不確定性原理

不確定性原理は、一次元空間における質量を持つスピンを持たない粒子の位置空間および運動量空間の波動関数を用いて視覚化することができる。

位置空間波動関数が局所的であるほど、粒子がその領域内の位置座標で見つかる可能性が高くなり、それに伴い運動量空間波動関数は局所性が低くなるため、粒子が取りうる運動量成分の範囲は広くなります。逆に、運動量空間波動関数が局所的であるほど、粒子がその領域内の運動量成分の値で見つかる可能性が高くなり、それに伴い位置空間波動関数は局所性が低くなるため、粒子が占める可能性のある位置座標の範囲は広くなります。これらの波動関数は互いにフーリエ変換の関係にあり、数学的には、不確定性原理が変換における共役変数間の関係を表しています。

平面波

波束

1次元におけるド・ブロイ波の伝播―複素振幅の実部は青、虚部は緑で示されています。粒子が特定の点xに存在する確率（色の不透明度で示されています）は波形のように広がり、粒子の明確な位置は存在しません。振幅がゼロより大きくなると曲率が符号を反転するため、振幅は再び減少し始め、その逆もまた同様です。結果として振幅が交互に変化する波が生じます。

ド・ブロイの仮説によれば、宇宙に存在するすべての物体は波動と結びついている。したがって、素粒子から原子、分子、惑星、そしてそれ以上のものに至るまで、すべての物体は不確定性原理の影響を受ける。

波数k ₀または運動量p ₀の単一モード平面波の時間非依存波動関数は^{[ 11 ]}である。$${\displaystyle \psi (x)\propto e^{ik_{0}x}=e^{ip_{0}x/\hbar }~.}$$

ボルンの規則によれば、これは確率密度振幅関数として解釈されるべきであり、粒子がaとbの間に見つかる確率は $${\displaystyle \operatorname {P} [a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}\,\mathrm {d} x~.}$$

単一モード平面波の場合、${\displaystyle |\psi (x)|^{2}}$1 の場合${\displaystyle X=x}$それ以外の場合は0となる。言い換えれば、粒子の位置は極めて不確実であり、波束上のほぼどこにでも存在し得るということである。

一方、多くの波の和である波動関数を考えてみましょう。これは次のように書くことができます。 $${\displaystyle \psi (x)\propto \sum _{n}A_{n}e^{ip_{n}x/\hbar }~,}$$ ここで、A _{n は}モードp _nの全体に対する相対的な寄与を表します。右側の図は、多くの平面波を加えることで波束がより局在化することを示しています。これをさらに一歩進めて連続体極限まで考えると、波動関数はすべての可能なモードにわたる 積分になります。$${\displaystyle \psi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp~,}$$ と${\displaystyle \varphi (p)}$これらのモードの振幅を表し、運動量空間における波動関数と呼ばれます。数学的には、${\displaystyle \varphi (p)}$はフーリエ変換である${\displaystyle \psi (x)}$そして、xとpは共役変数である。これらの平面波をすべて足し合わせると、運動量がさまざまな運動量の波の混合となり、精度が低下するという代償が伴う。^{[ 12 ]}

位置と運動量の精度を定量化する一つの方法は、標準偏差σである。 ${\displaystyle |\psi (x)|^{2}}$これは位置の確率密度関数であり、その標準偏差を計算します。

多数の平面波を用いることで位置の精度が向上し、すなわちσ _xが低減されるが、その結果、運動量の精度が低下し、すなわちσ _pが増大する。言い換えれば、σ _xとσ _{p は}逆相関の関係にあるか、少なくとも下限が定められている。これが不確定性原理であり、その厳密な限界がケナード限界である。

我々は、以下のように定義される位置と運動量の 分散に興味がある。$${\displaystyle \sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx-\left(\int _{-\infty }^{\infty }x\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx\right)^{2}}$$$${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }p^{2}\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp-\left(\int _{-\infty }^{\infty }p\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp\right)^{2}~.}$$

