微分のフラクタルへの一般化
応用数学 および 数理解析 において 、 フラクタル微分 または ハウスドルフ微分は、フラクタル幾何学で定義された フラクタル の測定を扱う 微分 を非ニュートン的に一般化したものである 。フラクタル微分は、従来のアプローチでは媒体のフラクタル性を考慮に入れることができなかった異常拡散の研究のために作成された。 フラクタル測度 tは t α に従ってスケーリングされる。このような微分は、同様に適用される 分数微分 とは対照的に、局所的である 。フラクタル計算は、標準微積分の一般化として定式化される。 [1]
身体的背景 多孔質媒体 、 帯水層 、 乱流 、およびその他の媒体は通常、フラクタル特性を示します。自由空間でのランダムウォークに基づく古典的な拡散法則または分散法則（ フィックの拡散法則 、 ダルシーの法則 、 フーリエの法則などとして知られる本質的に同じ結果）は、フラクタル媒体には適用できません。これに対処するには、 距離 や 速度 などの概念を フラクタル媒体に対して再定義する必要があります。特に、空間と時間のスケールは ( x β 、 t α ) に従って変換する必要があります。速度などの基本的な物理的概念は、フラクタル時空 ( x β 、 t α )に対して次のように再定義されます 。 [2]
v
′
=
d
x
′
d
t
′
=
d
x
β
d
t
α
,
α
,
β
>
0
{\displaystyle v'={\frac {dx'}{dt'}}={\frac {dx^{\beta }}{dt^{\alpha }}}\,,\quad \alpha ,\beta >0}
、 ここで S α,βは スケーリング指数α と β を持つフラクタル時空を表す 。速度の従来の定義は微分不可能なフラクタル時空では意味をなさない。 [2]
意味 以上の議論に基づいて、関数f ( t )の フラクタル測度 t に関する フラクタル微分の概念が 次のように導入された。 [3]
∂
f
(
t
)
∂
t
α
=
lim
t
1
→
t
f
(
t
1
)
−
f
(
t
)
t
1
α
−
t
α
,
α
>
0
{\displaystyle {\frac {\partial f(t)}{\partial t^{\alpha }}}=\lim _{t_{1}\rightarrow t}{\frac {f(t_{1})-f(t)}{t_{1}^{\alpha }-t^{\alpha }}}\,,\quad \alpha >0}
、 より一般的な定義は [3]で与えられている。
∂
β
f
(
t
)
∂
t
α
=
lim
t
1
→
t
f
β
(
t
1
)
−
f
β
(
t
)
t
1
α
−
t
α
,
α
>
0
,
β
>
0
{\displaystyle {\frac {\partial ^{\beta }f(t)}{\partial t^{\alpha }}}=\lim _{t_{1}\rightarrow t}{\frac {f^{\beta }(t_{1})-f^{\beta }(t)}{t_{1}^{\alpha }-t^{\alpha }}}\,,\quad \alpha >0,\beta >0}
。 完全フラクタル集合F上の関数y(t)に対して、 tにおけるy(t)の フラクタル微分または 微分は次のように定義される。
F
α
{\displaystyle F^{\alpha }}
F
α
{\displaystyle F^{\alpha }}
D
F
α
y
(
t
)
=
{
F
−
lim
x
→
t
y
(
x
)
−
y
(
t
)
S
F
α
(
x
)
−
S
F
α
(
t
)
,
if
t
∈
F
;
0
,
otherwise
.
