ドラゴンカーブ

ドラゴン曲線は、リンデンマイヤー システムなどの再帰的方法で近似できる自己相似 フラクタル曲線のファミリーのメンバーです。ドラゴン曲線は、おそらく、紙片を繰り返し半分に折ることによって生成される形状として最も一般的に考えられていますが、異なる方法で生成されるドラゴン曲線と呼ばれる他の曲線もあります。

ハイウェイドラゴン（ハーター・ハイウェイドラゴン、ジュラシックパークドラゴンとも呼ばれる）は、 NASAの物理学者ジョン・ハイウェイ、ブルース・バンクス、ウィリアム・ハーターによって初めて研究された。 1967年にマーティン・ガードナーがサイエンティフィック・アメリカンのコラム「数学ゲーム」で説明した。その特性の多くは、チャンドラー・デイビスとドナルド・クヌースによって初めて発表された。マイケル・クライトンの小説「ジュラシック・パーク」の章のタイトルページにも登場した。^[1]

ハイウェイドラゴンは、基本線分から、各線分を直角の2つの線分に繰り返し置き換え、右と左に交互に45°回転させることによって構築できます。^[2]

ハイウェイ ドラゴンは、複素平面における 次の反復関数系の極限集合でもあります。

${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {(1+i)z}{2}}}$

${\displaystyle f_{2}(z)=1-{\frac {(1-i)z}{2}}}$

初期の点集合を用いて。 ${\displaystyle S_{0}=\{0,1\}}$

代わりに実数のペアを使用すると、これは次の2つの関数と同じになります。

${\displaystyle f_{1}(x,y)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\cos 45^{\circ }&-\sin 45^{\circ }\\\sin 45^{\circ }&\cos 45^{\circ }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle f_{2}(x,y)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\cos 135^{\circ }&-\sin 135^{\circ }\\\sin 135^{\circ }&\cos 135^{\circ }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$

ハイウェイ・ドラゴン曲線は、紙片を折ることで作ることができ、それが最初に発見された方法です。^[1]紙片を右半分に折ります。もう一度右半分に折ります。ここで紙片を広げ、各折り目を解いて 90 度回転すると、回転順序は RRL、つまりハイウェイ・ドラゴンの 2 番目の反復になります。紙片をもう一度右半分に折ると、展開された紙片の回転順序は RRLRRLL となり、ハイウェイ・ドラゴンの 3 番目の反復になります。紙片を右半分に折り続けると、ハイウェイ・ドラゴンのさらなる反復が作成されます (実際には、紙片は 4 回または 5 回繰り返すと厚くなりすぎて、鋭く折ることができなくなります)。

この一連の紙片の折り畳みパターンは、右折り (R) と左折り (L) の順序として次のようになります。

• 1回目の反復: R
• 2回目の反復: R R L
• 3回目の繰り返し: R R L R R L L
• 4 回目の反復: R R L R R L L R R R L L R L L。

各反復は、前の反復をコピーし、次にRをコピーし、次に前の反復の2番目のコピーをLとRの文字を入れ替えて逆の順序でコピーすることで見つけることができます。^[1]

• ハイウェイ ドラゴン曲線には多くの自己相似性が見られます。最も顕著なのは、同じパターンが 45° 傾き、縮小率が で繰り返されていることです。これらの自己相似性に基づいて、その長さの多くは単純な有理数です。${\displaystyle \textstyle {\sqrt {2}}}$

• ドラゴン曲線は平面をタイル張りすることができます。1つの可能なタイル張りは、線分から始まるドラゴンの再帰的定義を使用して、正方形のタイル張りの各辺をドラゴン曲線に置き換えます。各セグメントを拡張する最初の方向は、正方形のタイル張りのチェッカーボードの色付けから決定でき、垂直セグメントを黒いタイルに拡張して白いタイルから拡張し、水平セグメントを白いタイルに拡張して黒いタイルから拡張します。^[3]
• 空間充填曲線として、ドラゴン曲線はフラクタル次元がちょうど2である。初期セグメント長が1のドラゴン曲線の場合、平面のタイリングからわかるように、その面積は1/2である。^[1]
• ドラゴン曲線で覆われた集合の境界は無限長で、フラクタル次元を持ち、ここで方程式の実数解である^[4]$${\displaystyle 2\log _{2}\lambda \approx 1.523627086202492,}$$$${\displaystyle \lambda ={\frac {1+(28-3{\sqrt {87}})^{1/3}+(28+3{\sqrt {87}})^{1/3}}{3}}\approx 1.69562076956}$$${\displaystyle \lambda ^{3}-\lambda ^{2}-2=0.}$