一般性を失うことなく、平均値がゼロになると仮定します。これは、座標系の原点を移動させることに相当します。（この仮定をしないより一般的な証明は後述します。）これにより、より単純な形式が得られます。 $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx}$$$${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }p^{2}\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp~.}$$

機能${\displaystyle f(x)=x\cdot \psi (x)}$は関数空間におけるベクトルとして解釈できます。このベクトル空間において、 関数u ( x ) とv ( x )のペアの内積を定義できます。$${\displaystyle \langle u\mid v\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }u^{*}(x)\cdot v(x)\,dx,}$$ ここで、アスタリスクは複素共役を表します。

この内積を定義すると、位置の分散は次のように書けることに注意する。 $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\langle f\mid f\rangle ~.}$$

運動量についても同様に、関数を解釈することでこれを繰り返すことができます。${\displaystyle {\tilde {g}}(p)=p\cdot \varphi (p)}$ベクトルとして、また、${\displaystyle \psi (x)}$そして${\displaystyle \varphi (p)}$これらは互いにフーリエ変換の関係にあります。逆フーリエ変換は部分積分によって求めます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}g(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {g}}(p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }p\cdot \varphi (p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {1}{2\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[p\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi (\chi )e^{-ip\chi /\hbar }\,d\chi \right]\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {i}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[{\cancel {\left.\psi (\chi )e^{-ip\chi /\hbar }\right|_{-\infty }^{\infty }}}-\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}e^{-ip\chi /\hbar }\,d\chi \right]\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&=-i\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}\left[{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\,e^{ip(x-\chi )/\hbar }\,dp\right]\,d\chi \\&=-i\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}\left[\delta \left({\frac {x-\chi }{\hbar }}\right)\right]\,d\chi \\&=-i\hbar \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}\left[\delta \left(x-\chi \right)\right]\,d\chi \\&=-i\hbar {\frac {d\psi (x)}{dx}}\\&=\left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)\cdot \psi (x),\end{aligned}}}$$ どこ${\displaystyle v={\frac {\hbar }{-ip}}e^{-ip\chi /\hbar }}$部分積分では、波動関数が無限遠と無限遠の両方でゼロになるため、相殺される項は消滅します。${\displaystyle |e^{-ip\chi /\hbar }|=1}$そして、有効なディラックのデルタ関数を使用します。${\displaystyle {\dfrac {d\psi (\chi )}{d\chi }}}$pに依存しない。

用語${\textstyle -i\hbar {\frac {d}{dx}}}$は位置空間における運動量演算子と呼ばれます。プランシュレルの定理を適用すると、運動量の分散は次のように書けることがわかります。 $${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|{\tilde {g}}(p)|^{2}\,dp=\int _{-\infty }^{\infty }|g(x)|^{2}\,dx=\langle g\mid g\rangle .}$$

コーシー・シュワルツの不等式は、 $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}=\langle f\mid f\rangle \cdot \langle g\mid g\rangle \geq |\langle f\mid g\rangle |^{2}~.}$$

任意の複素数zの絶対値の二乗は次のように表すことができます。 $${\displaystyle |z|^{2}={\Big (}{\text{Re}}(z){\Big )}^{2}+{\Big (}{\text{Im}}(z){\Big )}^{2}\geq {\Big (}{\text{Im}}(z){\Big )}^{2}=\left({\frac {z-z^{\ast }}{2i}}\right)^{2}.}$$ 私たちは${\displaystyle z=\langle f|g\rangle }$そして${\displaystyle z^{*}=\langle g\mid f\rangle }$そしてこれらを上記の式に代入すると $${\displaystyle |\langle f\mid g\rangle |^{2}\geq \left({\frac {\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle }{2i}}\right)^{2}~.}$$