{\displaystyle D_{F}^{\alpha }y(t)=\left\{{\begin{array}{ll}{\underset {x\rightarrow t}{F_{-}\lim }}~{\frac {y(x)-y(t)}{S_{F}^{\alpha }(x)-S_{F}^{\alpha }(t)}},&{\text{if}}~t\in F;\\0,&{\text{otherwise}}.\end{array}}\right.}
。
モチベーション 関数 f の導関数は 、 テイラー級数 展開の係数 a k によって定義できます 。
f
(
x
)
=
∑
k
=
1
∞
a
k
⋅
(
x
−
x
0
)
k
=
∑
k
=
1
∞
1
k
!
d
k
f
d
x
k
(
x
0
)
⋅
(
x
−
x
0
)
k
=
f
(
x
0
)
+
f
′
(
x
0
)
⋅
(
x
−
x
0
)
+
o
(
x
−
x
0
)
{\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\cdot (x-x_{0})^{k}=\sum _{k=1}^{\infty }{1 \over k!}{d^{k}f \over dx^{k}}(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{k}=f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})+o(x-x_{0})}
このアプローチから、次のことが直接得られます。
f
′
(
x
0
)
=
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
−
o
(
x
−
x
0
)
x
−
x
0
=
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
x
−
x
0
{\displaystyle f'(x_{0})={f(x)-f(x_{0})-o(x-x_{0}) \over x-x_{0}}=\lim _{x\to x_{0}}{f(x)-f(x_{0}) \over x-x_{0}}}
これは関数(x α -(x 0 ) α ) k でfを近似することで一般化できます 。
f
(
x
)
=
∑
k
=
1
∞
b
k
⋅
(
x
α
−
x
0
α
)
k
=
f
(
x
0
)
+
b
1
⋅
(
x
α
−
x
0
α
)
+
o
(
x
α
−
x
0
α
)
{\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}\cdot (x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha })^{k}=f(x_{0})+b_{1}\cdot (x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha })+o(x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha })}
最低次の係数は依然として b 0 =f(x 0 ) でなければならないことに注意してください。これは依然として x 0 における関数 f の定数近似値であるためです 。
ここでも直接取得できます:
b
1
=
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
x
α
−
x
0
α
=
d
e
f
d
f
d
x
α
(
x
0
)
{\displaystyle b_{1}=\lim _{x\to x_{0}}{f(x)-f(x_{0}) \over x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha }}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{df \over dx^{\alpha }}(x_{0})}
フラクタルサポート F を持つ f(t) のフラクタルマクローリン級数は次のとおりです。
f
(
t
)
=
∑
m
=
0
∞
(
D
F
α
)
m
f
(
t
)
|
t
=
0
m
!
(
S
F
α
(
t
)
)
m
{\displaystyle f(t)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(D_{F}^{\alpha })^{m}f(t)|_{t=0}}{m!}}(S_{F}^{\alpha }(t))^{m}}
プロパティ
展開係数 テイラー級数展開と同様に、係数 b k は f の k 次のフラクタル微分で表すことができます。
b
k
=
1
k
!
(
d
d
x
α
)
k
f
(
x
=
x
0
)
{\displaystyle b_{k}={1 \over k!}{\biggl (}{d \over dx^{\alpha }}{\biggr )}^{k}f(x=x_{0})}
証明のアイデア：仮定
(
d
d
x
α
)
k
f
(
x
=
x
0
)
{\textstyle ({d \over dx^{\alpha }})^{k}f(x=x_{0})}
が存在する場合、b k は 次のように記述できる。
b
k
=
a
k
⋅
(
d
d
x
α
)
k
f
(
x
=
x
0
)
{\textstyle b_{k}=a_{k}\cdot ({d \over dx^{\alpha }})^{k}f(x=x_{0})}
今では
f
(
x
)
=
(
x
α
−
x
0
α
)
n
⇒
(
d
d
x
α
)
k
f
(
x
=
x
0
)
=
n
!
δ
n
k
{\textstyle f(x)=(x^{\alpha }-x_{0}^{\alpha })^{n}\Rightarrow ({d \over dx^{\alpha }})^{k}f(x=x_{0})=n!\delta _{n}^{k}}
そして
b
n
=
!
1
⇒
a
n
=
1
n
!