ツインドラゴン(デイビス・クヌース ドラゴンとも呼ばれる) は、2 つのハイウェイ ドラゴン曲線を背中合わせに配置することで構築できます (元のドラゴン曲線を垂直および水平に反転した後)。これは、次の反復関数システムの極限セットでもあります。

${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {(1+i)z}{2}}}$

${\displaystyle f_{2}(z)=1-{\frac {(1+i)z}{2}}}$

ここで、初期形状は次の集合によって定義されます。 ${\displaystyle S_{0}=\{0,1,1-i\}}$

これはLindenmayer システムとして記述することもできます。最初の文字列に別のセクションを追加するだけです。

• 角度90°
• 初期文字列FX+FX+
• 文字列書き換えルール
  • X ↦ X + YF
  • Y ↦ FX − Y .

これはまた、基数${\displaystyle (-1\pm i)}$で表されたときに同じ整数部を持つ複素平面上の点の軌跡でもある。^[5]

テルドラゴンはリンデンマイヤーシステムとして記述できます。

• 角度120°
• 初期文字列F
• 文字列書き換えルール
  • F ↦ F+F−Fです。

これは、次の反復関数系の極限集合です。

${\displaystyle f_{1}(z)=\lambda z}$

${\displaystyle f_{2}(z)={\frac {i}{\sqrt {3}}}z+\lambda }$

${\displaystyle f_{3}(z)=\lambda z+\lambda ^{*}}$

${\displaystyle {\mbox{ここで }}\lambda ={\frac {1}{2}}-{\frac {i}{2{\sqrt {3}}}}{\text{ および }}\lambda ^{*}={\frac {1}{2}}+{\frac {i}{2{\sqrt {3}}}}.}$

レヴィC曲線はレヴィドラゴンと呼ばれることもあります。^[6]

線形微分方程式の解の集合が得られたら、重ね合わせの原理により、解の任意の線形結合も元の方程式に従います。言い換えると、既存の解の集合に関数を適用することで、新しい解が得られます。これは、反復関数システムが集合内に新しい点を生成する方法に似ていますが、すべての IFS が線形関数であるわけではありません。概念的に同様に、関数の集合をこのように反復適用することで、 リトルウッド多項式の集合を得ることができます。

リトルウッド多項式は、すべての となる多項式です。 ${\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\,}$${\displaystyle a_{i}=\pm 1}$

いくつかの場合、次の関数を定義します。 ${\displaystyle |w|<1}$

${\displaystyle f_{+}(z)=1+wz}$

${\displaystyle f_{-}(z)=1-wz}$

z=0から始めて、これらの関数をd+1回繰り返して、d次のリトルウッド多項式をすべて生成することができます。^[7]例えば：${\displaystyle f_{+}(f_{-}(f_{-}(0)))=1+(1-w)w=1+1w-1w^{2}}$

に対して、上記の関数のペアは、Heighway ドラゴンの IFS 定式化と同等であることがわかります。つまり、Heighway ドラゴンは、特定の反復まで反復され、点 で評価された特定の次数までのすべての Littlewood 多項式の集合を記述します。実際、Littlewood 多項式の十分な数の根をプロットすると、ドラゴン曲線に似た構造がこれらの座標に近い点に現れます。^{[7] [8] [9]}${\displaystyle w=(1+i)/2}$${\displaystyle w=(1+i)/2}$

• ハウスドルフ次元によるフラクタルのリスト
• 複素数基底システム

ウィキメディア・コモンズには、ドラゴン曲線に関連するメディアがあります。

• ワイスシュタイン、エリック W.、「ドラゴン曲線」、MathWorld
• ドラゴンカーブに関するクヌース