あとはこれらの内部積を評価するだけだ。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\,x\cdot \left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)\,\psi (x)\,dx-\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\,\left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)\cdot x\,\psi (x)\,dx\\&=i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\left[\left(-x\cdot {\frac {d\psi (x)}{dx}}\right)+{\frac {d(x\psi (x))}{dx}}\right]\,dx\\&=i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\left[\left(-x\cdot {\frac {d\psi (x)}{dx}}\right)+\psi (x)+\left(x\cdot {\frac {d\psi (x)}{dx}}\right)\right]\,dx\\&=i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\psi (x)\,dx\\&=i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (x)|^{2}\,dx\\&=i\hbar \end{aligned}}}$$

これを上記の不等式に代入すると、 $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}\geq |\langle f\mid g\rangle |^{2}\geq \left({\frac {\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle }{2i}}\right)^{2}=\left({\frac {i\hbar }{2i}}\right)^{2}={\frac {\hbar ^{2}}{4}}}$$ 平方根を取る $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}~.}$$

等号が成り立つのは、 pとxが線形従属である場合に限る。この証明に関わる唯一の物理学は、${\displaystyle \psi (x)}$そして${\displaystyle \varphi (p)}$これらは位置と運動量を表す波動関数であり、互いにフーリエ変換の関係にある。同様の結果は、任意の共役変数のペアについても成り立つ。

行列力学では、位置や運動量などの観測量は自己共役演算子で表されます。^{[ 12 ]}観測量のペアを考える場合、重要な量は交換子です。演算子Âとのペアの場合、${\displaystyle {\hat {B}}}$交換子を次のように定義する。 $${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}.}$$ 位置と運動量の場合、交換子は正準交換関係である。$${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar .}$$

非可換性の物理的意味は、交換子が位置と運動量の固有状態に与える影響を考慮することで理解できる。${\displaystyle |\psi \rangle }$位置の右固有状態であり、定数固有値x ₀を持つ。定義により、これは次のことを意味する。${\displaystyle {\hat {x}}|\psi \rangle =x_{0}|\psi \rangle .}$整流子を適用する${\displaystyle |\psi \rangle }$収量 $${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]|\psi \rangle =({\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}})|\psi \rangle =({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}}){\hat {p}}\,|\psi \rangle =i\hbar |\psi \rangle ,}$$ ここで、Îは恒等演算子である。

背理法による証明のために、${\displaystyle |\psi \rangle }$は運動量の右固有状態であり、その固有値は定数p ₀である。これが真であれば、次のように書ける。 $${\displaystyle ({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}}){\hat {p}}\,|\psi \rangle =({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}})p_{0}\,|\psi \rangle =(x_{0}{\hat {I}}-x_{0}{\hat {I}})p_{0}\,|\psi \rangle =0.}$$ 一方、上記の正準交換関係は、 $${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]|\psi \rangle =i\hbar |\psi \rangle \neq 0.}$$ これは、いかなる量子状態も、位置固有状態と運動量固有状態の両方を同時に持つことはできないことを意味する。

状態が測定されると、関連する観測量の基底の固有状態に射影されます。たとえば、粒子の位置が測定された場合、その状態は位置の固有状態になります。これは、その状態が運動量の固有状態ではなく、複数の運動量基底の固有状態の和として表されることを意味します。言い換えれば、運動量の精度は低くなります。この精度は、標準偏差によって定量化できます。 $${\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {\langle {\hat {x}}^{2}\rangle -\langle {\hat {x}}\rangle ^{2}}}}$$$${\displaystyle \sigma _{p}={\sqrt {\langle {\hat {p}}^{2}\rangle -\langle {\hat {p}}\rangle ^{2}}}.}$$

上記の波動力学の解釈と同様に、両者のそれぞれの精度にはトレードオフが存在し、それは不確定性原理によって定量化される。

1次元量子調和振動子を考えてみましょう。位置演算子と運動量演算子は、生成演算子と消滅演算子を用いて次のように表現できます。 $${\displaystyle {\hat {x}}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}(a+a^{\dagger })}$$$${\displaystyle {\hat {p}}=i{\sqrt {\frac {m\omega \hbar }{2}}}(a^{\dagger }-a).}$$