{\textstyle b_{n}{\overset {\underset {\mathrm {!} }{}}{=}}1\Rightarrow a_{n}={1 \over n!}}
チェーンルール 与えられた関数 f に対して導関数 Df とフラクタル導関数 D α f の両方が存在する場合、連鎖律と同様のものが得られます。
d
f
d
x
α
=
d
f
d
x
d
x
d
x
α
=
1
α
x
1
−
α
d
f
d
x
{\displaystyle {df \over dx^{\alpha }}={df \over dx}{dx \over dx^{\alpha }}={1 \over \alpha }x^{1-\alpha }{df \over dx}}
最後のステップは 、適切な条件下では、次の式が得られる
暗黙関数定理に基づいています。
d
x
d
x
α
=
(
d
x
α
d
x
)
−
1
{\displaystyle {\frac {dx}{dx^{\alpha }}}=({\frac {dx^{\alpha }}{dx}})^{-1}}
より一般的な定義も同様です。
d
β
f
d
α
x
=
d
(
f
β
)
d
α
x
=
1
α
x
1
−
α
β
f
β
−
1
(
x
)
f
′
(
x
)
{\displaystyle {d^{\beta }f \over d^{\alpha }x}={d(f^{\beta }) \over d^{\alpha }x}={1 \over \alpha }x^{1-\alpha }\beta f^{\beta -1}(x)f'(x)}
関数f ( t ) = t のフラクタル微分 、微分次数は α ∈ (0,1]
異常拡散への応用 古典的なフィックの第二法則に代わるモデリングアプローチとして、フラクタル微分は 異常拡散 過程の基礎となる線形異常輸送拡散方程式を導出するために使用される。 [3]
d
u
(
x
,
t
)
d
t
α
=
D
∂
∂
x
β
(
∂
u
(
x
,
t
)
∂
x
β
)
,
(
1
)
{\displaystyle {\frac {du(x,t)}{dt^{\alpha }}}=D{\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left({\frac {\partial u(x,t)}{\partial x^{\beta }}}\right),\quad (1)}
u
(
x
,
0
)
=
δ
(
x
)
{\displaystyle u(x,0)=\delta (x)}
ここで0 < α < 2, 0 < β < 1 , δ ( x ) は ディラックのデルタ関数 です。
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
基本解を 得るために 、変数の変換を適用する。
t
′
=
t
α
,
x
′
=
x
β
.
{\displaystyle t'=t^{\alpha }\,,\quad x'=x^{\beta }.}
すると式（１）は通常の拡散形式方程式となり、（１）の解は引き伸ばされた ガウス 核 を持つ： [3]
u
(
x
,
t
)
=
1
2
π
t
α
e
−
x
2
β
4
t
α
{\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2{\sqrt {\pi t^{\alpha }}}}}e^{-{\frac {x^{2\beta }}{4t^{\alpha }}}}}
上記のフラクタル微分拡散方程式の 平均 二乗変位は 漸近線 を持つ： [3]
⟨
x
2
(
t
)
⟩
∝
t
(
3
α
−
α
β
)
/
2
β
.
