欠落性

ラテン語の lacuna に由来する「隙間」や「湖」を意味するラテン語のlacuna は、パターン、特にフラクタル が空間を埋める方法の尺度を指す幾何学の専門用語で、隙間が多い、または大きいパターンは一般に隙間が高くなります。隙間の多さを直感的に測る以外に、隙間は「回転不変性」や、より一般的には不均一性など、パターンの追加の特徴を定量化できます。^{[1] [2] [3]}これは、3 つのフラクタル パターンを示す図 1 に示されています。90° 回転させると、最初の 2 つのかなり均質なパターンは変化しないように見えますが、3 番目のより不均一な図形は変化し、それに応じて隙間が高くなります。幾何学におけるこの用語の最も古い言及は、通常、ブノワ マンデルブロによるものとされており、マンデルブロは 1983 年、あるいはおそらく 1977 年に、本質的にはフラクタル分析の補助としてこの用語を導入しました。^[4]空隙解析は現在、さまざまな分野のパターンを特徴付けるために使用されており、特に マルチフラクタル解析^{[5] [6]に応用されています（応用を参照）。}

多くのパターンやデータ セットでは、空隙は容易に認識または定量化できないため、それを計算するためのコンピューター支援方法が開発されています。測定可能な量として、空隙は科学文献ではギリシャ文字のまたはで表されますが、単一の標準はなく、空隙を評価および解釈するためのさまざまな方法が存在することに注意することが重要です。 ${\displaystyle \Lambda}$${\displaystyle \lambda}$

デジタル画像から抽出されたパターンの空白性を判断するよく知られた方法の 1 つは、ボックス カウンティングを使用する方法です。これは、フラクタル解析のいくつかのタイプで通常使用される基本的なアルゴリズムと同じです。 ^{[1] [4]}倍率を変えながら顕微鏡でスライドを見るのと同じように、ボックス カウンティング アルゴリズムは、さまざまな解像度からデジタル画像を見て、画像を検査するために使用される要素のサイズによって特定の特徴がどのように変化するかを調べます。基本的に、ピクセルの配置は、従来は正方形 (つまり、ボックス型) の要素を任意のサイズのセット (慣例的にs と表記) を使用して測定します。各 について、サイズのボックスが画像上に連続的に配置され、最終的には画像を完全に覆います。ボックスが配置されるたびに、ボックス内にあるピクセル数が記録されます。^{[注 1]}標準的なボックスカウントでは、各ボックスは、ボックスが重ならないように画像に重ねられたグリッドの一部であるかのように配置されますが、スライディングボックスアルゴリズムでは、ボックスが画像上をスライドして重なり、「スライディングボックスの隙間」またはSLacが計算されます。^{[3] [7]}図2は、両方のタイプのボックスカウントを示しています。 ${\displaystyle \mathrm {E} }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \mathrm {E} }$

それぞれについて収集されたデータは、ラキュナリティを計算するために操作されます。ここで と表記される 1 つの尺度は、ボックスあたりのピクセルについて、標準偏差 ( ) を平均 ( ) で割って計算される変動係数 ( ) から求められます。 ^{[1] [3] [6]}画像のサンプリング方法は任意の開始位置に依存するため、任意の位置でサンプリングされた画像については、データを収集できるいくつかの可能な方向 ( ) があり、それぞれがここで と表記され、測定されたピクセルの分布にさまざまな影響を与える可能性があります。^{[5] [注 2]}式1はの基本的な計算方法を示しています。 ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \lambda _{\varepsilon }}$${\displaystyle {\mathit {CV}}}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle {\mathit {G}}}$${\displaystyle {\mathit {g}}}$${\displaystyle \lambda _{\varepsilon ,g}}$

あるいは、いくつかの方法では、カウントされたピクセル数をビンを持つ確率分布に分類し、ビンのサイズ（質量、）とそれに対応する確率（）を使用して、式2から5に従って計算します。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle m}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \lambda _{\varepsilon ,g}}$