エネルギー固有状態における生成消滅演算子の標準規則を用いると、 $${\displaystyle a^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle }$$$${\displaystyle a|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle ,}$$ 分散は直接計算できます。 $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {\hbar }{m\omega }}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}$$$${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\hbar m\omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\,.}$$ これらの標準偏差の積は次のようになります。 $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}=\hbar \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\geq {\frac {\hbar }{2}}.~}$$

特に、上記のケナード境界^{[ 6 ]}は基底状態n =0に対して飽和しており、その確率密度は正規分布に等しい。

初期ガウス分布における位置（青）と運動量（赤）の確率密度。上から順に、 Ω = ω、Ω = 2ω 、 Ω = ω /2の場合のアニメーションを示しています。分布の幅のトレードオフに注目してください。

特性角周波数ωの量子調和振動子において、ポテンシャルの底から変位x ₀だけずれた状態を次のように 配置する。$${\displaystyle \psi (x)=\left({\frac {m\Omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\exp {\left(-{\frac {m\Omega (x-x_{0})^{2}}{2\hbar }}\right)},}$$ ここでΩは初期状態の幅を表しますが、ωと同じである必要はありません。プロパゲーターを積分することで、完全な時間依存解を求めることができます。多くの相殺の後、確率密度は次のように縮小されます 。$${\displaystyle |\Psi (x,t)|^{2}\sim {\mathcal {N}}\left(x_{0}\cos {(\omega t)},{\frac {\hbar }{2m\Omega }}\left(\cos ^{2}(\omega t)+{\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\right)}$$$${\displaystyle |\Phi (p,t)|^{2}\sim {\mathcal {N}}\left(-mx_{0}\omega \sin(\omega t),{\frac {\hbar m\Omega }{2}}\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\right),}$$ ここで、私たちは表記法を使用しました${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$平均μ、分散σ²の正規分布を表す。上記の分散をコピーし、三角関数の恒等式を適用すると、標準偏差の積は次のように書ける ^。$${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{x}\sigma _{p}&={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)}}\\&={\frac {\hbar }{4}}{\sqrt {3+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-1\right)\cos {(4\omega t)}}}\end{aligned}}}$$

関係から $${\displaystyle {\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\geq 2,\quad |\cos(4\omega t)|\leq 1,}$$ 以上のことから、以下の結論が得られる（右端の等式はΩ = ωの場合にのみ成立する）。 $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{4}}{\sqrt {3+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-1\right)}}={\frac {\hbar }{2}}.}$$

コヒーレント状態は消滅演算子の右固有状態である。 $${\displaystyle {\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle ,}$$これはフォック状態の観点から次のよう に表すことができる。$${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha ^{n} \over {\sqrt {n!}}}|n\rangle }$$

コヒーレント状態が量子調和振動子内の質量のある粒子である図では、位置演算子と運動量演算子は、上記と同じ式で消滅演算子を用いて表現でき、分散を計算するために使用できます。 $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {\hbar }{2m\omega }},}$$$${\displaystyle \sigma _{p}^{2}={\frac {\hbar m\omega }{2}}.}$$ したがって、すべてのコヒーレント状態はケナード限界を飽和させる。 $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}\,{\sqrt {\frac {\hbar m\omega }{2}}}={\frac {\hbar }{2}}.}$$ 位置と運動量はそれぞれ一定量ずつ寄与する${\textstyle {\sqrt {\hbar /2}}}$「バランスの取れた」方法で。さらに、スクイーズドコヒーレント状態はすべてケナード限界を飽和させるが、位置と運動量の個々の寄与は一般にバランスが取れている必要はない。

