネルギー解放率は、最も一般的な荷重条件では、モード I、モード II (滑りモード)、およびモード III (引き裂きモード) の応力拡大係数で表すことができることを示しました。

次に、アーウィンは、脆性破壊の間、エネルギー散逸領域の大きさや形状がほぼ一定であるという追加の仮定を採用した。この仮定は、単位破壊面を生成するのに必要なエネルギーが、材料のみに依存する定数であることを示唆している。この新しい材料特性は破壊靭性と名付けられ、 G _Icと表記された。今日では、線形弾性破壊力学における定義特性として受け入れられているのは、平面ひずみ条件下で得られる臨界応力拡大係数K _{Icである。}

理論的には、半径がほぼゼロである亀裂先端での応力は無限大に近づく。これは応力特異点とみなされ、実際の応用ではあり得ない。このため、破壊力学の分野での数値研究では、亀裂先端の特異点を形状依存の応力集中領域に置き換えて、亀裂を丸い先端のノッチとして表現することがしばしば適切である。 ^{[ 9 ]}実際には、実際の材料内の亀裂先端での応力集中は有限の値を持つが、試験片に加えられる公称応力よりも大きいことがわかっている。

しかしながら、そのような亀裂が自然に伝播するのを防ぐ何らかのメカニズムまたは材料特性が存在するはずです。仮定としては、亀裂先端での塑性変形が亀裂先端を効果的に鈍化させるということです。この変形は主に、適用方向（ほとんどの場合、これは通常のデカルト座標系のy方向）に加わる応力、亀裂の長さ、および試験片の形状に依存します。^{[ 10 ]}この塑性変形領域が亀裂先端からどのように広がっているかを推定するために、Irwinは材料の降伏強度を亀裂（x方向）に沿ったy方向の遠方応力と等しくし、有効半径を求めました。この関係から、亀裂が臨界応力拡大係数まで負荷されていると仮定して、Irwinは亀裂先端での塑性変形領域の理想化された半径について次の式を開発しました。

${\displaystyle r_{p}={\frac {K_{C}^{2}}{2\pi \sigma _{Y}^{2}}}}$

理想材料のモデルでは、この塑性領域は亀裂先端を中心としていることが示されています。^{[ 11 ]}この式は、亀裂先端を超えた塑性変形領域の近似的な理想半径を示しており、応力を受けたときの材料の挙動を良好に推定できるため、多くの構造科学者にとって有用です。上記の式では、応力拡大係数と材料靭性の指標のパラメータは、${\displaystyle K_{C}}$降伏応力、${\displaystyle \sigma _{Y}}$これらは、材料とその特性、および塑性域のサイズについて多くのことを示しているため重要です。たとえば、${\displaystyle K_{c}}$が高い場合は、材料が丈夫であると推測でき、${\displaystyle \sigma _{Y}}$が低いほど、材料の延性が高いことがわかります。これら2つのパラメータの比率は、塑性域の半径にとって重要です。たとえば、${\displaystyle \sigma _{Y}}$が小さい場合、${\displaystyle K_{C}}$に${\displaystyle \sigma _{Y}}$が大きいため、塑性半径が大きくなります。これは、材料が塑性変形できることを意味し、したがって、靭性が高いことを意味します。^{[ 10 ]}この亀裂先端を超えた塑性領域のサイズの推定値を使用すると、亀裂が存在する場合に材料がどのように動作するかをより正確に分析できます。

単一イベント荷重の場合に上述したのと同様のプロセスが、繰り返し荷重にも適用されます。繰り返し荷重を受ける試験片に亀裂が存在する場合、試験片は亀裂先端で塑性変形し、亀裂の成長を遅らせます。過負荷または逸脱が発生した場合、このモデルは、材料が以前に経験した応力からの急激な増加に対応するためにわずかに変化します。十分に高い荷重（過負荷）では、亀裂はそれを包含していた塑性領域から成長し、元の塑性変形のポケットを残します。ここで、過負荷応力が試験片を完全に破壊するほど高くないと仮定すると、亀裂は新しい亀裂先端の周囲でさらに塑性変形を起こし、残留塑性応力領域を拡大します。このプロセスにより、新しい塑性領域が通常の応力条件下でよりも大きくなるため、材料の靭性がさらに向上し、寿命が延びます。これにより、材料はより多くの荷重サイクルに耐えることができます。この考え方は、過負荷イベントを受ける中央亀裂のあるアルミニウムのグラフによってさらに説明できます。 ^{[ 12 ]}

しかし、NRLの研究者にとって問題が生じたのは、船舶用材料、例えば船体鋼板は完全な弾性体ではなく、亀裂の先端で大きな塑性変形を起こすためである。アーウィンの線形弾性破壊力学における基本的な仮定の一つは、小スケール降伏、すなわち塑性領域のサイズが亀裂の長さに比べて小さいという条件である。しかし、この仮定は構造用鋼の特定の種類の破壊に対してはかなり制約的であり、そのような鋼は脆性破壊を起こしやすく、それが数々の壊滅的な破壊につながっている。

線形弾性破壊力学は構造用鋼材には実用性が限られており、破壊靭性試験は費用がかかる場合がある。

歴史的に、弾塑性領域における破壊靭性を決定する最初のパラメータは、亀裂先端開口変位（CTOD）、すなわち「亀裂頂点における開口」でした。このパラメータは、高靭性のため線形弾性破壊力学モデルでは特性評価できない構造用鋼の研究中にウェルズによって決定されました。彼は、破壊が発生する前に亀裂の壁が離れ、破壊後の亀裂先端は塑性変形により鋭角から丸みを帯びた形状に変化することに気づきました。さらに、亀裂先端の丸みは、靭性の高い鋼ほど顕著でした。

