マンデルボックス

数学において、マンデルボックスは、2010年にトム・ロウによって発見された箱のような形をしたフラクタルである。これは、有名なマンデルブロ集合と同様に、特定の幾何学的変換を繰り返しても原点が無限大に逃げないようなパラメータの値として定義される。マンデルボックスは連続したジュリア集合のマップとして定義されるが、マンデルブロ集合とは異なり、任意の次元数で定義することができる。^[1]通常は説明のために3次元で描かれる。^{[2] [3]}

マンデルボックスの簡単な定義は次のとおりです。ベクトルz を次の規則に従って繰り返し変換します。

1. まず、 zの各成分c (次元に対応) について、c が1 より大きい場合は 2 から引きます。c が -1 より小さい場合は-2から引きます。
2. 次に、ベクトルの大きさに応じて、いくつかの固定値と指定されたスケール係数を使用してベクトルの大きさを変更します。

反復はベクトルzに次のように適用されます: ^{[説明が必要]}

関数iterate( z ):
     zの各要素について:
        要素 > 1の場合: 
            コンポーネント := 2 - コンポーネント
        それ以外の場合、コンポーネント < -1 の場合:
            コンポーネント := -2 - コンポーネント

    zの大きさ< 0.5
        の場合: z  := z * 4
    そうでない場合、zの大きさ< 1 の場合:
         z  := z / ( zの大きさ)^2
   
    z  :=スケール* z + c

ここでcはテストされる定数であり、scaleは実数である。^[3]

マンデルボックスの注目すべき特性は、特にスケール-1.5の場合、その中に多くのよく知られたフラクタルの近似値が含まれていることです。^{[4] [5] [6]}

マンデルボックスには固体コアが含まれているため、そのフラクタル次元は3、またはn次元に一般化した場合はnとなる。^[7]${\displaystyle 1<|{\text{scale}}|<2}$

マンデルボックスの辺の長さは4で、マンデルボックスの辺の長さは です。^[7]${\displaystyle {\text{scale}}<-1}$${\displaystyle 1<{\text{scale}}\leq 4{\sqrt {n}}+1}$${\displaystyle 4\cdot {\frac {{\text{scale}}+1}{{\text{scale}}-1}}}$

• マンデルバルブ
• ブッダブロット
• リヒテンベルク図

ウィキメディア・コモンズには、マンデルボックスに関連するメディアがあります。

• ギャラリーと説明
• マンデルボックスキューブの画像
• ビデオ: マンデルボックス キューブを拡大