長さの1次元ボックス内の粒子を考えます。${\displaystyle L}$位置空間と運動量空間における固有関数は $${\displaystyle \psi _{n}(x,t)={\begin{cases}A\sin(k_{n}x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{n}t},&0<x<L,\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$$ そして $${\displaystyle \varphi _{n}(p,t)={\sqrt {\frac {\pi L}{\hbar }}}\,\,{\frac {n\left(1-(-1)^{n}e^{-ikL}\right)e^{-i\omega _{n}t}}{\pi ^{2}n^{2}-k^{2}L^{2}}},}$$ どこ${\textstyle \omega _{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar n^{2}}{8L^{2}m}}}$そして、我々はド・ブロイの関係式を用いた。${\displaystyle p=\hbar k}$分散${\displaystyle x}$そして${\displaystyle p}$明示的に計算できます。 $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {L^{2}}{12}}\left(1-{\frac {6}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)}$$$${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\left({\frac {\hbar n\pi }{L}}\right)^{2}.}$$

標準偏差の積は $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}.}$$ すべての人にとって${\displaystyle n=1,\,2,\,3,\,\ldots }$数量${\textstyle {\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}}$は 1 より大きいので、不確定性原理は決して破られません。数値的に具体的に言うと、最小値は次の場合に発生します。${\displaystyle n=1}$その場合 $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{3}}-2}}\approx 0.568\hbar >{\frac {\hbar }{2}}.}$$

粒子は初期状態では、一定の運動量p ₀の 周りの正規分布によって記述される運動量空間波動関数を持つと仮定します。$${\displaystyle \varphi (p)=\left({\frac {x_{0}}{\hbar {\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}\exp \left({\frac {-x_{0}^{2}(p-p_{0})^{2}}{2\hbar ^{2}}}\right),}$$ ここでは参照スケールを導入しました${\textstyle x_{0}={\sqrt {\hbar /m\omega _{0}}}}$、 と${\displaystyle \omega _{0}>0}$分布の幅を記述する—無次元化を参照。状態が自由空間で進化することを許容する場合、時間依存の運動量と位置空間の波動関数は次のようになる。 $${\displaystyle \Phi (p,t)=\left({\frac {x_{0}}{\hbar {\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}\exp \left({\frac {-x_{0}^{2}(p-p_{0})^{2}}{2\hbar ^{2}}}-{\frac {ip^{2}t}{2m\hbar }}\right),}$$$${\displaystyle \Psi (x,t)=\left({\frac {1}{x_{0}{\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}{\frac {e^{-x_{0}^{2}p_{0}^{2}/2\hbar ^{2}}}{\sqrt {1+i\omega _{0}t}}}\,\exp \left(-{\frac {(x-ix_{0}^{2}p_{0}/\hbar )^{2}}{2x_{0}^{2}(1+i\omega _{0}t)}}\right).}$$

以来${\displaystyle \langle p(t)\rangle =p_{0}}$そして${\displaystyle \sigma _{p}(t)=\hbar /({\sqrt {2}}x_{0})}$これは、粒子が任意の高精度で一定の運動量で移動していると解釈できます。一方、位置の標準偏差は $${\displaystyle \sigma _{x}={\frac {x_{0}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1+\omega _{0}^{2}t^{2}}}}$$ そのため、不確実性積は時間とともに増加するだけで、 $${\displaystyle \sigma _{x}(t)\sigma _{p}(t)={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {1+\omega _{0}^{2}t^{2}}}}$$

量子力学の位相空間定式化において、ロバートソン・シュレーディンガー関係は実数スター二乗関数の正値条件から導かれる。ウィグナー関数が与えられた場合${\displaystyle W(x,p)}$スター積★と関数fに関して、一般的に次のことが成り立つ。^{[ 21 ]}$${\displaystyle \langle f^{*}\star f\rangle =\int (f^{*}\star f)\,W(x,p)\,dx\,dp\geq 0~.}$$

選択する${\displaystyle f=a+bx+cp}$到着する $${\displaystyle \langle f^{*}\star f\rangle ={\begin{bmatrix}a^{*}&b^{*}&c^{*}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&\langle x\rangle &\langle p\rangle \\\langle x\rangle &\langle x\star x\rangle &\langle x\star p\rangle \\\langle p\rangle &\langle p\star x\rangle &\langle p\star p\rangle \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}\geq 0~.}$$

