フラクタルシーケンス

数学において、フラクタル列とは、それ自身を適切な部分列として含む列のことである。例えば、

1、1、2、1、2、3、1、2、3、4、1、2、3、4、5、1、2、3、4、5、6、...

各 n の最初の出現を削除すると、残りのシーケンスは元のシーケンスと同一になります。このプロセスは無制限に繰り返すことができるため、実際には元のシーケンスにはそれ自身のコピーが 1 つだけではなく、無限に多く含まれます。

フラクタル数列の正確な定義は予備的な定義に依存する。数列x = (x _n )は、任意のiに対して、

(F1) x _n = i （ nは無限個）

a(i,j)をx _n = iとなるj番目のインデックスnとします。無限数列x は、次の 2 つの条件が満たされる場合、フラクタル数列です。

（F2）i+1 = x _nならば、 m < nが存在し、

${\displaystyle i=x_{m}}$

(F3) h < iならば、任意のjに対して、次のkがちょうど 1 つ存在する。

${\displaystyle a(i,j)<a(h,k)<a(i,j+1).}$

(F2)によれば、 xにおける各i > 1の最初の出現の前には、各数値 1、2、...、i-1 が少なくとも1回出現する必要があり、(F3)によれば、xにおける各iの連続した出現の間には、各iより小さいh が正確に1回出現する。

θが正の無理数であると仮定する。

S(θ) = 数の集合 c + dθ、ここで c と d は正の整数

そして

c _n (θ) + θd _n (θ)

S(θ) の数字を昇順に並べた数列とする。数列 c _n (θ)はθ の符号であり、フラクタル数列である。

例えば、黄金比（θ = (1 + sqrt(5))/2） の符号は次のように始まる。

1、2、1、3、2、4、1、3、5、2、4、1、6、3、5、2、7、4、1、6、3、8、5、...

そして1/θ = θ - 1の符号は次のように始まる。

1、1、2、1、2、1、3、2、1、3、2、4、1、3、2、4、1、3、2、4、1、3、5、...

これらは、 On-Line Encyclopedia of Integer Sequences のシーケンスOEIS :A084531およびOEIS :A084532であり、さまざまな数論的および組み合わせ論的設定からのさらなる例が示されています。

• トゥー・モース列

• 整数列のオンライン百科事典:
  • OEISシーケンス A002260 (三角形 T(n,k) = k、k = 1..n の場合)
  • OEISシーケンス A004736 (行ごとに読み取られる三角形: 行 n には最初の n 個の正の整数が降順でリストされます)
  • OEISシーケンス A003603 (フィボナッチ数列 (またはウィトフ配列) から得られるフラクタル シーケンス)
  • OEISシーケンス A112382 (自己記述型フラクタル シーケンス: シーケンスにはすべての正の整数が含まれます)
  • OEISシーケンス A122196 (フラクタル シーケンス: 連続する整数から 2 ずつカウントダウン)
  • OEISシーケンス A022446 (合成数の分散のフラクタル シーケンス)
  • OEISシーケンス A022447 (素数の分散のフラクタル シーケンス)
  • OEISシーケンス A125158 (A125150 に関連付けられたフラクタル シーケンス)
  • OEISシーケンス A125159 (A125151 に関連付けられたフラクタル シーケンス)
  • OEIS数列 A108712 (フラクタル数列、(ほぼ自然数))

• Kimberling, Clark (1997). 「フラクタルシーケンスと散在」. Ars Combinatoria . 45 : 157–168. Zbl  0932.11016.