{\displaystyle \left\langle x^{2}(t)\right\rangle \propto t^{(3\alpha -\alpha \beta )/2\beta }.}
フラクタル分数計算 フラクタル微分は、一次微分が存在する場合、古典微分と結びついている。この場合、
∂
f
(
t
)
∂
t
α
=
lim
t
1
→
t
f
(
t
1
)
−
f
(
t
)
t
1
α
−
t
α
=
d
f
(
t
)
d
t
1
α
t
α
−
1
,
α
>
0
{\displaystyle {\frac {\partial f(t)}{\partial t^{\alpha }}}=\lim _{t_{1}\rightarrow t}{\frac {f(t_{1})-f(t)}{t_{1}^{\alpha }-t^{\alpha }}}\ ={\frac {df(t)}{dt}}{\frac {1}{\alpha t^{\alpha -1}}},\quad \alpha >0}
。 しかし、積分の微分可能性により分数微分は微分可能であり、そこで南アフリカの Abdon Atangana 教授によって次の新しい概念が導入されました。
以下の微分作用素はごく最近導入され、応用された。 [4] y(t) が (a, b) 上で連続かつフラクタル微分可能で、次数が β であると仮定すると 、y(t) のフラクタル分数微分のいくつかの定義が、リーマン・リウヴィルの意味で次数が α で成り立つ。 [4]
F
F
P
D
0
,
t
α
,
β
(
y
(
t
)
)
=
1
Γ
(
m
−
α
)
d
d
t
β
∫
0
t
(
t
−
s
)
m
−
α
−
1
y
(
s
)
d
s
{\displaystyle ^{FFP}D_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {1}{\Gamma (m-\alpha )}}{\dfrac {d}{dt^{\beta }}}\int _{0}^{t}(t-s)^{m-\alpha -1}y(s)ds}
F
F
E
D
0
,
t
α
,
β
(
y
(
t
)
)
=
M
(
α
)
1
−
α
d
d
t
β
∫
0
t
exp
(
−
α
1
−
α
(
t
−
s
)
)
y
(
s
)
d
s
{\displaystyle ^{FFE}D_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {M(\alpha )}{1-\alpha }}{\dfrac {d}{dt^{\beta }}}\int _{0}^{t}\exp {\Big (}-{\dfrac {\alpha }{1-\alpha }}(t-s){\Big )}y(s)ds}
、
a
F
F
M
D
t
α
f
(
t
)
=
A
B
(
α
)
1
−
α
d
d
t
β
∫
a
t
f
(
τ
)
E
α
(
−
α
(
t
−
τ
)
α
1
−
α
)
d
τ
.
{\displaystyle {}_{a}^{FFM}D_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {AB(\alpha )}{1-\alpha }}{\frac {d}{dt^{\beta }}}\int _{a}^{t}f(\tau )E_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {\left(t-\tau \right)^{\alpha }}{1-\alpha }}\right)\,d\tau \,.}
上記の微分演算子にはそれぞれ、次のようなフラクタル分数積分演算子が関連付けられています。 [4]
F
F
P
J
0
,
t
α
,
β
(
y
(
t
)
)
=
β
Γ
(
α
)
∫
0
t
(
t
−
s
)
α
−
1
s
β
−
1
y
(
s
)
d
s
{\displaystyle ^{FFP}J_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {\beta }{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}(t-s)^{\alpha -1}s^{\beta -1}y(s)ds}
F
F
E
J
0
,
t
α
,
β
(
y
(
t
)
)
=
α
β
M
(
α
)
∫
0
t
s
β
−
1
y
(
s
)
d
s
+
β
(
1
−
α
)
t
β
−
1
y
(
t
)
M
(
α
)
{\displaystyle ^{FFE}J_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {\alpha \beta }{M(\alpha )}}\int _{0}^{t}s^{\beta -1}y(s)ds+{\dfrac {\beta (1-\alpha )t^{\beta -1}y(t)}{M(\alpha )}}}
。
F
F
M
J
0
,
t
α
,
β
(
y
(
t
)
)
=
α
β
A
B
(
α
)
∫
0
t
s
β
−
1
y
(
s
)
(
t
−
s
)
α
−
1
d
s
+
β
(
1
−
α
)
t
β
−
1
y
(
t
)
A
B
(
α
)
{\displaystyle ^{FFM}J_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {\alpha \beta }{AB(\alpha )}}\int _{0}^{t}s^{\beta -1}y(s)(t-s)^{\alpha -1}ds+{\dfrac {\beta (1-\alpha )t^{\beta -1}y(t)}{AB(\alpha )}}}
。
FFM は、一般化された Mittag-Leffler カーネルを使用したフラクタル分数を指します。
フラクタル非局所計算 f次の右辺リーマン-リウヴィル分数積分のフラクタル類似体は 次のように定義される: [1]
β
∈
R
{\displaystyle \beta \in \mathbb {R} }
x
I
b
β
f
(
x
)
=
1
Γ
(
β
)
∫
x
b
f
(
t
)
(
S
F
α
(
t
)
−
S
F
α
(
x
)
)
1
−
β
d
F
α
t
{\displaystyle {x}{\mathcal {I}}_{b}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\beta )}}\int _{x}^{b}{\frac {f(t)}{(S_{F}^{\alpha }(t)-S_{F}^{\alpha }(x))^{1-\beta }}}d_{F}^{\alpha }t}
。
f次数の左側リーマン-リウヴィル分数積分のフラクタル類似体は 次のように定義されます。
β
∈
R
{\displaystyle \beta \in \mathbb {R} }
a
I
x
β
f
(
x
)
=
1
Γ
(
β
)
∫
a
x
f
(
t
)
(
S
F
α
(
x
)
−
S
F
α
(
t
)
)
1
−
β
d
F
α
t
.