この正値条件はすべてのa、b、cに対して成り立つので、行列のすべての固有値は非負であることがわかります。

非負の固有値は、行列式に対する対応する非負条件を意味する。 $${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}1&\langle x\rangle &\langle p\rangle \\\langle x\rangle &\langle x\star x\rangle &\langle x\star p\rangle \\\langle p\rangle &\langle p\star x\rangle &\langle p\star p\rangle \end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}1&\langle x\rangle &\langle p\rangle \\\langle x\rangle &\langle x^{2}\rangle &\left\langle xp+{\frac {i\hbar }{2}}\right\rangle \\\langle p\rangle &\left\langle xp-{\frac {i\hbar }{2}}\right\rangle &\langle p^{2}\rangle \end{bmatrix}}\geq 0~,}$$ または、明示的に代数操作の後、 $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}=\left(\langle x^{2}\rangle -\langle x\rangle ^{2}\right)\left(\langle p^{2}\rangle -\langle p\rangle ^{2}\right)\geq \left(\langle xp\rangle -\langle x\rangle \langle p\rangle \right)^{2}+{\frac {\hbar ^{2}}{4}}~.}$$

ロバートソン関係とシュレーディンガー関係は一般的な演算子に関するものであるため、これらの関係を任意の2つの観測量に適用することで、特定の不確定性関係を得ることができます。文献でよく見られる関係をいくつか以下に示します。

• 位置と線運動量の不確定性関係：位置演算子と線運動量演算子に対して、正準交換関係${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }$これは、上記のケナードの不等式を意味する。$${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}.}$$
• 角運動量の不確定性関係：物体の全角運動量演算子の2つの直交成分について：$${\displaystyle \sigma _{J_{i}}\sigma _{J_{j}}\geq {\frac {\hbar }{2}}{\big |}\langle J_{k}\rangle {\big |},}$$ここで、i、j、kは互いに異なり、J _iはx _i軸に沿った角運動量を表す。この関係は、3つの成分すべてが同時にゼロにならない限り、システムの角運動量の1つの成分のみを任意の精度で定義できることを意味し、通常は外部（磁場または電場）に平行な成分である。さらに、${\displaystyle [J_{x},J_{y}]=i\hbar \varepsilon _{xyz}J_{z}}$選択肢${\displaystyle {\hat {A}}=J_{x}}$、${\displaystyle {\hat {B}}=J_{y}}$角運動量多重項では、ψ = | j , m ⟩ はカシミール不変量(角運動量の二乗、${\displaystyle \langle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}\rangle }$) 下から取得し、j ( j + 1) ≥ m ( m + 1)や、したがってj ≥ mなどの有用な制約が得られます。

• 超伝導体の電子の数とギンツブルグ・ランダウ秩序パラメーターの位相については^{[ 22 ] [ 23 ]}$${\displaystyle \Delta N\,\Delta \varphi \geq 1.}$$

演算子に対するロバートソン不等式の導出${\displaystyle {\hat {A}}}$そして${\displaystyle {\hat {B}}}$必要${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi }$そして${\displaystyle {\hat {B}}{\hat {A}}\psi }$定義される必要がある。これらの条件が成り立たない量子系も存在する。^{[ 24 ]}一例として、リング上の 量子粒子があり、その波動関数は角度変数に依存する。${\displaystyle \theta }$間隔${\displaystyle [0,2\pi ]}$「位置」演算子と「運動量」演算子を定義する${\displaystyle {\hat {A}}}$そして${\displaystyle {\hat {B}}}$による $${\displaystyle {\hat {A}}\psi (\theta )=\theta \psi (\theta ),\quad \theta \in [0,2\pi ],}$$ そして $${\displaystyle {\hat {B}}\psi =-i\hbar {\frac {d\psi }{d\theta }},}$$ 周期境界条件付き${\displaystyle {\hat {B}}}$定義${\displaystyle {\hat {A}}}$によります${\displaystyle \theta }$0から${\displaystyle 2\pi }$これらの演算子は、位置演算子と運動量演算子の通常の交換関係を満たします。${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=i\hbar }$より正確には、${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi =i\hbar \psi }$両方が${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi }$そして${\displaystyle {\hat {B}}{\hat {A}}\psi }$定義され、そのような空間${\displaystyle \psi }$は量子ヒルベルト空間の稠密部分空間である。^{[ 11 ]}

