対数ソボレフ不等式

数学において、 対数ソボレフ不等式は、関数fのノルム、その対数、およびその勾配を含む不等式のクラスです。これらの不等式は、レナード・グロスによって発見され命名されました。彼は、構成的量子場理論の文脈で、次元に依存しない形式でこれらの不等式を確立しました。 ^{[1] [2]}同様の結果は以前に他の数学者によって発見されており、このような不等式の多くのバリエーションが知られています。 ${\displaystyle \nabla f}$

グロス^[3]は不等式を証明した。

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\big |}f(x){\big |}^{2}\log {\big |}f(x){\big |}\,d\nu (x)\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\big |}\nabla f(x){\big |}^{2}\,d\nu (x)+\|f\|_{2}^{2}\log \|f\|_{2},}$

ここで、はの -ノルムであり、 は上の標準ガウス測度です。 古典的なソボレフの不等式とは異なり、グロスの対数ソボレフの不等式には次元に依存する定数がないため、無限次元の極限に適用できます。 ${\displaystyle \|f\|_{2}}$${\displaystyle L^{2}(\nu )}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

特に、任意の滑らかな関数fに対して、定数の対数ソボレフ不等式を満たす確率測度は、${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle C>0}$

${\displaystyle \operatorname {Ent} _{\mu }(f^{2})\leq C\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\big |}\nabla f(x){\big |}^{2}\,d\mu (x),}$

エントロピー関数は どこですか。${\displaystyle \operatorname {Ent} _{\mu }(f^{2})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f^{2}\log {\frac {f^{2}}{\int _{\mathbb {R} ^{n}}f^{2}\,d\mu (x)}}\,d\mu (x)}$

• グロス、レナード(1975a)、「対数ソボレフ不等式」、アメリカ数学誌、97 (4): 1061–1083、doi :10.2307/2373688、JSTOR  2373688
• グロス、レナード（1975b）、「クリフォード・ディリクレ形式の超収縮性と対数ソボレフ不等式」、デューク数学ジャーナル、42（3）：383–396、doi：10.1215 / S0012-7094-75-04237-4