{\displaystyle {a}{\mathcal {I}}_{x}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\beta )}}\int _{a}^{x}{\frac {f(t)}{(S_{F}^{\alpha }(x)-S_{F}^{\alpha }(t))^{1-\beta }}}d_{F}^{\alpha }t.}
f次右辺リーマン-リウヴィル分数微分のフラクタル類似体は 次のように定義されます。
β
∈
R
{\displaystyle \beta \in \mathbb {R} }
x
D
b
β
f
(
x
)
=
1
Γ
(
n
−
β
)
(
−
D
F
α
)
n
∫
x
b
f
(
t
)
(
S
F
α
(
t
)
−
S
F
α
(
x
)
)
−
n
+
β
+
1
d
F
α
t
{\displaystyle {x}{\mathcal {D}}_{b}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (n-\beta )}}(-D_{F}^{\alpha })^{n}\int _{x}^{b}{\frac {f(t)}{(S_{F}^{\alpha }(t)-S_{F}^{\alpha }(x))^{-n+\beta +1}}}d_{F}^{\alpha }t}
f次左側リーマン-リウヴィル分数微分のフラクタル類似体は 次のように定義されます。
β
∈
R
{\displaystyle \beta \in \mathbb {R} }
a
D
x
β
f
(
x
)
=
1
Γ
(
n
−
β
)
(
D
F
α
)
n
∫
a
x
f
(
t
)
(
S
F
α
(
x
)
−
S
F
α
(
t
)
)
−
n
+
β
+
1
d
F
α
t
{\displaystyle {a}{\mathcal {D}}_{x}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (n-\beta )}}(D_{F}^{\alpha })^{n}\int _{a}^{x}{\frac {f(t)}{(S_{F}^{\alpha }(x)-S_{F}^{\alpha }(t))^{-n+\beta +1}}}d_{F}^{\alpha }t}
f次右辺 Caputo 分数微分のフラクタル類似体は 次のように定義されます。
β
∈
R
{\displaystyle \beta \in \mathbb {R} }
x
C
D
b
β
f
(
x
)
=
1
Γ
(
n
−
β
)
∫
x
b
(
S
F
α
(
t
)
−
S
F
α
(
x
)
)
n
−
β
−
1
(
−
D
F
α
)
n
f
(
t
)
d
F
α
t
{\displaystyle {x}^{C}{\mathcal {D}}_{b}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (n-\beta )}}\int _{x}^{b}(S_{F}^{\alpha }(t)-S_{F}^{\alpha }(x))^{n-\beta -1}(-D_{F}^{\alpha })^{n}f(t)d_{F}^{\alpha }t}
f次左側 Caputo 分数微分のフラクタル類似物は 次のように定義されます。
β
∈
R
{\displaystyle \beta \in \mathbb {R} }
a
C
D
x
β
f
(
x
)
=
1
Γ
(
n
−
β
)
∫
a
x
(
S
F
α
(
x
)
−
S
F
α
(
t
)
)
n
−
β
−
1
(
D
F
α
)
n
f
(
t
)
d
F
α
t
{\displaystyle {a}^{C}{\mathcal {D}}_{x}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (n-\beta )}}\int _{a}^{x}(S_{F}^{\alpha }(x)-S_{F}^{\alpha }(t))^{n-\beta -1}(D_{F}^{\alpha })^{n}f(t)d_{F}^{\alpha }t}
参照
参考文献