さあ${\displaystyle \psi }$の固有状態のいずれかである${\displaystyle {\hat {B}}}$それらは、${\displaystyle \psi (\theta )=e^{2\pi in\theta }}$これらの状態は、直線上の運動量演算子の固有状態とは異なり、正規化可能です。また、演算子${\displaystyle {\hat {A}}}$は有界である。${\displaystyle \theta }$有界区間の範囲に及ぶ。したがって、この状態では${\displaystyle \psi }$不確実性${\displaystyle B}$はゼロであり、不確実性は${\displaystyle A}$は有限なので、 $${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}=0.}$$ この場合、ロバートソンの不確定性原理は適用されません。${\displaystyle \psi }$オペレーターの領域外です${\displaystyle {\hat {B}}{\hat {A}}}$乗算により${\displaystyle \theta }$周期境界条件を乱す${\displaystyle {\hat {B}}}$[ ^{11 ]​}

通常の位置演算子と運動量演算子の場合${\displaystyle {\hat {X}}}$そして${\displaystyle {\hat {P}}}$実数直線上では、そのような反例は発生しない。${\displaystyle \sigma _{x}}$そして${\displaystyle \sigma _{p}}$州内で定義されている${\displaystyle \psi }$ハイゼンベルクの不確定性原理は、たとえ${\displaystyle \psi }$領域内にない${\displaystyle {\hat {X}}{\hat {P}}}$または${\displaystyle {\hat {P}}{\hat {X}}}$[ ^{11 ]​}

ロバートソン・シュレーディンガーの不確定性は、すべての成分に対して成り立つ必要があることに注目することで改善できる。${\displaystyle \varrho _{k}}$密度行列の任意 の分解において、$${\displaystyle \varrho =\sum _{k}p_{k}\varrho _{k}.}$$ ここでは、確率について${\displaystyle p_{k}\geq 0}$そして${\displaystyle \sum _{k}p_{k}=1}$保持します。次に、関係を使用して $${\displaystyle \sum _{k}a_{k}\sum _{k}b_{k}\geq \left(\sum _{k}{\sqrt {a_{k}b_{k}}}\right)^{2}}$$ のために${\displaystyle a_{k},b_{k}\geq 0}$したがって、^{[ 25 ]}$${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left[\sum _{k}p_{k}L(\varrho _{k})\right]^{2},}$$ 境界内の関数が定義されている $${\displaystyle L(\varrho )={\sqrt {\left|{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (\rho \{A,B\})-\operatorname {tr} (\rho A)\operatorname {tr} (\rho B)\right|^{2}+\left|{\frac {1}{2i}}\operatorname {tr} (\rho [A,B])\right|^{2}}}.}$$ 上記の関係式は、元のロバートソン・シュレーディンガーの不確定性関係式よりも大きな境界値を持つことが非常に多い。したがって、量子状態そのものではなく、量子状態の混合成分に対するロバートソン・シュレーディンガーの不確定性関係式の境界値を計算し、それらの平方根の平均を求める必要がある。以下の式は、ロバートソン・シュレーディンガーの不確定性関係式よりも強い。 $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left[\max _{p_{k},\varrho _{k}}\sum _{k}p_{k}L(\varrho _{k})\right]^{2},}$$ 右側には密度行列の分解の上に凹型の屋根がある。上記の改良された関係は、すべての単一量子ビット量子状態によって飽和される。^{[ 25 ]}