CTODにはいくつかの異なる定義が存在する。最も一般的な2つの定義では、CTODは元の亀裂先端と90度交点における変位である。後者の定義はライスによって提案され、このような有限要素モデルにおけるCTODを推定するためによく用いられる。なお、亀裂先端が半円状に鈍化する場合、これら2つの定義は等価である。

CTODの実験室測定のほとんどは、3点曲げ荷重をかけた端部き裂試験片で行われてきました。初期の実験では、き裂に挿入された平らなパドル状のゲージが使用されました。き裂が開くとパドルゲージが回転し、電子信号がxyプロッターに送られました。しかし、パドルゲージでき裂先端に到達するのが困難であったため、この方法は不正確でした。現在では、き裂口での変位Vが測定され、試験片の半分が剛体であり、ヒンジ点（き裂先端）を中心に回転すると仮定してCTODが推定されます。

弾塑性破壊力学の方向への初期の試みは、アーウィンの亀裂進展抵抗曲線、亀裂成長抵抗曲線、またはR曲線でした。この曲線は、弾塑性材料では亀裂サイズが大きくなるにつれて破壊抵抗が増加するという事実を認めています。R曲線は、亀裂サイズの関数としての全エネルギー散逸率のグラフであり、ゆっくりとした安定亀裂成長と不安定な破壊のプロセスを調べるために使用できます。しかし、R曲線は1970年代初頭まで広く応用されませんでした。主な理由は、R曲線が試験片の形状に依存し、亀裂駆動力を計算するのが難しい場合があることのようです。^{[ 6 ]}

1960年代半ば、ジェームズ・R・ライス（当時ブラウン大学）とGP・チェレパノフは、亀裂先端の変形が十分に大きく、部品が線形弾性近似に従わなくなる場合を記述する新しい靭性尺度を独自に開発した。亀裂先端より前方の非線形弾性（または単調変形理論塑性）変形を仮定するライスの解析は、 J積分と呼ばれる。^{[ 13 ]}この解析は、亀裂先端での塑性変形が荷重を受ける部品の最遠端まで及ばない状況に限定される。また、仮定される材料の非線形弾性挙動が、形状と大きさにおいて実際の材料の荷重応答の妥当な近似であることを要求している。弾塑性破壊パラメータはJ _{Icと表記され、慣習的に以下の式を用いてK Ic}に変換される。また、J積分アプローチは、線形弾性挙動の場合、グリフィス理論に帰着することにも注意されたい。

J積分の数学的な定義は以下のとおりです。

${\displaystyle J=\int _{\Gamma }(w\,dy-T_{i}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x}}\,ds)\quad {\text{with}}\quad w=\int _{0}^{\varepsilon _{ij}}\sigma _{ij}\,d\varepsilon _{ij}}$

どこ

${\displaystyle \Gamma }$亀裂の頂点の周りを時計回りに任意の経路で結ぶ。

${\displaystyle w}$はひずみエネルギーの密度であり、

${\displaystyle T_{i}}$牽引ベクトルの成分は、

${\displaystyle u_{i}}$は変位ベクトルの成分であり、

${\displaystyle ds}$経路に沿った増分的な長さ${\displaystyle \Gamma }$、 そして

${\displaystyle \sigma _{ij}}$そして${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$これらは応力テンソルとひずみテンソルです。

エンジニアが破壊靭性を特徴づけるためにK _Icを使用することに慣れて以来、J IcをK _Icに還元するための関係式が使用されてきた。

${\displaystyle K_{Ic}={\sqrt {E^{*}J_{Ic}}}\,}$どこ${\displaystyle E^{*}=E}$平面応力と${\displaystyle E^{*}={\frac {E}{1-\nu ^{2}}}}$平面ひずみの場合。

亀裂先端周辺の大きな領域が塑性変形を起こした場合、他のアプローチを使用して、亀裂のさらなる進展の可能性、亀裂の成長方向、および分岐方向を判定することができます。数値計算に容易に組み込める単純な手法は、 1960年代初頭にBarenblatt ^{[ 14 ]}とDugdale ^{[ 15 ]}がそれぞれ独立に提案した概念に基づく凝集ゾーンモデル法です。Dugdale-BarenblattモデルとGriffithの理論の関係は、1967年にWillisによって初めて議論されました。 ^{[ 16 ]}脆性破壊の文脈における2つのアプローチの等価性は、1968年にRiceによって示されました。^{[ 13 ]}

材料の降伏強度を仮定する${\displaystyle \sigma _{Y}}$そしてモードIにおける破壊靭性 ${\displaystyle K_{Ic}}$破壊力学に基づくと、材料は応力によって破壊する。${\displaystyle \sigma _{\text{fail}}=K_{Ic}/{\sqrt {\pi a}}}$塑性に基づいて、材料は降伏するのは${\displaystyle \sigma _{fail}=\sigma _{Y}}$これらの曲線は、${\displaystyle a=K_{Ic}^{2}/\pi \sigma _{Y}^{2}}$この値は${\displaystyle a}$遷移欠陥サイズと呼ばれる${\displaystyle a_{t}}$構造の材料特性に依存します。${\displaystyle a<a_{t}}$破壊は塑性降伏によって支配され、${\displaystyle a>a_{t}}$破壊は破壊力学によって支配される。${\displaystyle a_{t}}$エンジニアリング合金の場合、欠陥の最小値は 100  mm、セラミックスの場合は 0.001  mm です。製造工程でマイクロメートルオーダーの欠陥が発生する可能性があると仮定すると、セラミックスは破壊によって破損する可能性が高く、エンジニアリング合金は塑性変形によって破損する可能性が高いことがわかります。