^ ab Khalili Golmankhaneh、Alireza ( 2022 )。フラクタル計算とその応用。シンガポール：World Scientific Pub Co Inc. p. 328。doi ： 10.1142/12988。ISBN 978-981-126-110-7 . S2CID 248575991。 ^ ab Chen, Wen (2006年5月). 「異常拡散の根底にある時空間構造」. カオス、ソリトン、フラクタル . 28 (4): 923–929. arXiv : math-ph/0505023 . Bibcode :2006CSF....28..923C. doi :10.1016/j.chaos.2005.08.199. ^ abcde Chen, Wen; Sun, Hongguang; Zhang, Xiaodi; Korošak, Dean (2010年3月). 「フラクタルおよび分数微分による異常拡散モデリング」. Computers & Mathematics with Applications . 59 (5): 1754–1758. doi : 10.1016/j.camwa.2009.08.020 . ^ abc Atangana, Abdon; Sania, Qureshi (2019). 「フラクタル– 分数 演算子によるカオス動的システムのアトラクターのモデリング」。 カオス、ソリトン、フラクタル 。123 :320–337。Bibcode :2019CSF...123..320A。doi : 10.1016/j.chaos.2019.04.020。S2CID 145861887 。
文献
チェン・ウェン (2006). 「異常拡散の根底にある時空間構造」. カオス、ソリトン、フラクタル . 28 (4): 923–929. arXiv : math-ph/0505023 . Bibcode :2006CSF....28..923C. doi :10.1016/j.chaos.2005.08.199. S2CID 18369880. Kanno, R. (1998). 「フラクタル空間時間におけるランダムウォークの表現」. Physica A. 248 ( 1–2): 165–175. Bibcode :1998PhyA..248..165K. doi :10.1016/S0378-4371(97)00422-6. Chen, W.; Sun, HG; Zhang, X.; Korosak, D. (2010). 「フラクタルおよび分数微分による異常拡散モデリング」. コンピュータと数学の応用 . 59 (5): 1754–8. doi : 10.1016/j.camwa.2009.08.020 . Sun, HG; Meerschaert, MM; Zhang, Y.; Zhu, J.; Chen, W. (2013). 「不飽和媒体における水輸送の非ボルツマンスケーリングを捉えるフラクタルリチャーズ方程式」。Advances in Water Resources . 52 (52): 292–5. Bibcode :2013AdWR...52..292S. doi :10.1016/j.advwatres.2012.11.005. PMC 3686513. PMID 23794783 . Cushman, JH; O'Malley, D.; Park, M. (2009). 「ブラウン運動の非定常拡張によってモデル化された異常拡散」. Phys. Rev. E. 79 ( 3): 032101. Bibcode :2009PhRvE..79c2101C. doi :10.1103/PhysRevE.79.032101. PMID 19391995. Mainardi, F.; Mura, A.; Pagnini, G. (2010). 「時間分数拡散過程における M-ライト関数: チュートリアル調査」. International Journal of Differential Equations . 2010 : 104505. arXiv : 1004.2950 . Bibcode :2010arXiv1004.2950M. doi : 10.1155/2010/104505 . S2CID 37271918.
外部リンク べき乗法則と分数ダイナミクス 非ニュートン微積分学のウェブサイト 