に基づく欠落性は、各グリッドの変動または平均値を使用する（式6を参照）方法や、グリッド全体の変動または平均を使用する（式7を参照）方法など、いくつかの方法で評価されている。^{[1] [5] [7] [8]}${\displaystyle \lambda _{\varepsilon ,g}}$${\displaystyle \lambda _{\varepsilon ,g}}$${\displaystyle \epsilon }$

上で議論した値のタイプを使用したラキュナリティ分析では、密なフラクタル、回転してもほとんど変化しないパターン、または均質なパターンから抽出されたデータ セットはラキュナリティが低いことが示されていますが、これらの特徴が増えると^{[明確化が必要]}、一般的にラキュナリティも高くなります。いくつかの例では、フラクタル次元とラキュナリティの値は相関関係にあることが実証されていますが^[1]、最近の研究では、この関係はすべてのタイプのパターンとラキュナリティの尺度に当てはまるわけではないことが示されています^{[5] 。実際、マンデルブロが最初に提案したように、ラキュナリティは、神経科学を含むさまざまな科学分野で、}フラクタル次元を共有または類似のフラクタル次元を持つパターン (フラクタル、テクスチャなど) を識別するのに役立つことが示されています。^[8]

ボックスカウンティングデータからラキュナリティを評価する他の方法では、ラキュナリティの値（例：）との関係を、上記とは異なる方法で使用します。そのような方法の1つは、これらの値のvsプロットを見ることです。この方法によれば、曲線自体を視覚的に分析するか、vs回帰線から の傾きを計算することができます。 ^{[3] [7]}これらは、それぞれモノフラクタル、マルチフラクタル、非フラクタルパターンに対して特定の動作をする傾向があるため、vsラキュナリティプロットは、そのようなパターンを分類する方法を補完するために使用されてきました。^{[5] [8]}${\displaystyle \lambda _{\varepsilon ,g}}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \ln}$${\displaystyle \ln}$${\displaystyle {\mathit {g}}}$${\displaystyle \ln}$${\displaystyle \ln}$${\displaystyle \ln}$${\displaystyle \ln}$

このタイプの分析のプロットを作成するには、まずボックスカウントのデータを式9のように変換する必要があります。

この変換により未定義の値が回避されますが、これは重要なことです。なぜなら、同次画像では が0に等しくなるため、vs回帰直線の傾きを見つけることが不可能になるからです。 の場合、同次画像の傾きは0であり、これは回転不変性や並進不変性がなく、ギャップがないという考え方に直感的に対応しています。^[9]${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \ln}$${\displaystyle \ln}$${\displaystyle f\lambda _{\varepsilon ,g}}$

「グライディング」ボックスを使用した 1 つのボックス カウント手法では、次のようにして空隙を計算します。

${\displaystyle S_{i}}$ボックス内の塗りつぶされたデータ ポイントの数と、さまざまなボックス サイズに対する正規化された頻度分布です。 ${\displaystyle Q(S_{i},r)}$${\displaystyle S_{i}}$

ボックスカウントを使用して空隙性を評価する別の提案された方法であるプレファクター法は、フラクタル次元 ( ) のボックスカウントから得られた値に基づいています。この統計は、スケーリング規則 の変数を使用します。ここで、 はの ln-ln 回帰直線のy 切片 ( ) から計算され、または のピクセルがまったく含まれていないボックスの数 ( ) のいずれかです。は、画像サイズとデータの収集方法、特に使用される s の下限によって特に影響を受けます。最終的な測定値は、式11から13に示すように計算されます。^{[1] [4]}${\displaystyle D_{B}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle N=A\varepsilon ^{-D_{B}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathit {y}}}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle N}$${\displaystyle m}$${\displaystyle g}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \varepsilon }$

以下は、ラキュナリティが重要な役割を果たすいくつかの分野の一覧と、ラキュナリティの実際的な使用法を示す関連研究へのリンクです。

• 生態学^[2]
• 物理学^[10]
• 考古学^[11]
• 医療画像診断^{[6] [12]}
• 都市空間分析^{[13] [14]}
• 地震研究^[15]
• 歯科^[16]
• 食品科学^[17]

• 「FracLac ユーザーズ ガイド」。無料のオープンソースの生物学的イメージング ソフトウェアを使用した、空隙理論と分析のオンライン ガイド。